正弦型函数性质基础类题型归纳（教师版）

正弦型函数性质基础类题型归纳考向1.单调性例1.已知函数f(x)=2sin(ωx-π3)(ω>0)（1）求f(x)的单调递增区间；（2）用“五点作图法”，画出函数f(x)在一个周期上的图象.【答案】（1）解：由T=π=2πω，得ω=2，所以由2kπ-π得kπ-π所以f(x)的单调递增区间为[kπ-（2）解：列表：2x-0ππ3π2πxπ5π2π11π7πy02020描点，连线可得：例2.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)+2cos2ωx+φ2-1(ω>0，0<φ<π)（1）当x∈[-π6，5π6]（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象．求函数g(x)在区间[-π12【答案】（1）解：由题意函数f(x)==3sin因为函数f(x)图象的相邻两个最高点的距离为π，所以T=π，可得ω=2．又由函数f(x)为偶函数可得f(0)=2sin(φ+所以φ+π6=kπ+π2，k∈Z，则φ=kπ+π因为0<φ<π，所以φ=π3，所以函数f(x)=2令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z，解得kπ-π2≤x≤kπ，当k=0时，-π2≤x≤0；当k=1时，π2≤x≤π可得函数f(x)的单调递增区间为[-π6，0]（2）解：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度可得y=2cos(2x-π3)的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12当x∈[-π12，π6]当4x-π3=-2π3函数g(x)取得最小值，最小值为-1；当4x-π3=0，即函数g(x)取得最大值，最大值为2．所以函数g(x)在区间[-π12，π6]考向2.值域例1.已知函数f(x)=sin（1）求f(x)在区间[0，（2）设g(x)=f(x)⋅cosx，求g(x)【答案】（1）解：因为x∈[0，π2所以sin所以f(x)maxf(x)min（2）解：g(x)=f(x)⋅cosx=22sin=24(=所以，最小正周期T=例2.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0<ϕ<π2)（1）求这个函数的解析式，并写出它的递增区间；（2）求函数f(x)在区间[-π【答案】（1）解：由图知A=2，π6-(f(π∴f(x)=2sin(由2x+π6∈故f(x)的递增区间是(kπ-（2）解：x∈[-π2，π12∴f(x)在区间[-π2，π考向3.对称性例1（多选）.将函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<π)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)=A．φ=-B．函数f(x)的图象关于点(π3C．函数f(x)的最小正周期为πD．函数f(x)的一个单调递增区间为[-【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A选项，将函数g(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移可得到函数f(x)=sin[2(x-π3)+π3]=对于B选项，f(π3)=sin对于C选项，函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π对于D选项，当-π12≤x≤5π12时，-故答案为：ACD.例2（多选）.函数y=AsinA．该函数的解析式为y=2B．该函数图象的对称中心为(kπ-π3C．该函数的增区间是[3kπ-5π4D．把函数y=2sin(x+π【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、根据图象可得A=2，函数周期T=4×π-π4=3π，所以ω=2π3π=23，即y=2sin23x+φ，代入最高点π4，2可得2=2sin23×π4+φ，即sinπ6+φ=1，因为0＜φ＜π，所以π6+φ=π2，即φ=π3，所以y=2sin23x+π3，故答案为：ACD.考向4.图像变换例1.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位解析：，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D．例2.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位解析：，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D．例3（多选）.把函数f(x)=sinx的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数A．最小正周期为πB．在区间[-π3C．图像的一个对称中心为(-D．图像的一条对称轴为直线x=【答案】A,D【解析】【解答】f(x)=sinx的图像向左平移π3再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g(x)=其最小正周期为T=2π2=π由x∈[-π3，π6]，得2x+π3∈[-π3令2x+π3=kπ，k∈Z，得x=-π6+k2π，k∈Z，所以函数g(x)令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，解得x=π12+k2π，k∈Z，所以函数故答案为：AD.例4.要得到的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位解析：，需将函数的图象向左平移个单位.故选：A.考向5.根据图像求解析式例1（多选）.函数y=AsinA．该函数的解析式为y=2B．该函数图象的对称中心为(kπ-π3C．该函数的增区间是[3kπ-5π4D．把函数y=2sin(x+π【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、根据图象可得A=2，函数周期T=4×π-π4=3π，所以ω=2π3π=23，即y=2sin23x+φ，代入最高点π4，2可得2=2sin23×π4+φ，即sinπ6+φ=1，因为0＜φ＜π，所以π6+φ=π2，即φ=π3，所以y=2sin23x+π3，A故答案为：ACD.例2（多选）.已知函数f(x)=3sin(A．f(x)的图象关于直线x=-πB．f(x)的图象的对称中心是(-C．将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到y=3D．将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到y=3【答案】A,C【解析】【解答】由图象可知，函数f(x)的最小正周期为T=4(5π12-π4)=2π3，则ω=2πT=3，当x=5π12时函数y=f(x)取得最小值，则3×5π12+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，得φ=π4+2kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，所以k=0，φ=π4，则f(x)=3故答案为：AC.跟踪训练1.函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R，A．ω=π8，φ=π4 BC．ω=π8，φ=3π4 D答案：A2（多选）.对于函数f(A．当ω=2时，f(x)B．当ω=2时，f(x)C．若f(x)≤f(D．当ω=1时，f(x)的图象可由g答案：A,C,D3（多选）.已知点P(3π8，A．f(x-3πB．ω=-23C．若f(x)在区间(3π8，11πD．若f(x)在区间(π5，2π答案：BC3.函数的部分图象如图所示，则的值为（

）A． B． C． D．解析：由图可知，，即，所以，所以，因为函数的图象过点，所以，又，所以，所以，所以，故选：C.4（多选）.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为π12、7π12，图象在A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)的最大值为2C．f(x)在区间[-5π12D．f(x+π6【答案】B,C【解析】【解答】由图知，f(x)的最小正周期T=2(7π12-π12由2×π12+φ=π2，得φ=π3.由f(0)=3，得Asin当x∈[-5π12，π12]时，(2x+π因为f(x+π6)=2sin[2(x+π故答案为：BC．5(多选).将函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<π)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)=A．φ=-B．函数f(x)的图象关于点(π3C．函数f(x)的最小正周期为πD．函数f(x)的一个单调递增区间为[-【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A选项，将函数g(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移可得到函数f(x)=sin[2(x-π3)+π3]=对于B选项，f(π3)=sin对于C选项，函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π对于D选项，当-π12≤x≤5π12时，-故答案为：ACD.6.已知函数y=sin(ωx-π6)(ω>0)图像的一条对称轴为x=π6，则【答案】4【解析】【解答】由题意ω×π6-π6=kπ+π其中最小的正数为4，即ω=4．7.把函数y=3sin(2x-π6)的图象向左平移m(m>0)个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则实数m【答案】π【解析】【解答】将y=3sin(2x-π6)向左平移m(m>0)个单位可得：∵y=3sin(2x+2m-π6)图象关于y解得：m=π3+kπ2(k∈Z)，又故答案为：π38.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π，将y=f(x)的图像向左平移π6个单位后，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值为【答案】π【解析】【解答】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π所以ω=2，f(x)=所以其图像向左平移π6个单位后，可得y=sin因为所得图像关于y轴对称，所以π3+φ=kπ+π2，k∈Z所以φ的最小正值为π9.已知函数f(（1）求函数f(（2）将函数f(x)的图象向左平移14个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，若关于x【答案】（1）由图可知T2=12，T=1．因为ω>0，所以代入(18，∴φ+π又∵|φ| ≤π2，∴（2）由题意知变换后g当x∈[0，1]函数h(t)在t∈函数h(t)在t∈g(x)所以当-a∈(-2，-110.已知函数f(x)=Acos（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)在[-17π【答案】（1）解：由图可知A=1，由T2=2π-3π4=因为f(3π4)=得φ=2π又|φ|<π2，所以故f(x)=（2）解：因为x∈[-17π24，由于y=cosx在[-故f(-17π24)=32所以f(x)在[-17π24，11.已知函数，现有下列3个条件：①相邻两个对称中心的距离是；②；③.(1)请选择其中两个条件，求出满足这两个条件的函数的解析式；(2)将（1）中函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，请写出函数的解析式，并求其单调递减区间.解析：(1)选①②，因为相邻两个对称中心的距离为，所以，得.由，得.由，得，，则，，因为，所以，所以.选①③，因为相邻两个对称中心的距离为，所以，得.由，得.由，得，，则，，因为，所以，所以.选②③，由题意或，即或，得或.因为，所以.由，得，，则，，因为，所以，所以.(2)将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图像，再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.由，得，所以函数的单调递减区间为.12.某同学用“五点法”画函数（ω＞0，）在某一个周期内的图