《偏微分方程》课程教学大纲

《偏微分方程》教学大纲课程编号：121322B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□学科基础课□专业核心课☑专业提升课□专业拓展课总学时：32讲课学时：16实验（上机）学时：16学分：2考试类型：□考试☑考查适用对象：数学与应用数学（金融方向）专业□是☑否适合作为其他专业学生的个性化选修课先修课程：数学分析、高等代数、实变函数与泛函分析、常微分方程一、教学目标目标1：本课程是偏微分方程理论的入门课，以数学分析、高等代数、实变函数与泛函分析、常微分方程为先修课程，并且是先修课程的运用和知识的深化。目标2：本课程具有较强的应用性，在物理、经济、金融等学科中有广泛的应用。物理、经济、金融中的偏微分方程的学习和研究对理解相关领域前沿本质问题有深刻的作用。目标3：本课程的学习使学生对进一步研究更深的数学、金融、经济前沿科学知识打下坚实的基础目标4：培育有坚定理想信念、深厚爱国主义情怀、高尚道德情操，具有扎实专业学识，坚韧奋斗进取品格的社会主义新青年。二、教学内容及其与毕业要求的对应关系本课程包括经典线性偏微分方程的推导、理论和应用。精讲偏微分方程的背景和严格推导、二阶双曲型偏微分方程理论、二阶抛物型偏微分方程理论、二阶椭圆型偏微分方程理论，及偏微分方程在金融、经济中的应用等；选讲偏微分方程的变分原理、反问题等。通过对实际问题的分析、模拟、以往知识的回顾，循序渐进讲授重点内容。学生要活学活用已学知识认真完成课后作业。该课程能有效地开阔学生的学术视野，增强知识能力，为进一步研究学习前沿科学厚实学识基础。三、各教学环节学时分配以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：教学课时分配序号章节内容讲课实验其他合计1方程的导出和定解条件，包括守恒律、变分原理、定解问题的适定性442波动方程、包括一阶线性方程的特征线解法、初值问题（一维情形）、初值问题（高维情形）、混合问题等883热传导方程，包括初值问题、混合问题、极值原理和最大模估计、反问题的不适定性884位势方程，包括基本解与Green函数、极值原理与调和函数的性质、变分方法等885欧式期权定价-Black-Scholes公式44合计3232四、教学内容第一章方程的导出和定解条件第一节守恒律第二节变分原理第三节定解问题的适定性1、重点、难点多重指标记号2、考核要求：掌握多重指标记号,偏微分方程中的基本概念和定解问题的意义。课程思政切入点：（1）偏微分方程的发展历程与前沿；（2）民族复兴的责任和担当3、复习思考题：复习主要偏微分方程的物理背景、定解的适定性。第二章波动方程第一节一阶线性方程的特征线解法第二节初值问题（一维情形）第三节初值问题（高维情形）第四节混合问题1、重点、难点波动方程的解法及其初值问题和初边值解的唯一性及稳定性。2、考核要求：掌握一，二，三维波动方程的物理意义和解法，波动方程的唯一性和稳定性。课程思政切入点：中国石油的勘探方法3、复习思考题：思考复习波动方程的求解方法。第三章热传导方程第一节初值问题第二节混合问题第三节极值原理和最大模估计第四节反问题的不适定性1、重点、难点热传导方程的解法和初值问题和初边值解的唯一性及稳定性，极值原理。2、考核要求：掌握热传导方程的物理意义和解法及其唯一性和稳定性。课程思政切入点：中国对新冠疫情的有效控制3、复习思考题：复习傅里叶变换、热传导方程的求解方法、极值原理、能量模估计。第四章位势方程第一节基本解与Green函数第二节极值原理与调和函数的性质第三节变分方法第四节Cauchy问题的不适定性1、重点、难点Green函数和极值原理。2、考核要求：掌握位势方程的物理意义和解法及其唯一性和稳定性。掌握Green函数，极值原理。课程思政切入点：了解世界大事，感悟世界大势，担责民族复兴3、复习思考题：回顾如何用Green函数求解位势方程？位势方程的极值原理、能量模估计、变分原理？第五章欧式期权定价-Black-Scholes公式第一节历史回顾第二节Black-Scholes方程第三节Black-Scholes公式1、重点、难点利用偏微分方程解决经济金融问题2、考核要求：了解偏微分方程在金融经济中的应用课程思政切入点：中国经济形态发展3、复习思考题：思考如何求解带有各种不同形式定解条件的Black-Scholes方程？五、考核方式、成绩评定本课程一般按闭卷、开卷或论文方式考核，卷面或论文一般占70%，考勤与平时作业一般占30%。六、主要参考书及其他内容[1]姜礼尚，陈亚浙，刘西垣等,《数学物理方程讲义》(第二版)，北京，高等教育出版社，1996年.[2]姜礼尚，《期权定价的数学模型与方法》（第二版），北京