专题23二次函数与一元二次方程不等式-

专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式【基本知识梳理】知识点1：一元二次不等式的概念定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0知识点2：一元二次不等式的解法一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅【特别注意】(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标．(2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集．(3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集．知识点3：含参的一元二次不等式的解法:在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑(1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.知识点4：解简单的分式不等式分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解．知识点5：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．【题型1解不含参数的一元二次不等式】【例1】（20232024∙高一上∙安徽合肥∙A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，可得答案.【详解】由不等式，则，解得.故选：B【变式11】（20232024∙高一上∙广东∙期中）A． B．C．xx<−2，或 D．，或x>2【答案】B【分析】对于二次项系数是负数的一元二次不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.【详解】不等式可化为，解得.故选：B.【变式12】（20232024∙高一上∙山东临沂∙阶段测试）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出不等式的解集，再借助集合的包含关系及必要不充分条件的定义判断作答.【详解】解不等式，得，对于A，真包含于，A是；对于B，，B不是；对于C，真包含于，C不是；对于D，与互不包含，D不是.故选：A【变式13】（20232024∙高一上∙浙江∙期中）（A.不等式的解集为或B.不等式的解集为C.不等式的解集为RD.不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】直接解不等式即可.【详解】对选项A：等式的解集为或，故A正确；对选项B：不等式的解集为，故B正确；对选项C：不等式的解集为，故C错误；对选项D：不等式，即，解集为，故D正确；故选：ABD【题型2解含有参数的一元二次不等式】【例2】（20232024∙高一下∙甘肃∙期末）若0<t<1，则关于的不等式A. B.或 C.或 D.【答案】D【解题思路】先判断出1t【解答过程】因为0<t<1，所以1t故t−xx−1t故选：D.【变式21】（20232024∙高一上∙山东临沂∙月考）求关于【答案】答案见解析【解析】【分析】分、、三种情况求解即可.【详解】当时，原不等式为，该不等式的解集为.当时，，原不等式可化为.①若，则，原不等式的解集为或；②若，则，原不等式的解集为或.综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或.【变式22】（20232024∙高一上∙山东泰安∙月考【答案】见解析【解析】【分析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当时，把代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可．【详解】当时，不等式化为，；当时，原不等式化为，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或；综上所述，得原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．【点睛】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．【变式23】（20232024∙高一上∙山东淄博∙期中）（2）求函数的定义域．【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【分析】（1）原不等式可化为，分类讨论解集；（2）令，分类讨论求定义域.【详解】（1）原不等式可化为，讨论与的大小．①当，即时，不等式的解为，或；②当，即时，不等式的解为；③当，即时，不等式的解为，或；综上：当时，不等式的解集为，或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，或；（2）当时，，定义域为，当时，函数，令，，当时，，不等式的解为，当时，，即时，不等式的解集为，当时，，不等式的解为，或，综上可知，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，或.【题型3解分式、绝对值不等式】【例3】（20232024∙高一上∙山东日照∙期末）“”是“”的（A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】对化简，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】不等式可化为，即，即，解得，因为“”不能推出“”，“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.【变式31】（20232024∙高一上∙山东泰安∙期中）关于的不等式A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案.【详解】由，得，解得，所以不等式的解集为.故选：D【变式32】（20232024∙高三上∙天津河北区∙期末）设，则“”是“”的（A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别求出两个命题，得到递推关系，最后得到充分性和必要性即可.【详解】由，解得，由，解得，所以“”是“”的充要条件，故选：C【变式33】（20232024∙高三∙甘肃∙模拟）x−1<x<C．x−1<x<【解题思路】按照x2【解答过程】当x2−3x≥0，即x≥3或不等式x2−3x<2−2x等价于x解得−1<x<2，所以−1<x≤0；当x2−3x<0，即0<x<3时，不等式x2−3x<2−2x解得x>5+172或x<综上，不等式x2−3x<2−2x故选：C.【题型4由一元二次不等式的解确定参数】【例4】（20232024∙高一上∙山东临沂∙期中）已知不等式的解集是或，则（A. B. C.1或 D.或【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集确定不等式的形式为一元二次不等式，再利用根与系数关系求解.【详解】根据不等式解集可确定，不等式为一元二次不等式，且，令，方程两根，，根据根与系数关系有，，则有解得，所以.故选：A【变式41】（20232024∙高一上∙山东淄博∙期中）（多选）若关于x的不等式的解集为A．不等式的解集是B．C．不等式的解集为D．设x的不等式的解集为N，则【答案】ABD【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式的解集，判断选项C；设，，根据图象判断选项D.【详解】关于的不等式的解集为则,且关于的方程的根为，，则，解之得，则不等式为，所以解集为，，所以A、B都正确；不等式可化为，即，所以解集为，或，故C错误；设，，则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图，

所以不等式的解集为N，则，D正确.故选：ABD【变式42】（20232024∙高一上∙山东淄博∙期中）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.52≤x≤2 B.52<x【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可.【详解】由，解得，所以，又由，解得，所以，因为是的必要不充分条件，所以集合真包含于，所以，解得，经检验，时，，满足题意；时，，满足题意；所以实数的取值范围是52≤故选:A【变式43】（20232024∙高一上∙山东菏泽∙月考）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】根据一元一次不等式解集的性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】因为不等式的解集是，所以，，所以关于的不等式，即，即，解得或，故不等式的解集是或.故选：A.【题型5一元二次不等式恒成立问题】【例5】（20232024∙高一上∙山东淄博∙期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（A.1<x<3B.3<x<1 C.1<【答案】B【解析】【分析】将恒成立转化为，然后利用基本不等式求最值得到，最后解不等式即可.【详解】若恒成立，则，因为，，则，当且仅当，即，时等号成立，所以，整理得，解得.故选：B【变式51】（20232024∙高一上∙浙江∙期中）“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为【答案】【解析】【分析】对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对时，利用二次函数的图象进行分析求解.【详解】当时，不等式对一切实数都成立，所以成立；当时，由题意得解得：；综上所述：.【变式52】（20232024∙高一上∙山东临沂∙阶段测试）（20232024∙高一上∙重庆∙月考）（多选A. B.0 C.2 D.4【答案】BC【解析】【分析】首先根据“”为假命题，将问题转化为“”恒成立问题，然后通过对分类讨论求解；【详解】“”为假命题，则“”为真命题，当时，，符合题意，当时，，解得，故的值可能为，故选：BC.【变式53】（20232024∙高一上∙山东淄博∙阶段测试）若命题“，”为假命题，则实数xA． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解.【详解】由题意可得：命题“”为真命题，即对恒成立，则，解得或，即实数的取值范围为.故选：C.【题型6一元二次不等式有解问题】【例6】（20232024∙高一上∙山东临沂∙阶段测试）若不等式有解，则实数A.或 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.【详解】不等式有解，即不等式有解，因此，解得或，所以实数的取值范围为或.故选：A【变式61】（20232024∙高一上∙山东菏泽∙阶段测试）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数mA. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧的最小值，根据不等式有解得，即可求参数范围.【详解】因为正实数x，y满足，所以，当且仅当，时，取得最小值4，由有解，则，解得或．故实数m的取值范围是或.故选：D【变式62】（20232024∙高一上∙山东临沂∙月考）若x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】不等式，等价于，当，即时，不等式的解集为，若集合中有2个整数，则，得；若，即时，不等式的解集为，若集合中有2个整数，则，得；当，即时，不等式的解集为，不成立；所以实数m的取值范围是或.故选：C【变式63】（20232024∙高一上∙山东烟台∙月考）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则【答案】或【解析】【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系即可求得参数的取值范围.详解】解：由，可得或，由，即，得，，当，即时，不等式的解为，此时不等式组的解集为，又因为不等式组仅有一个整数解，则，解得；当，即时，不等式的解为，又因为不等式组仅有一个整数解，则，解得；综上所述，的取值范围为.或故选：B.【变式64】（20232024∙高一上∙四川宜宾∙期中）（多选）已知关于x的不等式在上有解，则实数aA. B. C.1 D.2【答案】AB【解析】【分析】由，，可得：，求出的最大值即可.【详解】由，，可得：，设，当时，，当且仅当时取等，所以，故AB正确，CD错误.故选：AB.【题型7一元二次不等式的实际应用】【例7】（20232024∙高一上∙江苏∙月考）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【解析】【分析】由题意列不等式求解后判断，【详解】由题意得，对于甲车，，即，而，解得，甲车未超过规定限速，同理对于乙车，，，而，解得，乙车超过规定限速．答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【变式71】（20232024∙高一上∙河南郑州∙期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：（＞（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【答案】（1）当v＝40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）25＜v＜64．【解析】【分析】（1）根据基本不等式性质可知，进而求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．（2）解不等式，即可求出v的范围．【详解】（1）依题意知，，当且仅当v，即v＝40时，上式等号成立，∴ymax（千辆/时）．∴当v＝40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时．（2）由条件得，整理得v2﹣89v+1600＜0，即．解得25＜v＜64．【变式72】（20232024∙高一上∙江苏连云港∙阶段测试）某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1（1）求的值；（2）当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【答案】（1）（2）汛期的第9天会有危险，理由见解析【解析】【分析】（1）根据条件可建立方程，解出即可；（2）设第天发生危险，由题意得，解出此不等式，然后可得答案.【小问1详解】由题意得：，即【小问2详解】由（1）得设第天发生危险，由题意得，即，得．所以汛期的第9天会有危险【变式73】（20232024∙高一上∙安徽阜阳∙月考）如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）．（1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；（2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．【答案】（1）（2）当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米【解析】【分析】（1）根据相似关系列出等式即可求解；（2）根据均值不等式即可求解.【小问1详解】因为，，所以，又，所以，即，所以，所以，解得或，即x的取值范围是；【小问2详解】由（1）知，当且仅当时等号成立．故当DG的长度为40米时，矩形DEFG的．积最小为2400平方米．【变式74】（20232024∙高一上∙湖南长沙∙期末）2022年2月24日,俄乌爆发战争，至今战火未熄.2023年10月7日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色.某无人机企业原有200名科技人员，年人均工资万元，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为万元.（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资;②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围;若不存在,说明理由.【答案】（1）100（2）存在，【解析】【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解；（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果.【小问1详解】依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元,则,整理得,解得,因为且,所以,故,所以要使这名研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资,调整后的研发人员的人