高一数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A 版 2019必修第二册)6 .2 .3 向量的数乘运算

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)

6.2.3向量的数乘运算

【考点梳理】

考点一向量数乘的定义

实数)与向量。的积是一个向量,这种运算叫做向量的数塞，记作痴，其长度与方向规定如下:

⑴闲=回回.

当拉0时,与a的方向相同;

(2)相(aW0)的方向

当义<0时,与Q的方向相反.

特别地，当2=0时，2a=0.,当4=—I时，(-l)a=-a

考点二向量数乘的运算律

1.(1X(〃。)==〃)。.

(2)(2+〃)。=%〃+〃。.

(3<m+力=〃+劝.

特别地，(T)a=_2a=2(-a),X(g—b)=Aa—/.b.

2.向量的线性运算

向量的加、遮、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a,b,以及任意实数2,⑷，外，恒有25口土〃26)

=2〃1a土如2b.

考点三向量共线定理

向量a(a20)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数小使/>=〃.

【题型归纳】

题型一：向量的线性运算

1.（2021・山东邹城•高一期中）已知向量Z，b，实数n（加H0,〃*0）,则下列关于向量的运算错误的是（）

A.mya—b^=ma—mbB.—n）a=ma—na

C.若〃?a=6，则a=6D.若）2a=〃〃，贝ljm二〃

2.（2021・全国•高一课前预习）若2=5+房化简3G+24-2便+"）-2（£+勾的结果为（）

A.—aB.-4hC.cD.a-b

3.（2021.四川省蒲江县蒲江中学高一阶段练习）已知团，〃是实数，入坂是向量，则下列命题中正确的为（）

①-=ma-mB；@^m-ri）a=ma-na；

③若ma=mb,则a=B;④若ma=na,则”.

A.①④B.①②C.①③D.③④

题型二：平面向量的混合运算

4.（2021・全国・高一课时练习）若。为AA3C所在平面内一点，且满足（砺-历）.（赤+元-2函）=0,贝UAABC的形

状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

5.（2021.福建福州.高一期中）在五边形4JCDE中丽=£,AD=b^M,N分别为AE,8。的中点，则丽=（）

3121

一-

-a+-B-a+-

2233

A.

c1131

---D一

4+-〃+-

2244

6.（2020・全国•高一课时练习）在△ABC中，P,Q分别是边AB,BC上的点，且==若福=£,

AC=b,贝”0=()

1_1c1-1r

A.-a+-brB.—ciH—b

3333

n1-1厂

D.——a——b

33

题型三：向量的线性运算的几何应用

7.（2021•四川•宁南中学高一阶段练习（文））如图，“ABC中，AD.BE、CF分别是BC、C4、A8上的中线,

它们交于点G,则下列各等式中不正确的是（）

A

—2—

A.BG=-BEB.DG——AG；

32

1UlU9UlU1UlK

C.-DA+-FC=-BCD.CG=-2FG

332

8.(2021•四川资阳•高一期末)如图,在AABC中，。为线段8c上一点，CD=2DB,E为AZ)的中点.若

AE=AAB+/JAC,则4+〃=()

9.（2021•内蒙古・林西县第一中学高一期中（文））已知点M是AABC的边BC的中点，点E在边AC上，且反=2荏,

则向量前=（）

A.-AC+-ABB.-AC+-AB

2362

C.-AC+-ABD.-AC+-AB

2663

题型四：三角形的心的向量表示

10.（2021・陕西渭滨•高一期末）已知。为三角形A8C所在平面内一点,OA+OB+OC=G^则\ABC)

B1

A.—2-1cD.-

-75

11.（2021・山东师范大学附中高一期中）如图，。是M/C的重心，而=心AC=b，。是边3c上一点，且丽=4配,

则（）

o

D

___27____27_

A.OD=，+—bB.OD——ab

15151515

__27__27_

C.OD=——a——bD.OD=—aH—b

15151515

12.（2021.全国•高一课时练习）已知点。、N、P在AABC所在平面内，且|乐|=|砺|=|南而+丽+雨=6,

PAPB=PBPC=PCPA,则点。、N、P依次是AABC的（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

【双基达标】

一、单选题

13.（2021.全国•高一课时练习）下列运算正确的个数是（）

（T）（-3）-25=-6a；②2（0+5）-（25-6）=31；

③+25）-（26+1）=0.

A.0B.1C.2D.3

14.（2021•全国•高一课时练习）已知。是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个动点，若动点尸满足

OP=OA+A（AB+AC）'2e（0,+oo）,则点P的轨迹一定通过“ABC的（）

A.内心B.外心

C.重心D.垂心

—■2—■

15.（2021.全国•高一课时练习）若48=-§BC,则下列各式中不正确的是（）.

___3_______.1_____1__

A.CB=-ABB.BA=2ACC.CA=--BCD.AC=-AB

AB

16.（2021・上海•高一课时练习）己知平面上不共线的四点QA8,C,若丽-4丽+3觉="则=等于（）

BC

A.1B.yC.3D.2

17.（2021.全国.高一课时练习）设向量方=[,而若冢与窈不共线，且点P在线段45上，|而|：|而|=2,

则OP=（）

B

1一2一B.全+廉c]-2-c2—1一

A.-e.—e)C.uD.旷秀

3132313-

18.（2021•安徽.定远县育才学校高一阶段练习（文））下列叙述不正确的是（）

A.若共线，则存在唯一的实数九使£二肪.

B.石=32（£为非零向量），则2坂共线

^m=3a+4b,n=^a+2b,则力/，

C.

D.若Z+B+"=6,则£+石=_"

2___1——

19.（2021.福建浦城•高一阶段练习）如图,在△ABC中，AN=~9P是BN上一点、,若而=，血+]AC,则

).

A.一BcD

6-1-t-i

20.（2021•云南隆阳•高一期中）已知在平行四边形A5CD中，点E,尸分别在边43,AO上，连接石尸交AC于点

________19

M,且满足屁=4丽，AF=3FD,赤=24而一3〃前，则54-5〃=()

A.B.1cD

-4-?

—>T

21.（2021.河南郑州.高一期末）已知△ABC的边8C上有一点。满足BD=-2DC,则启可表示为（）

T1f2T

A.B.AD=-AB+-AC

AD=-AB+2AC33

T2T1T

C.—>—>—>D.AD=-AB+-AC

AD=2AB-AC33

__I___一2__2__

22.（2021.江西宜春.高一期末）如图，在AABC中，AN=-NC,户是BN上的一点，若"=m+—AB+-BC,

99

则实数加的值为（）

A

N

A-1C.1D.3

【高分突破】

一：单选题

23.（2021.全国.高一专题练习）已知点O,N在所在平面内，且|次|=|丽R元I,丽+通+近=6,则点。,N

依次是△ABC的（）

A.重心外心B.重心内心C.外心重心D.外心内心

24.（2021・湖南•常德市第二中学高一期末）在等边中，点E在中线C£＞上，且CE=6ED,则亚=（）

A.-AC+-ABB,上前-3而C.-AC+-ABD,之配-上丽

77777777

25.（2021・全国•高一课时练习）下列算式中，正确的个数为（）

①（-7）x6a=-42a；@a-2b+^2a+2b^=3a；③a+5-（〃+B）=0.

A.0B.1C.2D.3

26.（2021•江苏省梅村高级中学高一阶段练习）在△ABC中，E为A8边的中点，。为4c边上的点，BD,CE交于

点E若AF='A3+,4C,则含的值为（）

A.2B.3C.4D.5

27.（2021・全国•高一课时练习）设九B都是非零向量.下列四个条件中，使£=2成立的条件是（）

|。|\b\

A.a=-hB.allb

c.a=2bD.。〃力且卜卜W

28.（2020•全国•高一）点M,N,P在所在平面内，满足就+砒+碇=0,|隔|=|啊=/|,且

PAPB=PBPC=PCPA,则M、N、尸依次是“BC的（）

A.重心，外心，内心B.重心，外心，垂心

C.外心，重心，内心D.外心，重心，垂心

二、多选题

29.（2021•全国•高一课时练习）（多选）已知4通-3而=/，则下列结论正确的是（）

A.4,B,C,力四点共线B.C,B,。三点共线

C.\AC\=\DB\D.\BC\=-3\DB\

30.（2021•浙江•嘉兴市第五高级中学高一阶段练习）下列说法错误的是（）

A.^a!lb,bl!c,则£//）

B.若2西+砺+3反=0，S,AOC，S,.分别表示△AOC,△ABC的面积，则:=1：6

C.两个非零向量2B,若|。-4=忖+忖，则万与在共线且反向

D.若向量@声6，则1与R一定不是共线向量

31.（2021•河北承德第一中学高一阶段练习）对于非零向量:，下列说法正确的是（）

A.2；的长度是；的长度的2倍，且2：与：方向相同

B._且的长度是：的长度的:，且_@与二方向相反

333

C.若2=0,则力:等于零

D.若一日，则入：是与「同向的单位向量

32.（2021・湖南•高一期末）已知AMC的重心为G,过G点的直线与边AB,AC的交点分别为M,N,若祝=义而巨，

9

且与"8C的面积之比为），则2的可能取值为（）

A.-B.-C.-D.3

323

33.（2021•福建三明•高一期中）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中

的正八边形ABCDE尸G”,其中。4=1,则下列结论中正确的是（）

①②

uuwuuuB.OAOD=-^-

A.ADIIBC

2

C.OB>OD=0D.府卜a-0

三、填空题

34.（2021•全国,高一课时练习）已知。，E,F分别为AABC的边BC,CA,AB的中点，BC=a,CA=b.给出下列

五个命题：①髭二+力；②*=£+/；③行=二-y+y；④标=-：£-/；⑤通+诙+存其中正

确的命题是.（填序号）

35.（2021•全国•高一课时练习）在平行四边形ABCZ）中，DE=^EC,BF=FC,若抚=2建+”而，其中九蚱H,

贝！］%+〃=.

36.（2021・上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）已知AABC中，点。在边AB上，且=设荏=£,

BC=b，那么而等于（结果用£、B表示）

_____,.、E,、L-.E、,一，一，.UU1UUU1.—一_111U

37.（2021・全国•高一课时练习）设平面L内四边形ABC。及任一点O,OA=a,OB=b.OC=c,OD=d.若a+c=b+d

且|-司=|£-21.则四边形ABCD的形状是

四、解答题

38.（2021•全国•高一课时练习）在四边形ABCD中，已知通=£+2心BC=-4a-h,CD=-5a-3h,其中九坂是

不共线的向量，试判断四边形A8C。的形状.

39.（2021•全国•高一课时练习）计算:

(1)3便-35)-2伍万+5)；

(2)4(a-3^+5c)-2(-3«-6^+8c).

40.（2021・全国•高—一课时练习）（1）已知：=3；+2］，1=2；-，，求+

(2)已知向量q,匕，且5x+2y=a，3x-y=b,求x，y-

—,9__

41.（2021•全国•高一课时练习）如图，在AABC中，D,尸分别是BC,AC的中点，AE=-AD,丽=£,AC=b.

（1）用2，B表示而，AE,AF-BE<BF;

（2）求证：B,E,F三点共线.

42.（2021•全国•高一课时练习）如图，在A43C中，D是BC边上一点、,G是线段AZ）上一点，且gg=刍2=2,

（1）用向量而，而表示4万.

AQ0AC

（2）试问笠+笔是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

AEAF

【答案详解】

1.D

【分析】

根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过加的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正

确性.

【详解】

由题意，向量£,b＞实数加，«（〃片0）,

由向量的运算律可得，m（a-b^ma-mb,故选项A正确；

由向量的运算律可得，（m-n）a=ma-na,故选项B正确；

若机2=6，因为"7*0,则£=6，故选项C正确：

当a=6时，ma=na＞此时机和"不一定相等,故选项D错误.

故选：D.

2.A

【分析】

根据已知条件结合£=利用向量的线性运算即可求解.

【详解】

3（a+2b）-2（3b+c）-2（a+b）

—3a+6b—6b—2c—2a—2b

=a-2b-2c=b+c-2b-2c=-

故选：A.

3.B

【分析】

①②结合平面向量的数乘运算即可判断，③④举出反例即可说明.

【详解】

对于①：根据数乘向量的法则可得：，=加万④，故①正确；

对于②：根据数乘向量的法则可得：（m-〃）&=桢-欣，故②正确：

对于③：由=,高可得加①-5）=6,当，"=0时也成立，所以不能推出万=6,故③错误；

对于④：由，汨=〃1可得（"?-〃）万=0,当a=6，命题也成立，所以不能推出，”=〃.故④错误;

故选：B

4.A

【分析】

利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.

【详解】

依题意（而-丽）•（而+丽-2丽=0,

CB\OB-bA+bC-OA]=G,

^AB-AC^AB+AC^=AB2-AC'=0,

所以卜@=|才@nc=b,所以三角形ABC是等腰三角形.

故选：A

5.C

【分析】

由向量的加法运算得到丽=宓+而+而，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.

【详解】

MN=MA+AB+BN=-EA+AB+-BD

22

=；（丽+码+；（而+到

1—.1——11

=—EB+-AD=-a+-b,

2222

故选：C

6.A

【分析】

由已知得到4户=§福,8。=§配.利用方=而_丽，得至IJ丽=§而，利用用=方+两及元=前-福和平面

向量的线性运算法则运算即得.

【详解】

--1—.—►1—.

由已知可得AP=§AB,BQ=-BC.

c

________i__2__

PB=AB-AP=AB——AB=-AB,

33

PQ=PB+BQ=-AB+-BC=-AB+-(AC-AB}=-AB+-AC=-a+-b.

3333、>3333

故选：A.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，是基础题，只要熟练掌握平面向量的加减数乘运算法则,并注意将有关向量转化为基

底向量表示，即可得解.

7.B

【分析】

利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】

依题意AABC中，AD.BE、CF分别是BC、C4、A3上的中线，

所以G是三角形A8C的重心.

—,2—«

所以=A选项正确.

___1-.

DG=--AGfB选项错误.

1__7_________1___

-DA+-FC=DG+GC=DC=-BC,C选项正确.

CG=-2FG>D选项正确.

故选：B

8.C

【分析】

根据平面图形的性质以及平面向量的基本定理和线性运算，对应系数相等即可求出入〃的值，进而求出结果.

【详解】

1X01

IL1I21UU

因为。为线段3c上一点，CD=2DB,所以=+且E为的中点，所以

=+=+,又因为通=+因止匕4//=—,所以2+〃=，，

22133736362

故选：C.

9.B

【分析】

根据向量的加法运算可得EM=或+两和减法运算可得而=丽-恁，结合条件，可得答案.

【详解】

一—.2—•

由EC=2AE，则EC=—AC

3

则由'=配+两=-AC+-CB=-AC+-（AB-AC）=-AB+-AC

323226

10.B

【分析】

题目考察三角形四心的问题，易得：。为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系

【详解】

如图所示，由函+砺+反=6得：。为三角形ABC的重心，是中线的交点,

21

且A。=—AD,所以，\oBC:aABC=~»底边为BC,

所以，SqOBC:SjBC=hoBC:h.ABC=]

故选：B

11.A

【分析】

由。是AABC的重心，可知丽=-g（丽+肥），又丽=丽+丽，丽=［型，前=就一通，化简即可.

【详解】

由O是AABC的重心，可知08=-+8C）,

______4—―.____

y.OD=OB+BD,BD=-BC,BC=AC-AB,

故而=砺+而=_g（而+册）+：於=_；丽+（比

西-而）=_［而+1尼=-孑+浜,

=-AB

3

故选：A.

12.C

【分析】

由I西|=|丽H反I知。是AABC的外心；利用共起点向量加法将丽+血+标=6变形为共线的两向量关系，得到

N点在中线上的位置，从而判断为重心；由丽・丽=丽.无移项利用向量减法变形为丽.西=0,得出P8为CA

边上的高，同理得PC为AB边上的高，故为垂心.

【详解】

■.\OA^OB\=\OC\>则点。到AABC的三个顶点距离相等，

二。是AABC的外心.

■.■NA+NB+NC=6>：.NA+NB=-NC，

设线段4B的中点为M,则2丽=-而，由此可知N为AB边上中线的三等分点（靠近中点M）,所以N是的

重心.

:PA.PB=PBPC<PB-（PA-PC'）=PBCA=0.

即厢同理由方・方=定・⑸，可得定，福.

所以P是AABC的垂心.

故选：C.

【点睛】

关于AABC四心的向量关系式：

。是“ABC的外心=|况1=1而1=1反Io函2=砺2=无2；

。是A/WC的重心=况+赤+元=0；

。是A/WC的垂心O西・丽=丽・瓦=觉•西；

。是A/WC的内心04况+%而+C反=祝（其中a、b、c为“ABC的三边）

13.C

【分析】

利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.

【详解】

①（-3>2。=-6那由数乘运算知正确；

@2（a+b）-（2b-a）=3a,由向量的运算律知正确；

③伍+24-（25+耳=6,向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.

故选：C

14.C

【分析】

取8C的中点3,由已知条件可知动点P满足协=&+2（/内+n），Ae（0,4oo）,易得&>=2/1&>，则点A。，尸三

点共线，进而得到点P的轨迹一定通过AABC的重心.

【详解】

解：设。为BC的中点，则济&+/）=&+2/1八，

则协_&=24启，即/=24八，

A2P三点共线，

又因为。为8c的中点，所以AO是边8c的中线，

所以点P的轨迹一定通过AABC的重心.

故选：C.

15.D

【分析】

根据向量的数乘的定义判断.

【详解】

如图，由而=-（而知C在54延长线上，且|4:|=]|4回，

因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误.

CAB

故选：D.

16.C

【分析】

由已知可得丽-丽=3（丽-反），即一荏=一3阮，从而可得答案.

【详解】

解：由丽-4万+3反=6,得况-丽=3（丽一说），即一通=-3及，

所以网=3|配即（|=3,

故选：C.

17.C

【分析】

根据向量线性关系的几何意义得到而，砺，砺的线性关系，即可知正确选项.

【详解】

由丽=丽+而，丽=3丽丽=丽-丽，

______2______o1_2—.

/.OP=0A+{OB-OA）=e]+3（4.

故选：C

18.A

【分析】

选项A：要注意B=6时不成立；

选项B：由5=32得到£石方向相同，从而得到共线；

选项C：由条件得到m=2n从而mlIn；

选项D：通过移项可知选项D显然正确.

【详解】

选项A：当5=6时，满足Z5共线，但不满足存在唯一的实数九使3二后成立，此时不存在实数九使£二肪成立,

所以选项A错误；

选项B：若石=32,则£出方向相同，所以％坂共线，所以选项B正确；

选项C：因为nt=3a+4B=2ga+25）=2〃，所以所以选项C正确；

选项D：若£+各+"=6，则2+5=-"，选项D正确.

故选：A.

19.A

【分析】

由向量的线性运算可得而=，通+之丽，再由平面向量共线定理的推论即可得解.

【详解】

因为前=]前，所以丽=不沅，

1——.15—­―-5—•

所以而=z通+—AC=/AB+—x—AN=l43+-AN,

3326

又P是BN上一点，所以小3=1,解得"二

60

故选：A.

20.D

【分析】

因为E,F,M三点共线，故可考虑将丽7用荏,/表示，再结合三点共线满足的性质计算即可

【详解】

因为而=而+而，

所以丽=2AAB-3/JAC=2AAB-3JU{AB+AD')=(2Z-3ju)AB-3/zAD.

—.4—•

因为西=4丽，AF=3FD，故AB=5AE,AO=§AF,

所以赤=5(22-3〃)通-4//AF.

因为E,F,M三点共线，所以5(22-3必)-4〃=1,102-19^=1,所以19=j1

故选：D

21.A

【分析】

由已知得出向量8c与向量8。的关系，再利用平面向量基本定理即可求解.

【详解】

因为^ABC的边BC上有一点Z)满足BD=-2DC,

->-»—>1-»

所以应>=2员>，贝IJ8C=BD+OC=严，

用「以AD=A8+BD=AB+2BC=AB+2(AC—AB)=-AB+2AC，

故选：A

22.A

【分析】

利用向量的线性运算将条件而=(*)而+|前化为通=加通+河，再根据B、P、N三点共线，得出Y=1,

解得〃2=)

【详解】

由题意可知，丽=；祝，所以前=4丽，

X—tnAB+-AC,BPAP=mAB+-AN.

99

O1

因为8、尸、N三点共线，所以，〃+§=l,解得，〃=§.

故选：A.

23.C

【分析】

由外心。到三角形顶点距离相等、重心N的性质：而+前=2而且丽=2和，结合题设即可判断0，N是△ABC

的哪种心.

【详解】

：|两=|函=屈|,

。到△ABC的三个顶点的距离相等，故。是△ABC的外心，

如下图，若N是aABC三条中线的交点，AO是3c上的中线，

ANB+NC=2ND,又俞=2雨，

.,.NA+NB+NC=0,故题设中的N是△ABC的重心.

故选：C

24.A

【分析】

利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.

【详解】

因为4月=其6+酝=4乙+205=*+9（而_/），AD=-AB,

772

―.1—3—

所以AE=—AC+—A8.

77

故选：A

25.C

【分析】

由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误.

【详解】

对于①，（―7）x62=T2£,①正确；

对于②，a-2b+[2a+2b^-3a,②正确；

对于③，a+b-（^+b）=O,③错误.

故选：C.

26.C

【分析】

设而=彳而，可得衣=]血+]/lAEi,由B,F,。三点在同一条直线上，可求得力的值，即可得解.

【详解】

T&AC=AAD，

因为/=之通+」就，

77

-.3—1__

所以AF=-A8+—2AD,

77

因为8,F,。三点在同一条直线上，

31

所以三十三丸=1，所以4=4,

77

所以A黑C=4.

AD

故选：C

27.C

【分析】

ab

根据同、同的含义，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】

ab

同、M分别表示与人石同方向的单位向量，

11Clb

对于A：当4=时，HI=-F|,故A错误；

H\b\

对于B：当二〃力时，若£出反向平行，则单位向量方向也相反，故B错误；

£2bb

对于C：当4=2•时，同=网=何，故C正确；

对于D：当。〃)且同咽时，若。」满足题意，此时百=-j，故D错误.

故选：C

28.B

【分析】

由三角形五心的性质即可判断出答案.

【详解】

解：MA+MB+MC=O<­-MA+MB=-MC,

设A3的中点。，^\MA+MB=2MD，

：.C,M,。三点共线，即M为AABC的中线8上的点，且MC=2MD.

为AABC的重心.

T网=|而|=|宿,

L=|NB|=|NC|,

.•.N为AA3c的外心；

,­'PA.PB=PB.PC,

PB.(PA-PC)=O,

即方.和=0,..PB1AC,

同理可得：PA1BC,PC1AB,

..P为AABC的垂心；

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题.

29.BD

【分析】

由4荏-3而=/可得3丽=1，从而可对ABD进行判断，再对，4荏-3而=/变形化简可对C进行判断

【详解】

因为4丽-3而=而，所以3通-3亚=前-丽，

所以3而=元，

因为而，诙有公共端点5,所以C,B,。三点共线，且|而|=3|而所以BD正确，A错误，

由4荏-3瓶=/，^AC=3AB-3AD+AB=3DB+AB，所以国。月所以C错误，

故选：BD

30.AD

【分析】

A向量平行传递性的前提是都为非零向量；B若2E分别是ACBC的中点，结合已知得诙=一2而，再过E,O,3

作AC上的高，由线段比例确定高的比例关系即可；C由向量反向共线的性质即可判断；D根据共线向量的定义即

可判断.

【详解】

A：如果1忑都是非零向量，而日=0,显然满足已知条件，但是结论不一定成立，错误；

B：若RE分别是AC,BC的中点，由题设有2（历（+3）+（而+/）=0,即4而+2胡=6，OE=-2OD，所以

,」九1九1h.1

0,。,£：三点共线且0£=2。。，过EOI作AC上的高々，生f—f，易知片=不管=彳，则丁=2,所以

匕342%6

S4AOC：S"BC=1：6,正确；

c：两个非零向量1五，若|。-4=忖+忖，则「与在共线且反向，正确；

D：若向量。则1与5可能是共线向量，如相反向量，错误.

故选：AD

31.ABD

【分析】

对于选项ABD可以直接利用向量和数乘向量的定义判断，对于选项C,42等于零向量，不是零，故C错误.

【详解】

解：对于A：2：的长度是；的长度的2倍，且2：与；方向相同，故A正确;

f41

对于B：_巴的长度是「的长度的9,且_乌与「方向相反，故B正确；

333

对于C：若2=0,则等于零向量，不是零，故C错误；

对于D：若一口，则彳；是与；同向的单位向量，故D正确.

故选：ABD

32.BD

【分析】

设/=£丽，利用重心的性质，把而用赤、而表示，再由M,G,N三点共线得关于2,/的方程，再由三

角形面积比得关于2,f的另一方程，联立即可求得实数几的值.

【详解】

解：如图，•.•旃7=4丽=〃而-而），，而=上二而，即丽=?■而，设/=/丽，则

1+22

衣=［（通+记=^^而+［存，

3323

vG、N三点共线，=2——,

3A3A,

所以46=（2-；卜犷，:.AAMN与的面积之比为玲，.•。阿砌的4=枭?网邳inA,即

（2-：（/化简得2笳-92+9=0,解得4=1■或3.

故选：BD

33.ABC

【分析】

jr

结合正八边形的特点，分为8个全等的三角形，将圆周角分为8份，每个圆心角为f.

结合向量的计算法则，即可得出结果.

【详解】

UUU1LILIU

A.正八边形ABC0EFGH中，AD//BC,那么AO//8C，故A对；

B.C>X-OD=|OA|-|dD|cos^=-^,故B对；

______UUQ1冗,___

C.而与0。夹角为,，故丽.而=0，故C对;

D.IAf|=|()F-OA|=yl(OF-OA)2=ylOF2+OA-2OFOA=5/2+V2,故D错;

故选：ABC

34.②③④⑤

【分析】

根据平面向量线性运算法则计算可得;

【详解】

uunuuuiuuruiruimrr

解：因为反=£,CA=b,所以48=AC+C8=—CA+=-a-b

1一1

BE=BC+CE=BC+-CA=a+-b,CF=CA+AF=CA+-AB=b+-(-a-b\=-—a+—br,

22222

衣=；丽」(一£一立=一

Ab+B巨+cF=

=^[AB+AC+BA+BC+CA+CB:)4(AB4-AC-AB4-BC-AC-BC)=6,即而+炉+前=6，即正确的有:

②③④⑤

故答案为：②③④⑤

35•?

【分析】

4+

利用向量的加减法及数乘化简可得前=