专题2412求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型（沪科版）

专题24.12求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型【沪科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型的理解！【题型1直接法】1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EG⊥AC于点G，交AD于点H

A．9π2-932 B．9【答案】A【分析】根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC=BC=6，再利用AD是BC边上的中线得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°，【详解】解：∵△ABC∴∠BAC=60°，∵AD是BC∴AD⊥BC，∠∴AD∵AE∴△AEF∵EG⊥AC∴EG是∠AEF的角平分线，∴H是△∴S∴图中阴影部分的面积=60故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等边三角形的性质．2．（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点

A．π3 B．2π5 C．3【答案】C【分析】连接OA、OB、OC，求出∠AOF【详解】解：连接OA、OB、OC，∵正五边形ABCDE，∴∠AOBOB=∵OF⊥∴∠BOF∴∠AOF∴S

故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握扇形面积公式和求出AC所对的圆心角度数是解题的关键．3．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，交⊙O于点D

A．4π B．13π4 C．3【答案】B【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，求得圆心角DOE的度数，然后根据扇形的面积公式即可解答．【详解】解：∵∠A=80°，⊙O∴OB，OC分别平分∠ABC∴∠DOE∴S△故选：B．【点睛】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．4．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为12π，则正六边形的边长为（

A．3 B．9 C．32 D．【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵正六边形的内角是6-2×180°6=120°设正六边形的边长为r，∴120π解得r=3则正六边形的边长为32故选：C．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．本题的关键是根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角．5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90°

【答案】9【分析】先根据直角三角形的性质求出AD的长，再由扇形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6∴AD=∴S扇形AD故答案为：9π【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．6．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）如图，在半径为43的扇形OAB中，∠AOB=90°，D为OB的中点，过点D作DE∥OA交AB于点E

【答案】4【分析】解直角三角形求得∠DEO=30°，根据平行线的性质得到【详解】解：∵DE∥OA∴∠ODE∵OE=OB，D∴OE∴∠DEO∴∠AOE∴阴影部分的面积为30π故答案为：4π【点睛】本题考查了平行线的性质，扇形面积的计算，求得∠AOE7．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则：

（1）图中阴影部分的面积为；（2）直线DF与圆A的位置关系是.【答案】12π【分析】（1）根据正多边形内角和公式求出∠FAB（2）连接DF，由六边形ABCDEF是正六边形得到∠AFE=∠FED=120°，EF=DE，则∠【详解】（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB=6-2∴阴影部分的面积=120故答案为：12（2）连接DF，

∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE=∠FED∴∠EFD∴∠AFD∴AF⊥∵AF是圆A的半径，∴DF是圆A的切线，∴直线DF与圆A的位置关系是相切故答案为：相切【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算、切线的判定定理等知识，掌握扇形面积公式和切线的判定定理是解题的关键．8．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，∠A=90°，⊙O与∠A的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且AB=1，【答案】2【分析】连接OP，过O点作OE⊥BC于点E，作BF⊥OP于点F，利用垂径定理的内容得出BE=CE=12BC=1，再证明四边形OEBF【详解】连接OP，过O点作OE⊥BC于点E，作BF⊥∵OE⊥BC，∴BE=∵⊙O与∠A的一边相切于点∴AP⊥∵OE⊥BC，BF⊥∴可得四边形OEBF、四边形PABF是矩形，∵AB=1，BC∴AB=1=PF，∴OP=∴OP=∴△OBC∴∠BOC∴S扇形故答案为：23【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出OP=PF【题型2和差法】1．（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，点D在⊙O的直径AB上，DE⊥弦BC于点E，点F为AB延长线上一点，

(1)求证：CF是⊙O(2)若∠F=∠BDE【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）根据等腰三角形的性质，垂直的定义以及三角形内角和定理得出∠OCF（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及切线的性质可得出∠OCB=60°，进而求出扇形OBC所对应的圆心角的度数以及半径，再由【详解】（1）证明：如图，连接OC，

∵OB∴∠OBC∵DE∴∠DEB∴∠BDE又∵∠BDE∴∠OCB即OC⊥∵OC∴CF是⊙（2）解：∵∠F=∠BDE∴∠F∵∠OBC∴∠OCB∵∠OCF∴∠OCB∵OB∴△BOC∴∠BOC=60°，在Rt△COF中，OC=3∴FC∴===9【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．2．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，已知点D为等腰Rt△ABC的斜边AC的中点，连接BD，以点B为圆心，BD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F，若AB=2

【答案】4-【分析】先求解BC=AB=22，AC=4【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，∴BC=AB∴S∵点D为AC的中点，∴BD∴S∴S阴影【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算，熟练的利用割补法求解阴影部分的面积是解本题的关键．3．（2023·福建福州·校考三模）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，

(1)求证：CD为⊙O(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接OD，易知∠DAB=∠ADO=45°，进而可知∠DOB（2）根据已知条件证明四边形ABCD是平行四边形，再利用阴影部分的面积S=【详解】（1）解：连接OD，

∵OA=OD∴∠DAB∴∠DOB∵CD∥∴∠ODC=90°，即半径OD⊥∴CD为圆O（2）∵⊙O的半径为1∴AB=2∵BC∥AD∴四边形ABCD是平行四边形，∴CD∴S∴图中阴影部分的面积S=【点睛】题考查了切线的证明，求扇形面积，平行四边形的性质与判定，求得扇形BOD的圆心角度数是解题的关键．4．（2023·河北唐山·统考模拟预测）如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起，且∠AOB=∠COD(1)求证：△AOC(2)若OA=5cm,OC=3cm，弧AB的长为(3)在（2）的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高．【答案】(1)见解析(2)24(3)91【分析】（1）先证得∠AOC=∠BOD，即可利用SAS（2）根据S阴影=S（3）求出圆锥底面圆的半径长，利用勾股定理求出圆锥的高．【详解】（1）证明：∵∠COD∴∠AOC∴∠AOC在△AOC和△OC∴△AOC（2）S===答：阴影部分的面积是245（3）圆锥底面圆的半径为3π2π∴圆锥的高=5【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和扇形的面积，勾股定理，正确掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．（2023秋·安徽芜湖·九年级统考期末）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E(1)求证：∠CAD(2)如图2．若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC．如图2【答案】(1)证明见解析(2)S【分析】（1）先判断出∠CBE（2）先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是菱形，求出【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O∴∠CBE∵AD为⊙∴∠ACD∴∠D∴∠CBE∵CE∴∠CBE∴∠CAD（2）解：∵∠CAD∴∠COD∵CE是⊙∴OC∵CE∴OC∴∠DAB由（1）知，∠CBE∴∠CBE∴BC∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA∴▱ABCO∴OA∴AD在Rt△ACD中，∴CD=2，∴S阴影【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的判定、扇形的面积公式，判断出BC∥6．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，切点为B，AC与⊙O相交于点D，点E(1)求证：∠BED(2)已知AD=CD=3【答案】(1)见解析(2)9【分析】(1)利用圆周角定理得到∠A+∠ABD(2)连接OD，首先利用直角三角形斜边上的中线性质得到BD=AD=CD=3，可证得△ABD为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得AB=3【详解】（1）证明：∵AB是⊙∴∠ADB∴∠A∵BC与⊙O相切，切点为∴AB∴∠ABC∴∠DBC∴∠A∵∠A∴∠BED（2）解：如图：连接OD，∵AD∴BD是Rt∴BD又∵∠ADB∴△∴AB=A∴∠BOD=2∠A∴===故阴影部分的面积为9π【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，得到△ABD7．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，点P在BC上，以点C为圆心，PC为半径画弧交边AC于点D，以点B为圆心，PB为半径画弧交边AB于点E．设PB=x，图中阴影部分的面积为(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．(2)当点P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？【答案】(1)y=-(2)当PB=1时，即为BC的中点，y有最大值，最大值为1【分析】（1）利用扇形面积以及等腰直角三角形的性质得出面积即可，利用三角形边长得出自变量x的取值范围；（2）利用（1）中所求求出面积最值即可．【详解】（1）解：（1）∵AB=∴BC=2∵设PB=∴PC=∴y=1-∵以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E，∴CP=2-x，则0≤2-x∴2-2（2）解：∵y=-∴当x=1时，y最大=当PB=1时，即为BC的中点，y有最大值，最大值为1【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及扇形面积求法和二次函数的最值求法，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．8．（2023秋·浙江·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、D三个点在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连结BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若AE=1①求BE的长．②求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）①BE=2+3，【分析】（1）根据垂径定理可得BE⊥AD，再结合平行四边形的性质推出（2）①由平行四边形的性质以及垂径定理可推出∠BAO=∠ABO=15°，∠AOE=30°，然后在Rt△AOE中分别求出AO，OE，从而得出结论；②连接【详解】（1）由题意，根据垂径定理BE⊥∵四边形ABCD平行四边形，∴AD//∴BE⊥∵OB为半径，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接AO，∵AD//BC，∴∠ABC∵∠OBC∴∠ABO∵OA=∴∠BAO∴∠OAE∴在Rt△AOE中，∴AO=2AE=2∴BO=∴BE=∴BE=2+②如图，连接OD，OF，BF，由题意，∠ADC由①可知，∠ODE=60°，∴∠ODF∵OD=∴∠ODF∴∠DOF=90°,∴∠BOF∴S阴影由①可知，ED=AE=1∴S梯形S△S△S扇形∴S阴影∴阴影部分的面积S=1+【点睛】本题考查证明圆的切线，垂径定理，以及与扇形相关的阴影部分面积计算问题，掌握证明切线的方法，熟记扇形的面积计算是解题关键．【题型3割补法】1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，正方形的边AB=2，弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（

A．π2-1 B．1-π4 C【答案】D【分析】设弧BD和弧AC的交点为E,连接DE、AE,作EF⊥AD.先求出S△ADE，再求出S扇形ADE，即可得到S拱形DE.再根据S空白ADE=S扇形ADE【详解】设弧BD和弧AC的交点为E,连接DE、AE,作EF⊥ADEF∴S∴∴∴S空白S=30=3S==4-∴故选：D【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键2．（2023秋·江苏南通·九年级统考期中）德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知AB是⊙O的直径．分别以A，B为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点C，D两点．…若设AB长为2A．53π-23 B．83【答案】A【分析】利用作法得到BC=BA=AC=BD=AD，则△ACB和△ADB都是等边三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，然后根据扇形的面积公式求出扇形面积，再减去三角形的面积求出弓形的面积再减圆的面积可求出阴影的面积．【详解】解：连接AC、BC、DA、DB，如图，由作法得BC=BA=AC=BD=AD=2，∴△ACB和△ADB都是等边三角形，∴∠ABC=∠ABD=60°，∴∠CAD=120°，∴S扇形CAD=120π×∴S△CAD=23×1∴S阴影=2（S扇形CADS△CAD12S圆）=2（43π31=83π2=5故选A．【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．3．（2023秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，BC//AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（A．2π3-12 B．π3【答案】D【分析】如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交⊙O于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，由折叠得OG=GE=12，利用OC=1，求出∠OCG=30°，CG=OC2-OG2=32，得到BC=2CG=3，∠BOC=120°，同理：AD=3，证明△BOG≌△AOH，推出OG=OH，得到弓形BC与弓形【详解】如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交⊙O于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD由折叠得OG=GE，∵OG⊥BC，∴∠OGC=90°，CG=BG，∵OG=12OE=12，∴∠OCG=30°，CG=OC∴BC=2CG=3，∠BOC=120°，同理：AD=3，∵AD∥BC，∴∠OBC=∠OAD，OH⊥AD，∵OA=OB，∴△BOG≌△AOH，∴OG=OH，∴弓形BC与弓形AD的面积相等，∴阴影的面积=2（S扇形BOCS△BOC）=2×(120π×故选：D．．【点睛】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D．点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若

【答案】π+22【分析】连接CD，OE，OE交CD于J，如图所示，证明CD⊥OE，求出四边形OCED的面积，进而得到阴影部分BDE面积和阴影部分【详解】解：连接CD，OE，OE交CD于J，如图所示：

由点C为半径OA的中点可知OC=∴由圆的性质可知OD=OC,∵点E为弧AB的中点，即AE=∴∠AOE在等腰Rt△COD中，OD=OC，∠COD=90°，由等腰三角形∵OA=4，点C为半径OA∴OC在等腰Rt△COD中，∠COD∴CJ∴S四边形OCED由圆的对称性可知，ACE面积等于阴影部分BDE，∴SS阴影故答案为：π+2【点睛】本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，从图中将不规则图形转化为规则图形的面积来表示．5．（2023秋·重庆武隆·九年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，以A为圆心AD为半径作弧与BC交于点E，再以C为圆心，CD为半径作弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为【答案】4-【分析】连接AE，根据矩形的性质得出∠A=∠C=∠B=90°，AD=BC=2，AB=CD=1，AD∥BC，求出∠DAE=∠AEB=30°，根据勾股定理求出BE，根据图形得出阴影部分的面积S=（S矩形ABCD-S扇形DAE-S△ABE）+（S矩形ABCD-S扇形DCF），再求出答案即可．【详解】解：如图，连接AE，则AD=AE=2，∵四边形ABCD是矩形，AB=1，∴∠A=∠C=∠B=90°，AD=BC=2，AB