专题01有理数及其运算

专题01有理数及其运算思维导图核心考点聚焦1.正负数，相反意义的量.2.求一个数的相反数，绝对值，倒数.3.科学记数法表示大于1的数.4.有理数的混合运算.5.用数轴上的点表示有理数.6.有理数运算的实际应用.7.根据点在数轴上的位置判断式子的正负.8.借着数轴化简绝对值.9.绝对值非负性的应用.10.分类讨论化简绝对值.11.数轴上的动点问题中的追及问题.12.数轴上的动点问题中的最值问题.一、有理数1．正数和负数的概念大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“”，叫做负数，一个数前面的“+”“”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．2．具有相反意义的量一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示．3．有理数的概念正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．4．有理数的分类①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类．二、数轴1．数轴的概念与画法数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示1，2，3，…….2．数轴上的点与有理数之间的关系①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.三、相反数1．相反数的概念及表示方法相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．相反数的表示方法：一般地，a和a互为相反数，这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是零．特别地，一个数的相反数等于它本身，这个数是零.2．相反数的性质若a与b互为相反数，那么a+b=0.3．多重符号的化简与“+”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正．4．相反数的几何意义从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．四、绝对值1．绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.2．绝对值的性质一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．3．绝对值的非负性根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0．五、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)要点：交换加数的位置时，不要忘记符号．六、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(5)+?＝7，求？减法是加法的逆运算．要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字（即数的绝对值）．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．要点：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数．如：七、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.八、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点：（1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如2与3的乘积，应列为(2)×(3)，不应该写成2×3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．九、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如2的倒数是，2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．十、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．十一、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．十二、有理数乘方和科学记数法1．有理数乘方的概念求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数.2．有理数乘方的运算（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．3．偶次乘方的非负性任何一个数的偶次幂都是非负数，即．4．含乘方的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．5．科学记数法的表示（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．（科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数）（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．6．近似数的表示“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差绝对值的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．1.有理数运算注意事项.要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．2.化简绝对值：．3.点在数轴上的追及问题．考点剖析考点一、正负数，相反意义的量.例1：《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果高于海平面260米记为米，那么低于海平面300米应记为．【答案】米【解析】由高于海平面260米记为米可得，低于海平面300米记作米．故答案：米．考点二、求一个数的相反数，绝对值，倒数.例2：2的相反数是，－3的绝对值是．【答案】；【解析】2的相反数是，－3的绝对值是3．故答案为：，考点三、科学记数法表示大于1的数.例3：截止到12月12日16时45分，“嫦娥四号”探测器在经过约396000秒的奔月飞行后，达到月球附近，数字396000用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选D．考点四、有理数的混合运算.例4：计算：(1)； (2)；(3)； (4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．考点五、用数轴上的点表示有理数.例5：点A、B在数轴上的位置如图所示：(1)点A表示的数是___________，点B表示的数是___________；(2)在数轴上表示下列各数：0，，，；(3)把（1）（2）中的六个有理数用“”号连接起来．【解析】（1）根据数轴可知，点A表示的数是，点B表示的数是，故答案为：，；（2）在数轴上表示各数如下所示：（3）各数大小关系排列如下：．考点六、有理数运算的实际应用.例6：有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：编号与标准质量的差值（单位：千克）(1)8筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？(2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？(3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？【解析】（1）（千克）．答：筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重千克．（2）（千克）．答：与标准质量比较，筐白菜总计不足千克．（3）解：这筐白菜的总重量为：（千克），若白菜每千克售价元，则这筐白菜总共可卖（元）．答：若白菜每千克售价元，则出售这8筐白菜可卖元．考点七、根据点在数轴上的位置判断式子的正负.例7：若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，故选项A错误，不符合要求；，故选项B错误，不符合要求；，故选项C错误，不符合要求；，故选项D正确，符合要求；故选D．考点八、借着数轴化简绝对值.例8：若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示．(1)用“＞”或“＜”填空：0，0，0；(2)化简．【解析】（1）由图可得：，且，所以，，；故答案为<，<，>；（2）因为，，，所以．考点九、绝对值非负性的应用.例9：已知，则的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以．故选A．考点十、分类讨论化简绝对值.例10：（1）若，；若，；（2）若，则＝；（3）若，则．【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．【解析】（1）因为，所以，所以；因为，所以，所以，故答案为：1，；（2）因为，所以，所以，所以，故答案为：1；（3）因为，所以a，b，c符号有两种情况：①一个负数、两个正数；②三个负数．当a，b，c中有一个负数、两个正数时，不妨设，则；当a，b，c中有三个负数时，，故答案为：1或．考点十一、数轴上的动点问题中的追及问题.例11：如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．【解析】（1）解：当时，点M表示的数为，点N表示的数为，所以；当时，点N表示的数为，点M表示的数为，所以；故答案为：4，3；（2）解：由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，此时运动t秒后，点N表示的数为，点M表示的数为，所以，解得；（3）解：当点N向点A运动的过程时，由题意得，解得，不符合题意；当点N在点A停留时，由题意得，，解得，不符合题意；当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得，，解得，不符合题意；当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到达点B前，由题意得，，解得；当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后停止运动，由题意得，，解得；综上所述，或．考点十二、数轴上的动点问题中的最值问题.例12：我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？（ⅱ）探究问题：如图，点A，B，P分别表示数－1，2，x，AB＝3，因为的几何意义是线段PA与PB的长度之和，所以当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3；所以的最小值是3．请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：(1)的最小值是______；(2)当a为何值时，代数式的最小值是2．【解析】（1）因为.如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和，当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是5；（2）因为数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，因此当为或时，原式的最小值是．过关检测一、选择题1．在跳远测试中，小明的成绩为2.1米，记作米．若小亮的成绩记作米，则小亮的成绩为（

）A．1.4米 B．1.6米 C．1.8米 D．1.9米【答案】A【解析】由题意可得标准为（米），因为小亮的成绩记作米，所以小亮的成绩为（米），故选A．2．2023年我国高校毕业生高达1158万人，其中474万本科毕业生为了提升自己的学历，好凭借更高的学历，跨过更高的职业门槛，选择报考研究生，请用科学记数法表示报考研究生的人数（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】474万，故选D．3．下列算式正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】A、，故原题计算错误；B、，故原题计算正确；C、，故原题计算错误；D、，故原题计算错误；故选B．4．如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由数轴知，，所以，；故选C．5．下列说法中正确的个数是（）①若，，则x，y都为负数；②已知，则的值不可能为0；③若，则的大小关系是；④若a，b，c为有理数，且，则的值为．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】①若，，则x，y异号，且负数的绝对值较大，故①说法错误；②已知，不妨设，则，故②说法错误；③若，则的大小关系是，故③说法错误；④由题知a，b，c为三个不为0的有理数，且，所以a，b，c中负数有2个，正数有1个，所以，所以的值为1，故④说法错误．所以说法中正确的个数是0．故选A．二、填空题6．化简：①；②的相反数是；③比较大小．【答案】；；【解析】；因为，所以相反数是；因为，，，所以．故答案为：，，．7．早在公元前5世纪我国春秋战国初期，魏国的相国李悝就在《法经》一书中用“不足”来表示亏空．如果盈余250两记作两，那么亏空100两记作两．【答案】【解析】因为盈余250两记作两，所以亏空100两记作两，故答案为：．8．如图，点A，B，C在数轴上对应的数为a，b，c，A，B两点间的距离表示为，B，C两点间的距离表示为．若，，，则的值是．【答案】【解析】因为所以点关于原点对称，对应的数字b，c互为相反数，因为所以因为，所以，所以故答案为：．9．细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过3个小时可以分裂成个细菌．【答案】512【解析】3小时=180分钟，（次）．即1个这种细菌经过3个小时可以分裂成的细菌个数为：．故答案为：512．10．如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字__________重合．【答案】1【解析】由题意可得，2024÷4=506，因为由数轴可得：数轴上的1对应圆周上的0，所以数轴上的0对应圆周上的1，所以2024将与圆周上的数字1重合，故答案为：1．三、计算题11．计算：(1)； (2)；(3)； (4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．12．已知有理数：0,．(1)在数轴上表示这些有理数；(2)将上述有理数用“<”连接起来；(3)将上述有理数填入下图中相应的圆圈内（每个数只能写在一个对应区域内）．【解析】（1）在数轴上表示这些有理数如图所示：；（2）；（3）负数集合为：，整数集合为：，正数集合为：，如图所示：13．为实施乡村振兴战略，零陵区委区政府打造特色经济作物产业，根据我区地域优势发展种植“四季水果园”．黄田铺镇的万亩纽荷尔脐橙便是其中精品项目之一，纽荷尔脐橙质优价美，深受大家喜爱．下面是小明家种植的一块地所采摘的袋脐橙，小明在记录重量时采用了如下记录方法，以千克为标准，超过或不足部分分别用正，负数表示，记录如下：与标准质量差值袋数(1)请求出袋脐橙中最重一袋比最轻一袋重___________千克；(2)与标准质量相比，袋脐橙总质量超过或不足多少千克？(3)若这批脐橙每千克售价为元，那么这袋脐橙可卖多少元？【解析】（1）因为，所以20袋脐橙中，最重的一袋比最轻的一袋重：（千克），故答案为：4；（2）（千克），答：与标准质量相比，20袋脐橙总质量不足6千克；（3）（元）．答：这20袋脐橙可卖2470元．14．我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合、分类讨论思想可以解决一些问题．求解下列问题：(1)若时，的值为___________；(2)若成立，则___________；(3)若，则___________；(4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是___________，最小值是___________．【解析】（1）时，，故答案为：；（2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，因为与9的距离为，所以中点到的距离为7，所以，所以，故答案为：2；（3）因为，所以a，b，c符号有两种情况：①一个负数、两个正数；②三个负数．