专题27圆（全章直通中考）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练

专题2.7圆（全章直通中考）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°2．（2021·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．60°3．（2017·贵州黔东南·中考真题）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（）A．60° B．67.5° C．75° D．54°4．（2021·广东·统考中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（

）A． B． C． D．15．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（

）

A． B． C． D．6．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在等腰中，，BC=，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，在以为直径的中，点为圆上的一点，，弦于点，弦交于点，交于点．若点是的中点，则的度数为（

）A．18° B．21° C．22.5° D．30°8．（2021·山东日照·统考中考真题）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（）A． B． C． D．9．（2021·湖北荆州·统考中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（

）A．B． C． D．10．（2012·山东烟台·中考真题）如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为（

）A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为．

12．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是．13．（2023·浙江温州·统考中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域（点，，，在圆上，点，在上），形成一幅装饰画，则圆的半径为．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为．

14．（2023·黑龙江·统考中考真题）矩形中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是．15．（2023·四川·统考中考真题）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是．

16．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为．

17．（2018·浙江温州·统考中考真题）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．18．（2022下·广东深圳·九年级红岭中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

（1）求证平分，并求的大小；（2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．20．（8分）（2023·山东·统考中考真题）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．

（1）求证：；（2）P是上一点，，求；（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．21．（10分）（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．

（1）若，求的长．（2）求证：．（3）若，猜想的度数，并证明你的结论．22．（10分）（2020·广东广州·统考中考真题）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．（1）求证：是的平分线；（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．23．（10分）（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．

（1）求证：为的切线．（2）若，，求的半径．24．（12分）（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．

（1）填空：的度数是_________，的长为_________；（2）求的面积；（3）如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．参考答案：1．C【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．解：如图，连接OB，OD，AC，

∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度数20°．故选：C．【点拨】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．2．B【分析】根据圆内接四边形的性质可得，连接AC，得，进一步得出，从而可得结论．解：连接AC，如图，∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，∴∵∴∵AB为半圆的直径∴，∴∴故选：B．【点拨】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．3．A解：如图，连接DF、BF．∵FE⊥AB，AE=EB，∴FA=FB，∵AF=2AE，∴AF=AB=FB，∴△AFB是等边三角形，∵AF=AD=AB，∴点A是△DBF的外接圆的圆心，∴∠FDB=∠FAB=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，∴∠FAD=∠FBC，∴△FAD≌△FBC，∴∠ADF=∠FCB=15°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．故选A．【点拨】本题考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定，正方形的性质，此题是一道综合题目，解决此题的关键是合理的推理正确的计算．4．A【分析】设A（a，a²），B（b，b²），求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解．解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，设A（a，a²），B（b，b²），其中a≠0，b≠0，∵OA⊥OB，∴，∴，即，，设AB的解析式为：，代入A（a，a²），解得：，∴，∵，即，∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，故CH的最大值为，故选：A．【点拨】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解．5．A【分析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解．解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，则的横坐标为，纵坐标为，∴，取点，则是的中位线，∴，∵，∴点在半径为的上运动，∵是的中位线，∴，∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，在中，，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则∵与相切，∴，∴，∴，∴，∴设，,则∴∴∴解得：∴∴的最大值为，故选：A．【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键．6．C【分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．解：如图：作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴AO==6∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ACB=30°，CD=BC=∴AD==3∴⊙A的半径为3,∴⊙O与⊙A的半径和为6∵AO=6∴⊙O与⊙A相切∵AD⊥BC∴BC所在的直线是⊙A的切线∴BC所在的直线与⊙O相切∴当=360°时，BC所在的直线与⊙O相切同理可证明当=180°时，所在的直线与⊙O相切．当⊥AO时，即=90°时，所在的直线与⊙O相切．∴当为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切故答案选C．【点拨】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键．7．C【分析】根据直径所对的圆周角是，可知，根据，可知、的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，为等腰三角形，再根据可求得的度数．解：∵为的直径，∴，∵，∴，，∵点是的中点，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点拨】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．8．D【分析】根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．解：当在上时，即点在上时，有，此时阴影部分为等腰直角三角形，，该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；当点在弧上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，设，则，，，当时，，，，当时，，，，在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．故选：D．【点拨】本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键．9．A【分析】以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，判断出，再根据∠BCP=90°和∠BPC=90°两种情况判断出点P的位置，启动改革免费进行求解即可．解：以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，∵△BPC为等腰直角三角形，且点P在菱形ABCD的内部，很显然，①若∠BCP=90°，则CP=BC=2这C作CE⊥AD,交AD于点E，∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=∠ABC=60°∴CE=CDsin∠D=2∴点P在菱形ABCD的外部，∴与题设相矛盾，故此种情况不存在；②∠BPC=90°过P作PF⊥BC交BC于点F，∵△BPC是等腰直角三角形，∴PF=BF=BC=1∴P（1,1），F（1,0）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ABG中，∠ABG=60°∴∠BAG=30°∴BG=，AG=∴A，∴点F与点G重合∴点A、P、F三点共线∴∴∴故选：A．【点拨】此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．10．B【分析】连接O1O2，O3O4，由于图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，故O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共线，O、O3、O4共线，四边形O1O4O2O3的面积为O1O2×O3O4，根据条件求出相应线段长，代值求解即可．解：连接O1O2，O3O4，如图所示：图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共线，O、O3、O4共线，∵⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，∴⊙O的直径为4cm，⊙O3的直径为2cm，∴O1O2=2×4=8cm，O3O4=4+2=6cm，∴S四边形O1O4O2O3=O1O2×O3O4=×8×6=24cm2，故选：B．【点拨】本题考查多个圆相切的性质，根据题意得出O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共线，O、O3、O4共线，四边形O1O4O2O3的面积为O1O2×O3O4是解决问题的关键．11．【分析】连接，过点作于点，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形可得的长，由此即可得．解：如图，连接，过点作于点，

，，，，，∵圆的半径为7，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．12．1【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．解：连接、，，，，即，解得：，故答案为：1．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．13．5【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得，连接，取的中点，连接，在中，根据勾股定理即可求解．解：如图所示，依题意，，∵过左侧的三个端点作圆，，又，∴在上，连接，则为半径，∵，在中，∴解得：；连接，取的中点，连接，交于点，连接，，

∵，∴，∴，∵点，，在同一直线上，∴，∴，又，∴∵，∴∴∵∴∴，∵，设，则在中，即整理得即解得：或∴题字区域的面积为故答案为：；．【点拨】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．6或或【分析】由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，延长交的另一侧于点E，则此时是直角三角形，易得点到直线的距离；当过点D的直线与圆相切于点E时，是直角三角形，分两种情况讨论即可求解．解：由题意矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，可知点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，如图，延长交的另一侧于点E，则此时是直角三角形，点到直线的距离为的长度，即，

当过点D的直线与圆相切与点E时，是直角三角形，分两种情况，①如图，过点E作交于点H，交于点G，

∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直线的距离，②如图，过点E作交于点N，交于点M，

∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直线的距离，综上，6或或，故答案为：6或或．【点拨】本题考查了矩形的折叠问题切线的应用，以及勾股定理，找到点E的运动轨迹是解题的关键．15．【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．解：设与两边的切点分别为D、G，连接，延长交于点H，

由，∵，∴，∴，∴，如图，延长交于点Q，

同理，∵，∴，当与相切时，有最大或最小值，连接，∵D、E都是切点，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴的最大值为；如图，

同理，的最小值为；综上，t的取值范围是．故答案为：．【点拨】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得是解题的关键．16．（2，3）【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，根据题意可得：AB=，AC=，BC=，∵，∴∠BAC=90°，设BC的关系式为：y=kx+b，代入B，C，可得，解得：，∴BC：，当y=0时，x=3，即G（3,0），∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，∵∠BAC=90°，∴四边形MEAF为正方形，S△ABC=，解得：，即AE=EM=，∴BE=，∴BM=，∵B（3，3），∴M（2，3），

故答案为：（2，3）．【点拨】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可．17．8【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM的长，，而且面积等于小正六边形的面积的，故三角形PMN的面积很容易被求出，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出PG的长，进而得出OG的长，,在Rt△OPG中，根据勾股定理得OP的长，设OB为x，，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出BH，OH的长，进而得出PH的长，在Rt△PHO中，根据勾股定理得关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案．解：解:设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM=,而且面积等于小正六边形的面积的，故三角形PMN的面积为cm2，∵OG⊥PM，且O是正六边形的中心，∴PG=PM=∴OG=在Rt△OPG中，根据勾股定理得：OP2=OG2+PG2,即=OP2∴OP=7cm，设OB为x，∵OH⊥AB，且O是正六边形的中心，∴BH=X,OH=，∴PH=5x，在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2=PH2+OH2,即解得：x1=8,x2=3（舍）故该圆的半径为8cm．故答案为8．【点拨】本题以相机快门为背景，从中抽象出数学模型，综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形等相关知识，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力．试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题化为静态的数学问题，让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中，鼓励学生用数学的眼光观察世界；在运用数学知识解决问题的过程中，关注思想方法，侧重对问题的分析，将复杂的图形转化为三角形或四边形解决，引导学生用数学的语言表达世界，用数学的思维解决问题．18．【分析】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，可得四边形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，则可得点M的运动路径，从而求得路径的长．解：取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，

则，且，，，∴四边形CEOF为平行四边形，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴四边形为正方形，∴CE=CF=，EF=OC，由勾股定理得：，∵在等腰中，，∴，∴，，∵为的中点，∴，∴，

∴点在以为直径的圆上，当点点在点时，点在点；点点在点时，点在点，∴点的路径为以为直径的半圆，∴点运动的路径长．故答案是：．【点拨】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点．19．（1）见分析，；（2）【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直径，∴；（2）解：∵，，∴，则．∵，∴．∵，∴，∴是等边三角形，则．∵平分，∴．∵是直径，∴，则．∵四边形是圆内接四边形，∴，则，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直径，∴此圆半径的长为．【点拨】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．20．（1）证明见分析；（2）；（3）【分析】（1）由D是的中点得，由垂径定理得，得到，根据同圆中，等弧对等弦即可证明；（2）连接，证明，设的半径为r，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；（3）过点B作交于点G，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解．（1）解：∵D是的中点，∴，∵且为的直径，∴，∴，∴；（2）解：连接，

∵，∴，∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∴，设的半径为r，则，解得，经检验，是方程的根，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：如图，过点B作交于点G，

∴∵，是的平分线，∴∴∴，∵∴，∴，∴．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．21．（1）1；（2）见分析；（3），证明见分析【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得；（2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证；（3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则．（1）解：直径垂直弦，，，，，，由圆周角定理得，，在和中，，，；（2）证明：是的直径，，在和中，，，，，由（1）知，，又，；（3）解：，证明如下：如图，连接，

，，直径垂直弦，，，又，，，设，，则，

，，又，，，，，，，，，在和中，，

，即，，．【点拨】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．22．（1）详见分析；（2）是，；（3）【分析】（1）根据等弧对等角的性质证明即可；（2）延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积；（3）作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出．解：（1）∵△ABC为等边三角形,BC=AC，∴,都为圆，∴∠AOC=∠BOC=120°，∴∠ADC=∠BDC=60°，∴DC是∠ADB的角平分线．（2）是．