专题06圆中定点定值问题四种考法

专题06圆中定点定值定直线问题四种考法目录TOC\o"13"\h\z\u解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、圆中定点 2类型二、圆中定值 4类型三、圆中定直线 7类型四、圆中探索性、存在性问题 9压轴能力测评（10题） 121.圆中定点1.证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y=kx+b中b=f（k）的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。2.证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。2.圆中定值1.证明圆中某些代数式为定值的策略依题意设出参数，利用几何知识或相应的代数知识得出与所证代数式有关的含参数（变量）的等式，代入所证代数式运算化简，即可得出定值。2.常见的化简运算技巧（1）在运算过程中，尽量减少所证代数式中的参数（变量）个数，以便于向定值靠拢；（2）巧妙利用变量间的关系，尽量做到整体代入简化运算。3.圆中定直线寻求直线与参量取值无关的恒成立思想的考查。4.圆中探索性、存在性问题（1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下：①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出；②列出关于待定系数的方程（组）；③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在.（2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。（3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。类型一、圆中定点例．在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点．(1)求圆C的方程；(2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N，求证：存在定点B，使得；【答案】(1)(2)①证明见解析；②.【分析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，与圆有关的最值，（1）由两圆的位置关系求圆C方程；（2）①由，直接法得，由点P为圆C上的动点得，求B点坐标；，在圆C外，在圆C内，点P为线段BN与圆C的公共点时“”能成立．从而得直线方程．【详解】(1)圆，即，所以圆心为，圆的半径．由圆与圆相切于点

，得，，即解得或由直线l：与圆C有公共点，，所以所以圆C的方程为.(2)直线l分别与x轴和y轴交点，．设点，，则，由得，，即，由点P为圆C上的动点得，即故存在定点，使得．【变式训练1】已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，由得：，以为直径的圆恒过定点.故选：D.【变式训练2】若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______【答案】【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标.【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、，由题意可知，由韦达定理可得，，所以，线段的中点为，设圆心为，由可得，解得，，则，则，所以，圆的方程为，整理可得，方程组的解为.因此，的外接圆恒过的定点坐标为.故答案为：.类型二、圆中定值例．已知直线与圆.(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【答案】(1)证明见解析，定点(2)是定值，定值为【分析】（1）由已知可得根据过定点的直线系方程计算方法可得l恒过定点（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.【详解】（1）由直线得，联立，解得，直线l恒过定点.（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，联立，得，设，，则，，是定值，定值为【变式训练1】长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程，并说明其形状；（2）过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值．【答案】（1），是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；（2）证明见解析，此定值为．【分析】（1）利用几何法直接求出轨迹方程，进而判断出形状；（2）设直线方程为与联立求出，由的斜率为，同理求出.根据对称性可知，判断出过.由直角三角形的性质判断出为的中点为定值.【详解】（1）∵，P为线段AB中点，∴，设，则，即.则曲线C是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；（2）根据题意，直线MP的斜率存在且不为0，MP设斜率为k，则直线方程为代入中，整理得，故，，即，因为直线，的斜率之积为，所以的斜率为，同理：.根据对称性可知，直线所过定点在轴上，不妨令，得，此时，即过，则，所以过定点.连接，在圆O中，由垂径定理可得：.当D、F不重合时，即，所以为直角三角形，取的中点，则．当D、F重合时，取的中点，则也成立．故存在定点E，使得为定值，此定值为．【变式训练2】已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.(1)求圆C的标准方程；(2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值.【答案】(1)；(2)证明见解析，；(3)证明见解析，.【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答.（2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答.【详解】(1)依题意，圆C的半径，所以圆C的标准方程是：.(2)设直线方程为：，由消去y并整理得：，则有点，而直线：，同理，于是得直线的斜率，所以直线m的斜率是定值，该定值为.类型三、圆中定直线例．已知圆C过原点，圆心C是直线与直线的交点.(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C与y轴交于A､B两点（A在B上方），直线与圆C交于M､N两点，直线，相交于T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）首先求出两直线的交点坐标，即可得到圆心坐标，再根据圆过原点求出半径，即可得到圆的方程；（2）设，，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，由直线的方程为，直线的方程为，即可得到，从而求出定直线方程；【详解】(1)解：由，得，所以圆心.又因为圆C过原点，所以，所以圆C的标准方程为：.(2)解：设，，由（1）可知，，.联立方程组，消去y并化简得，所以，.直线的方程为①直线的方程为②由①②知，由，化简得，故点T在定直线上.【变式训练1】已知圆C经过两点，圆心在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C与y轴相交于A，B两点（A在B上方）.直线与圆C交于M，N两点，直线，相交于点T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】(1)(2)是，【分析】（1）由已知设出圆心，再由圆心到的距离都为半径列出方程解出答案即可；（2）联立直线与圆的方程并化简，然后求出直线和的方程，进而结合根与系数的关系得到答案.(1)依题意可设圆心，则半径，解，，故，即圆C的标准方程为.(2)设，由（1）可知，，联立方程组，消去x并化简得，容易判断直线所过定点（0,1）在圆内，即直线与圆一定有两个交点，所以，直线的方程为…①，直线的方程为…②，由①②可得：，由，化简得，故点T在定直线上.【变式训练2】已知直线，圆.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)点Q恒在直线上，理由见解析.【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上.(1)证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交；(2)圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为：(3)设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.类型四、圆中探索性、存在性问题例．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知圆过点，且与直线相切于点．(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程；(3)在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在点或，使为正三角形【分析】（1）设圆心为，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径，由此可得圆的方程；（2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线的距离；分别在直线斜率不存在和存在的情况下，根据构造方程求得结果；（3）由等边三角形性质可知，设，利用两点间距离公式可构造方程求得，进而得到点坐标.【详解】（1）设圆心坐标为，则，解得：，圆的半径，圆的方程为：.（2）为直角三角形，，，则圆心到直线的距离；当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离；当直线斜率存在时，可设，即，，解得：，，即；综上所述：直线的方程为或.（3）假设在直线存在点，使为正三角形，，，设，，解得：或，存在点或，使为正三角形.【变式训练1】已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．（1）求圆C方程；（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．【分析】（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果；（2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值．【详解】（1）设圆C的方程为圆心C在射线上，所以圆C与y轴相切，则点到直线的距离，由于截直线所得弦长为，所以则得，又所以(舍去)，故圆C的方程为；（2）假设m存在，由（1）得，因为，所以在线段的中垂线上，则，因为，所以解得；当时，直线方程为即，圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意；所以不存在实数m满足题干要求.【变式训练2】（2021·江苏·高二专题练习）已知圆和点.(1)过作圆的切线，求切线的方程；(2)过作直线交圆于点，两个不同的点，且不过圆心，再过点，分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程；(3)已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)和.(2)证明见解析，直线方程为.(3)存在，或.【分析】（1）讨论斜率是否存在并设直线方程，结合圆的切线性质及点线距离公式求参数，进而写出切线方程.（2）设，，由、可得、，即可知的方程，再由点在直线上即可证结论，并确定所在的直线.（3）若，由题设可知，假设存在使为定值，利用两点距离公式、圆的切线性质整理可得，要使多项式方程不受点位置影响，需使该多项式方程各项的系数为0，列方程求参数即可判断的存在性.【详解】(1)当斜率不存在时，显然与圆相切；当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1，∴，解得，则，整理得.综上，切线方程为和.(2)设，，∴由，则，即，又，故，同理，∴直线为，又在上，∴，故恒在直线上.(3)由题设，若则，整理可得，若存在，使为定值，而，，∴，整理得，∴，整理得，要使为定值，则，解得或.综上，存在或，使为定值1．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【解析】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.2．以下四个命题表述错误的是（）A.圆上有且仅有个点到直线的距离都等于B.曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为C.已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点【答案】B【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断．【详解】解：选项A：圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故选项A正确；选项B：方程可化为，故曲线表示圆心为，半径的圆，方程可化为，因为圆与曲线有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为，半径，同时两圆的位置关系为外离，有，即，解得，故B错误；选项C：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形，，当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故选项C正确；选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即：，两圆的方程相减得到直线方程为，即，所以直线过定点，D正确．故选：B．3．（多选）设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是 （）A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆Ck均不经过点（3，0）C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个D.所有圆的面积均为4π【答案】ABD【解析】圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.故选：ABD.4．（多选）已知点在直线：上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则（）A.存在点，使得四边形为菱形 B.四边形的面积最小值为C.的外接圆恒过两个定点 D.原点到直线的距离不超过【答案】BCD【分析】由到直线距离结合已知条件可判断AB；由点共圆以及点求出直线，利用点到直线的距离可判断CD【详解】对于A：当四边形为菱形时，，则，又到直线的距离为，所以不存在点，使得四边形为菱形，故A错误；对于B：由A可知，，所以四边形的面积，所以四边形的面积最小值为，故B正确；对于C：设，由图象可知四点在以为直径的圆上，圆的方程为，即，令，解得或，所以的外接圆恒过两个定点，故C正确；对于D：过的圆的方程为，由得直线的方程为：，则原点到直线的距离为，故D正确；故选：BCD.5．已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上，动圆恒过一个异于点的定点________．【答案】，【解析】设定点坐标，，因为圆的方程为：所以，即，因为当为变量时，，却能使该等式恒成立，所以只可能且即解方程组可得：，或者，（舍去）所以圆恒过一定点，.故答案为：，设有一组圆，存在定直线________始终与圆相切。【答案】【解析】存在直线，即或，圆心到直线或的距离，这两条直线始终与圆相切，C正确，故答案为：7.已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则=________．【答案】【解析】由直线得，联立，解得，直线l恒过定点.圆的圆心为，半径为，直线过点，直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，联立，得，设，，则，，是定值，定值为故答案为：8．已知圆C过坐标原点O和点，且圆心C在x轴上.(1)求圆C的方程：(2)设点.①过点M的直线l与圆C相交于P，Q两点，求当的面积最大时直线l的方程；②若点T是圆C上任意一点，试问：在平面上是否存在点N，使得.若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)①或；②不存在，理由见解析.【分析】（1）设圆心，则，求出，进而得到圆的方程；（2）①利用三角形的面积结合基本不等式，可知的面积最大时，圆心到直线的距离为，设直线l方程，利用点到线的距离公式求解即可；②假设存在，由，结合点在圆上，可得到方程，利用待定系数法求解，即可判断.【详解】（1）因