专题13解直角三角形（全章分层练习）（提升练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.3解直角三角形（全章分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）sin45°的值等于（）A． B．1 C． D．2．（2023上·福建莆田·九年级校考阶段练习）一架长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是，则梯子顶端到地面的距离为（）A． B． C． D．3．（2022上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（

）

A．2 B． C． D．44．（2022下·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．3km B．3km C．4km D．（33）km5．（2022·广西贵港·中考真题）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（

）A． B． C． D．6．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（

）A． B． C． D．37．（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，显示器的宽为22厘米，支架长14厘米，当支架与显示器的夹角，支架与桌面的夹角，测得长为2厘米，则显示器顶端到桌面的高度的长为（

）（，，）A．23厘米 B．24厘米 C．25厘米 D．26厘米8．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线，与地面的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（

）（参考数据：，，，）A．3.5米 B．2.5米 C．4.5米 D．5.5米9．（2021·浙江温州·统考中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（

）A． B． C． D．10．（2021·重庆·统考中考真题）在学习解直角三角形以后，重庆八中数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上的影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，同一时刻，光线与旗杆的夹角为37°，斜坡的坡角为30°，旗杆的高度AB约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）A．10.61 B．10.52 C．9.87

D．9.37填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）、11．（2023·湖北随州·统考模拟预测）计算：．12．（2020·四川自贡·校考一模）在中，若，，都是锐角，则是三角形．13．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则．

14．（2020·河南安阳·九年级统考自主招生）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是．

15．（2020上·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，在平行四边形中，，垂足为E，如果，，，那么．

16．（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考一模）如图，在斜坡AB上有一棵树BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上C点处测得树顶部D的仰角为60°，测得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．则树高BD=．17．（2020·广东深圳·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=．18．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2021·山东东营·统考中考真题）（1）计算：．（2）化简求值：，其中．20．（8分）（2023·山东聊城·统考一模）（1）计算：．（2）请从以下不等式中选取两个不等式组成不等式组，并解这个不等式组；；21．（10分）（2021·山东泰安·统考中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．（1）求m的值；（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．22．（10分）（2022·浙江·九年级专题练习）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．（1）求∠B'EE'的度数；（2）求∠DAC的正切值．23．（10分）（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．24．（12分）（2022·山东济宁·统考中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．∵，∴，∴（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．参考答案：1．D【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．解：sin45°=，故选D．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．2．A【分析】根据题意画出图形，由于梯子、墙、地面恰好构成直角三角形，故根据锐角三角函数的定义即可得出结论．解：如图所示；∵梯子、墙、地面恰好构成直角三角形，∠ABC=65°，∴AC=AB•sin65°，解得AC=5sin65°m．故选A．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．3．C【分析】先根据，得，根据同底等高可以得到，即可求得k的值．解：连结

，轴，故选C．【点拨】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．4．A解：如图，如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=6km，根据在直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=3km．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=∠CAB∠AOB=75°30°=45°，根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD=3km，由勾股定理可得AB=3km，即该船航行的距离（即AB的长）为3km．故选A．点睛：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，正确作出辅助线构造出直角三角形是解觉本题的关键．5．C【分析】连接．利用格点和勾股定理求出，，，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再利用正切的定义即可求出的值．解：如图，连接．，，，，是直角三角形，，，，，故选C．【点拨】本题考查勾股定理与格点问题，勾股定理的逆定理，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形．6．C【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．解：∵P点坐标为（1，1），则OP与x轴正方向的夹角为45°，又∵，则∠BAO=45°，为等腰直角形，∴OA=OB，设OC=x，则OB=2OC=2x，则OB=OA=3x，∴．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．7．C【分析】作延长线于点F，再延长DF、CB交于点G．由含角的直角三角形的性质可求出，再由三角形内角和定理即可求出，从而求出．在中，又利用三角函数可求出，根据题意又可求出，即求出．最后在中，利用三角函数即可求出最后结果．解：如图，作延长线于点F，再延长DF、CB交于点G．由题意可知．∵，，∴，∴．在中，．∵，∴．在中，．故显示器顶端到桌面的高度AD的长为25cm．故选C．【点拨】本题考查三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，三角函数解直角三角形．正确的作出辅助线是解答本题的关键．8．B【分析】过点A作AD⊥MN于点D，由锐角三角函数的定义得出BD≈7AD，CD≈AD，再由BD−CD=BC，得7AD−AD＝3.5，即可得出答案．解：过点A作AD⊥MN于点D，如图所示：在Rt△ADB与Rt△ACD中，tan∠ABD=＝tan8°≈，tan∠ACD＝＝tan10°≈，∴BD≈7AD，CD≈AD，∵BD−CD＝BC，∴7AD−AD＝3.5，解得：AD＝2.5，即该大灯距地面的高度2.5米，故选：B．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．9．A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．解：∵在中，，∴在中，，故选：A．【点拨】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．10．A【分析】通过作垂线把特殊角放在直角三角形中，利用三角函数由边求边，即由PH求AP，由DQ可求出QH，最后AP+PB=AB求出旗杆高度.解：如图，过点C作CG⊥EF于点G，延长GH交AD于点H，过点H作HP⊥AB于点P，则四边形BCHP为矩形，∴BC=PH=6，BP=CH，∠CHD=∠A=37°，∴AP===8，过点D作DQ⊥GH于点Q，∴∠CDQ=∠CEG=30°，∴CQ=CD=2，DQ=CDcos∠CDQ=4×=2，∵QH===，∴CH=QH﹣CQ=﹣2，则AB=AP+PB=AP+CH=8+﹣2≈10.61，故答案为A．【点拨】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形的应用．11．4【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、算术平方根的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．解：原式．故答案为：．【点拨】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．12．等边【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断的形状．解：∵，∴，，∴，，∴∠A=60°，∠B=60°，∴是等边三角形．故答案为：等边．【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．13．//【分析】过A作轴于M，、则

，先根据矩形性质求得，，再根据余弦定义得到，证明求得，利用求解k值即可．解：过A作轴于M，、则

，

∵四边形是矩形，面积是6，∴，，∵，∴，∵轴，∴，又，∴，∴，∴，又，∴，故答案为：．【点拨】本题考查矩形的性质、反比例函数系数k的几何意义、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，利用相似三角形的性质求得的面积是解答的关键．14．【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值．解：如图，过点D作于，过点C作于．

∵，∴，∵，设，，∴，∴，∴或（舍弃），∴，∵，，，∴（等腰三角形两腰上的高相等）∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为,故答案为：．【点拨】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．15．/【分析】先解直角三角形求得、，再利用平行四边形的性质证得，然后利用等角对等边证得，在中求解即可求解．解：∵在中，，，∴，则，∵四边形是平行四边形，，∴，，，，∴，，∴，在中，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查平行四边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明是解答的关键．16．（2+4）米/（4+）米【分析】过A作AM⊥AB交CD于M，再过M作MN⊥BD于N，可得△MCA是等边三角形；再由ABNM是矩形求得BN和MN的长；然后解Rt△DMN求得DN的长即可解答.解：如图，过A作AM⊥AB交CD于M，再过M作MN⊥BD于N，∵∠CAM=180°∠MAB∠BAE=60°，∠C=60°，∴△MCA是等边三角形，∴AM=AC=4米，∠AMC=60°，∵∠ABN=∠MAB=∠MNB=90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=6米，BN=AM=4米，∠AMN=90°，Rt△DMN中，∠DMN=180°∠AMN∠AMC=30°，∴DN=MN•tan∠DMN==米，∴BD=BN+ND=（+4）米，故答案为：（+4）米.【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形；正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．17．【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案．解：过B点作BE//AD交AC于点E，BE⊥AD，，∴∴由，∴设则故答案为：18．【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），所以BQ=PQ﹣90．在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），所以PQ﹣90=PQ，所以PQ=45（3+）（海里），所以MN=PQ=45（3+）（海里），在直角△BMN中，∠MBN=30°，所以BM=2MN=90（3+）（海里），所以（小时），故答案为：．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．19．（1）；（2）．【分析】（1）先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数幂、积的乘方的逆用，再计算实数的混合运算即可得；（2）先计算分式的加法运算，再根据得出代入求值即可得．解：（1）原式，，；（2）原式，，，，，∵，∴，∴原式．【点拨】本题考查了化简二次根式、特殊角的正切三角函数、零指数幂、分式的化简求值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．20．（1）；（2）或或【分析】（1）首先根据零指数幂运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算、化简绝对值符号，进行运算，再进行实数的混合运算，即可求解；（2）组成不等式组，解不等式组，即可求解．解：（1）（2）由解得，，由解得，，所以，此不等式组的解集为；由解得，，由解得，，所以，此不等式组的解集为；由解得，，由解得，，所以，此不等式组的解集为．【点拨】本题考查了零指数幂运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算、化简绝对值符号、解一元一次不等式组，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．21．（1）24；（2）M点的坐标为【分析】（1）根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.解：（1）∵点P纵坐标为4，∴，解得，∴，∴．（2）∵，∴，设，则，当M点在P点右侧，∴M点的坐标为，∴（6+2t）（4t）=24，解得：，（舍去），当时，，∴M点的坐标为，当M点在P点的左侧，∴M点的坐标为，∴（62t）（4+t）=24，解得：，，均舍去．综上，M点的坐标为．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．22．（1）22.5°；（2）tan∠DAC＝【分析】（1）由折叠的性质可证明四边形ABEB'为正方形．△AEE'为等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠AE'E＝67.5°，进而∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝22.5°；（2）设正方形ABEB'的边长为a，由勾股定理得AE＝＝AE'，B'E'＝AE'﹣AB'＝，由同角的余角相等可推出∠DAC＝∠B'EE'，由此tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝，即可求得答案．（1）解：由折叠性质可知，∠ABE＝∠AB'E＝90°，AB＝AB'，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAB'＝90°，∴四边形ABEB'为矩形，又∵AB＝AB'，∴四边形ABEB'为正方形，∴∠B'AE＝∠AEB'＝45°，又∵沿AC折叠，点E也落到AD上，∴AE＝AE'，∴∠AEE'＝∠AE'E＝＝67.5°，∴∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝67