专题116角平分线（题型分类拓展）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.16角平分线（题型分类拓展）【题型目录】【题型1】坐标系中的角平分线；【题型2】角平分线中的折叠问题；【题型3】角平分线中的最值问题；【题型4】角平分线中的作图问题；【题型5】角平分线中动点问题；单选题【题型1】坐标系中的角平分线；1．（2023上·山东临沂·八年级统考期中）如图，点A在x轴的正半轴上，坐标为，点B在y轴的正半轴上，且，点P是的平分线上的点，且横坐标为3，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏南通·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．【题型2】角平分线中的折叠问题；3．（2023上·福建漳州·八年级统考期末）如图，在中，，将沿折叠得到，点与点重合，连接，交于点，在线段上取一点，使得．连接，则点到的距离是（

）A． B． C．8 D．4．（2022上·浙江温州·八年级校考期中）现有一直角三角形纸片，先将共一个侻角折叠（如图1），㑛点落在斜边上的处，折痕与边交于点．再将另一锐角折疘（如图2），使也落在斜边上，折痕与交于点，量得，则点到的距离为（

）A．4 B．3 C．2 D．【题型3】角平分线中的最值问题；5．（2021上·福建莆田·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（

）A．2 B．2.5 C．4 D．56．（2020下·江苏·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An－1BC与∠An－1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为（）

A．2 B．3 C．4 D．5【题型4】角平分线中的作图问题；7．（2023上·八年级课时练习）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．8．（2023下·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在中，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心、小于的长为半径作弧，分别交于点；步骤2：分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点；步骤3：作射线交于点．则的度数为（

）

A． B． C． D．【题型5】角平分线中动点问题；9．（2023上·福建莆田·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且，于M．下列说法正确的是（

）①；②平分；③；④A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④10．（2022上·河北石家庄·八年级统考期中）如图，，点为的平分线上的一个定点，点A，B分别为边，上的动点，且，则以下结论中：①；②为定值；③四边形的面积为定值；④四边形的周长为定值．正确的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1填空题【题型1】坐标系中的角平分线；11．（2023上·山东东营·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点若点的坐标为，则．

12．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一定点，利用尺规按以下步骤作图．

（1）以点为圆心，长度为半径作弧交轴正半轴于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交第一象限于点，作射线；以点为圆心，长度为半径作弧交轴于另外一点点不与点重合，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交射线于点，若点的坐标为，则的值为．【题型2】角平分线中的折叠问题；13．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练习）如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点C的对应点为点E，当点E落在的边所在的直线上时，长为．

14．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，交于点D，折叠，使点A与点D重合，折痕交线段于点E、F，若，，则．

【题型3】角平分线中的最值问题；15．（2022上·湖北孝感·八年级统考期中）如图，中，，，平分，则的最大值为．16．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，是∠ABC的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是．【题型4】角平分线中的作图问题；17．（2021上·安徽合肥·八年级统考期中）如图，，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径，画弧，分别交于点E、F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线，交边与点D，则．

18．（2023·四川成都·统考二模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧交于点P；③作射线交于点D．若，则的长为．

【题型5】角平分线中动点问题；19．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为．（1）如图1，当点P到，的距离与相等时，；（2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为．20．（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考阶段练习）如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F．①若是边上的中线，则；②若平分，则．解答题【题型1】坐标系中的角平分线；21．（2023上·江苏连云港·八年级统考阶段练习）如图，在直角坐标系中，，连接．点是轴上一点，（1）尺规作图：若将沿直线翻折，使点恰好落在上，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，求出点的坐标．【题型2】角平分线中的折叠问题；22．（2022上·河南南阳·八年级统考期中）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形．（1）【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分是等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整：∵在长方形中，，∴，由折叠性质可得：____________，∴，∴，（依据是：____________）∴是等腰三角形；（2）【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由；（3）【拓展提升】如图4，四边形中，，为边的中点，平分，连接，求证：．【题型3】角平分线中的最值问题；23．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在的异侧，，分别是，的角平分线．

（1）判断与是否相等，并说明理由；（2）当时，①若，，则的最大值为；②若，设，请直接写出的度数（用含的式子表示）．【题型4】角平分线中的动点问题；24．（2023上·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，射线均从开始，同时绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，旋转的速度为每秒，当与重合时，与同时停止旋转．设旋转的时间为秒．（1）当______．（2）当为何值时，射线？（3）试探索，在射线与旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线与中的某一条射线是另两条射线所成角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由．【题型5】角平分线中的作图问题；25．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B的坐标为．

（1）用直尺与圆规，求作一点C，使得，且点C到两坐标轴的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：；（3）直接写出与的交坐标．参考答案：1．D【分析】本题主要考查角平分线性质和全等三角形的判定和性质，连接，过点P作于点C，于点D，则有和，根据题意得，进一步得到，有即可求得答案．解：连接，过点P作于点C，于点D，如图，由已知条件可得，，，∵点P是的平分线上的点，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴点．故选：D．2．C【分析】过点作于，如图所示，由尺规作图得到平分，由三角形全等的判定得到，从而求出线段长，设，则，由勾股定理得到方程求解得到，再根据等面积法求出，则，求出，即可得到答案．解：过点作于，如图所示：

由作图得：平分，，，，，，，，，，，，设，则，，即，解得，，即，解得，，，，故选：C．【点拨】本题考查图形与坐标，涉及角平分线、全等三角形的判定与性质、勾股定理及等面积法求线段长等知识，读懂题意，数形结合，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．3．D【分析】作于点，由，，得，由勾股定理得，由折叠得垂直平分，则，可求得，则，由，得，利用角平分的性质以及等积法，耙犁，，设点到的距离是，则，得，于是得到问题的答案．解：作于点，则，，，，，，将沿折叠得到，点与点重合，垂直平分，，，，，，，即是的平分线，∴，∴，设与交于点，作于点，∴，设，∵，∴，解得，∴，，设点到的距离是，则，，，点到的距离是，故选：D．【点拨】此题重点考查轴对称的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．4．C【分析】过P作与M，根据将其一个锐角∠ABC折叠，使点A落在斜边BC上的处，可得，根据将另一锐角折叠，使也落在斜边上，可得是的平分线，即可得，而已知，故，即点P到的距离为2．解：过P作与M，如图：∵将其一个锐角折叠，使点A落在斜边上的处，，，∵将另一锐角折叠，使也落在斜边上，∴，即是的平分线，∵，∴，∵，∴，∴，即点P到的距离为2，故选：C．【点拨】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．5．B【分析】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，证明△BDG≌△BDC，即有BC=BG，CD=DG，进而有AG=BCAB=2，根据GH⊥AC，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，此时GH达到最大，则△AGC的最大面积为：；根据CD=DG，可得，则△ACD的最大面积可求．解：延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，如图，∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，∵BD=BD，∴△BDG≌△BDC，∴BC=BG，CD=DG，∵BCAB=2，∴AG=BCAB=2，∵在△AGC中，GH⊥AC，∴△AGC的面积，∵AC=5，∴，∵在△AGH中，GH⊥AH，∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜边为AG，∴GH＜AG，∵AG=2，∴GH＜2，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，此时GH达到最大，∴则GH的最大值为2，∴△AGC的最大面积为：，∵CD=DG，∴D点为CG中点，∴，∴△ACD的最大面积为：，故选：B．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线AG、DG，并判断出当G点与H点重合时GH达到最大，是解答本题的关键．6．C【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，根据A1B、A1C分别平分∠ABC、∠ACD可得：∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，而∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，继而∠A2＝∠A，因此发现规律，将∠A代入即可求出使∠An的度数为整数，则n的最大值．解：由三角形的外角性质可得：∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，∴∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD＝（∠ABC＋∠A）＝∠A＋∠A1BC，∴∠A1＝∠A＝×48°＝24°，∵A1B、A1C分别平分∠ABC、∠ACD，∴∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，而∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∴∠A＝2∠A1，∴∠A1＝∠A,同理可得：∠A1＝2∠A2，∴∠A2＝∠A，∴∠A＝2n∠An，∴∠An＝∠A∵∠A＝48°∴当n＝4时，∠A4＝×48°＝3°，此时n的值最大，故选：C【点拨】本题考查了三角形外角性质、角平分线的性质、熟练掌握这两个性质并准确识图找出规律是解题的关键．7．D【分析】由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案．解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，，，，，，，，故选：D．【点拨】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．8．B【分析】由三角形内角和定理可得，由作法得：平分，从而可得，得到答案．解：在中，，，由作法得：平分，，故选：B．【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的性质，是解题的关键．9．D【分析】①根据点B和点C的坐标可得，从而可知是的垂直平分线，可得，再利用等腰三角形的三线合一性质证明，易得，最后利用三角形内角和证明；②要证明平分，想到利用角平分线性质定理的逆定理，所以过D作于F，只要证明即可，易证，根据全等三角形的性质得到；③要使，就要使，由②得，而，，由①得，所以只要判断与是否相等即可；④根据全等三角形的性质得到，易证，得到，由于，，于是得到，求得，于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．解：∵，，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故①正确，过D作于F，如图：∵，，∴，∴，∴是的角平分线，故②正确，③∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故③不正确；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正确，故选D．10．B【分析】作于E，于F．只要证明，，即可一一判断．解：如图作于E，于F．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故①正确，∵定值，故②正确，∵，∴，∴定值，故③正确，在移动过程中，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，且同时增大或减小，故④错误，故选：B．【点拨】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．11．【分析】连接，由作图可知，为的平分线，进而可得，求出的值即可．本题考查作图基本作图、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．解：连接，

由作图可知，为的平分线，点在第二象限，，解得．故答案为：．12．【分析】由尺规作图可知，为的平分线，为线段的垂直平分线，则可得，即可列方程为，求出的值即可．解：由尺规作图可知，为的平分线，为线段的垂直平分线，，，，，点的坐标为，，解得．故答案为：．【点拨】本题考查作图复杂作图、坐标与图形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．13．或【分析】分两种情况，①当点落在的边的延长线上时，过点作于，于，由折叠的性质得，则，再由三角形面积得，即可解决问题；②当点落在的边的延长线上时，，设，则，由勾股定理得，解得，即可得出结论．解：分两种情况：如图1，当点落在的边的延长线上时，

过点作于，于，由折叠的性质得：，，，，，，；如图2，当点落在的边的延长线上时，

则，设，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，解得：，；综上所述，的长为或，故答案为：或．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．14．2【分析】由题意得为的角平分线，故可得，根据折叠的性质得到，，解直角三角形，即可解答．解：如图，设与的交点为，

由题意，可得为的角平分线，，折叠，使点A与点D重合，，，，，在中，．故答案为：2．【点拨】本题考查了翻折的性质，角平分线的性质，含有角的直角三角形的三边关系，熟知翻折的性质是解题的关键．15．【分析】延长交于点E，可证，再根据，可得的长度，当最大即可求得最大值．解：如图所示延长交于点E，∵平分，，∴，，在与中，∵，，，∴∴，，∵∴，∵，∴，∴当，最大，即最大，∴答案为．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质及全等三角形性质，解题关键是根据中线将小三角形面积转换成大三角形面积取垂直时最大．16．【分析】过点作于点，交于点P，过点P作于Q，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．解：在中，，由勾股定理得：，过点作于点，交于点P，过点P作于Q，如图，平分，于点，于Q，，∴的最小值，，，解得：．故答案为：．【点拨】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积．解题关键是作出的最小值的垂线段．17．3【分析】由作图知，平分，进而可得出，在中，由，可得出，然后利用等腰三角形的性质证出，进而即可得解．解：由作图知，平分，∵，∴，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴，故答案为：3．

【点拨】本题考查基本作图、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．18．【分析】过点A作于点G，过点D分别作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积可得，，即可求解．解：过点A作于点G，过点D分别作于点E，于点F，由题意可得：平分，∴，∵，即，∴，∵，即，∴，故答案为：．

【点拨】本题考查作图−角平分线、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形的面积公式是解题的公式．19．3或或或【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论．（1）连接，证明，得出，根据即可求出结果；（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可．解：（1）连接，如图所示：∵点P到，的距离与相等，∴平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：3．（2）设点的运动速度为，①当点在上，点在上，时，，∴运动时间为。则，解得；②当点在上，点在上，时，，∴运动时间为，则，解得：；③当点P在上，点在上，时，，∴点P的路程为，点Q的路程为，∴此时运动时间为，则，解得；④当点P在上，点Q在上，时，∴点P的路程为，点Q的路程为，∴此时运动时间为，则，解得；∴运动的速度为或或或．故答案为：或或或．20．【分析】①由勾股定理得出，利用三角形面积公式得出，再利用勾股定理，即可求出的长；②过点作于点，先证明和是等腰直角三角形，进而得到，再利用角平分线的性质定理，得到，即可得到答案．解：①，是边上的中线，，，，，，，，，故答案为：；②如图，过点作于点，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，平分，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理，三角形面积，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．21．（1）见分析；（2）【分析】（1）根据折叠的性质，作出的角平分线交轴于点，则即为所求；（2）根据勾股定理求得，设，则，根据角平分线的性质得出，进而根据等面积法，即可求解．（1）解：如图所示，（2）如图所示，过点作于点，∵是的角平分线，∴设，则，∵，，则，∴，∵，∴，解得：,∴．【点拨】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握角平分线的作法及其性质是解题的关键．22．（1）；等腰三角形中等角对等边；（2），理由见详解；（3）证明过程见详解【分析】（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；（2）根据（1）的结论可知，为等腰三角形，则，且，可证，由此即可求解；（3）如图所示（见详解），过点作，为边的中点，可知点是的中点，得出为等腰三角关系，证明平分，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明，即直角三角形，由此即可求证．解：（1）证明：∵在长方形中，，∴，由折叠性质可得，∴，∴，（依据是：等腰三角形中等角对等边）∴是等腰三角形；故答案为：；等腰三角形中等角对等边．（2）解：，理由如下，由（1）可证，为等腰三角形，则，∵平方，，∴，∴为等腰三角形，即，∵，∴．（3）解：如图所示，过点作，∵为边的中点，∴点是的中点，即，∵，平分，∴，∴是等腰三角形，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．【