专题02轴对称图形

专题02轴对称图形【考点1生活中的轴对称现象】【考点2轴对称图形】【考点3镜面对称】【考点4轴对称的性质】【考点5作图轴对称变换】【考点6剪纸问题】【考点7翻折变换(折叠问题)】【考点8利用轴对称设计图案】【考点9角平分线的性质】【考点10线段垂直平分线的性质】【考点11等腰三角形的性质】【考点12等腰三角形的判定】【考点13等腰三角形的判定与性质】【考点14等边三角形的性质】【考点15等边三角形的判定】【考点16等边三角形的判定与性质】【考点17含30度角的直角三角形】【考点18直角三角形斜边上的中线】知识点1：轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.知识点2：轴对称性质对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.知识点3：画轴对称图形（1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点；（2）同理分别作出其它关键点的对称点；（3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.知识点4：线段垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。2.线段垂直平分线的作图1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；2.作直线CD，CD为所求直线知识点5：线段垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.知识点6：线段的垂直平分线逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上知识点7：角的平分线的性质（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于123、画射线OC，射线OC即为所求。（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。知识点8：角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上。重要拓展：1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC知识点9：等腰三角形的概念与性质等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2.等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．知识点10：等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．知识点11：等边三角形的概念与性质1.等边三角形概念三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.注意：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.2.等边三角形的性质（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（2）三个角都是60°知识点12：等边三角形的判定（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.知识点13：含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识点14直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半考点剖析【考点1生活中的轴对称现象】1．（2022秋•道里区校级期末）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：B，C，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而A选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合．故选：A．2．（2022秋•开封期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝25°，击打白球，反弹后将黑球撞入袋中，∠1＝65°．【答案】65°．【解答】解：∵∠2+∠3＝90°，∠3＝25°，∴∠2＝65°．∵∠1＝∠2，∴∠1＝65°．故答案为：65°．【考点2轴对称图形】3．（2023秋•赣州期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运精神提倡奋力拼搏、健康向上，下面与运动相关的图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．【考点3镜面对称】4．（2023秋•太和县期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是（）A．02：21 B．05：51 C．02：51 D．05：21【答案】C【解答】解：如图所示，根据题意作对称图，故选：C．5．（2023春•镇平县期末）小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．故选：C．6．（2023秋•姜堰区校级月考）从镜子中看到汽车正面的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是B6395．【答案】B6395．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395，故答案为：B6395．【考点4轴对称的性质】7．（2023秋•礼县期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝65°，∠C′＝38°，则∠B的度数为（）A．77° B．38° C．74° D．68°【答案】A【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠C＝∠C′＝38°，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣38°＝77°．故选：A．8．（2023春•郓城县期末）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴①△ABC≌△A′B′C′，正确；②∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAC+∠CAC′＝∠B′AC′+∠CAC′，即∠BAC′＝∠B′AC，正确；③l垂直平分CC′，正确；④应为：直线BC和B′C′的交点一定在l上，故本小题错误．综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：B．9．（2023秋•海淀区校级期中）如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB交OM于点C，交ON于点D，连接PC、PD，若∠MON＝40°，则∠CPD的度数为（）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】D【解答】解：根据题意可得：，∵∠MON＝40°，∠DOC+∠ODC+∠OCD＝180°，∴∠ODC+∠OCD＝180°﹣40°＝140°，∵∠ODC＝∠BDN，∠OCD＝∠ACM，∴∠BDN+∠ACM＝140°，∴∠BDP+∠ACP＝280°，∵∠BDP+∠PDC＝180°，∠ACP+∠PCD＝180°，∴∠PDC+∠PCD＝360°﹣280°＝80°，∵∠PDC+∠PCD+∠CPD＝180°，∴∠CPD＝100°，故选：D．【考点5作图轴对称变换】10．（2023秋•蕲春县期中）如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有5种画法．【答案】5．【解答】解：根据轴对称图形可作如图所示：共有5种画法，故答案为：5．11．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．12．（2023秋•确山县期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（2，3）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）在图中，若B2（﹣6，2）与点B关于一条直线成轴对称，此时C点关于直线的对称点C2的坐标为（﹣4，3）；（3）求△A1B1C1的面积．【答案】（1）见解析；（2）（﹣4，3）；（3）△A1B1C1的面积为．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；．（2）∵B2（﹣6，2）与点B（4，2）关于一条直线成轴对称，∴对称轴为直线，此时C（2，3）点关于直线的对称点C2的坐标为（﹣4，3），故答案为：（﹣4，3）；（3）△A1B1C1的面积为．【考点6剪纸问题】13．（2023春•淅川县期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：动手操作或由图形的对称性，因剪去的小正方形紧靠对折线，可得打开后是D．故选：D．14．（2023•南海区开学）正方形纸片剪去一个角后，得到的图形不可能是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【解答】解：一个四边形沿对角线截一刀后得到的多边形是三角形；一个四边形沿平行于边的直线截一刀后得到的多边形是四边形；一个四边形沿除上述两种情况的位置截一刀后得到的多边形是五边形；所以不可能是六边形，故选：D．15．（2023春•朝阳区期末）如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为（）A．90° B．45° C．30° D．22.5°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，如图，∴，，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠ABD＝45°，∠BAC＝45°，∴剪口与折痕所成的角α的度数应为45°，故选：B．【考点7翻折变换(折叠问题)】16．（2023•高碑店市三模）如图，小雨要用一个长方形纸片ABCD折叠一个小兔子，第一步沿OG折叠，使点B落到CD边上的点B′处，若∠GB′C′＝35°，则∠BOG＝（）A．65° B．62.5° C．55° D．52.5°【答案】B【解答】解：∵沿OG折叠，使点B落到CD边上的点B′处，∴∠OB′C′＝∠B＝90°，∠BOG＝∠B′OG，∵∠GB′C′＝35°，∴∠OB′G＝90°﹣35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠AOB′＝∠OB′G＝55°，∴∠BOG＝∠B′OG＝＝62.5°．故选：B．17．（2023秋•孝南区期中）如图1，△ADC中，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，使得点A落在△ADC的外部A'处，如图2所示．若∠1﹣∠2＝42°，则∠A度数为（）A．20° B．21° C．21.5° D．22.5°【答案】B【解答】解：根据折叠的性质得∠A＝∠A'，∠AEF＝∠A'EF，∠AFE＝∠A'FE，∵∠1＝180°﹣∠AEA'，∠A'FE＝∠CFE+∠2，∠CFE＝∠A+∠AEF，∴∠1＝180°﹣2∠AEF，∠AFE＝∠A+∠AEF+∠2，∵∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF，∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠AEF﹣∠A﹣∠AEF＝180°﹣2∠A﹣2∠AEF，∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠AEF﹣（180°﹣2∠A﹣2∠AEF），∴∠1﹣∠2＝2∠A，又∵∠1﹣∠2＝42°，∴2∠A＝42°．∴∠A＝21°．故选B．18．（2023秋•泸县期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的E处．若∠A＝23°，则∠BDC等于（）A．46° B．60° C．68° D．77°【答案】C【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝90°﹣23°＝67°．由翻折的性质可知：∠B＝∠DEC＝67°，∠BDC＝∠EDC．∵∠A+∠ADE＝∠DEC，∴∠EDA＝67°﹣23°＝44°．∴∠BDC＝＝＝68°．故选：C．19．（2023秋•松山区期中）如图的三角形纸片中，BC＝9cm，AC＝6cm，AB＝5cm，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在CB边上的点E处，折痕为CD．则△BDE的周长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】D【解答】解：∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在CB边上的点E处，AC＝6cm，∴CE＝AC＝6cm，DE＝AD，∵BC＝9cm，AB＝5cm，∴BE＝BC﹣CE＝3cm，∴△BDE的周长是：BE+BD+DE＝BE+BD+AD＝BE+AB＝3+5＝8（cm），故选：D．20．（2022秋•广水市期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．40° B．80° C．90° D．140°【答案】B【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，则∠1﹣∠2＝80°．故选：B．【考点8利用轴对称设计图案】21．（2023秋•工业园区校级期中）如图，在3×3的正方形网格中两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形（包括网格）构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【答案】B【解答】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形．故选：B．22．（2023秋•江汉区期中）在3×3的正方形网格中，把3个小正方形涂上阴影．下列各图中，这三个小正方形组成的图案不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意；故选：B．23．（2023•常德三模）如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，若按照图②所示的方法用若干个图形①玩接力游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么用2n+1个这样的图形①拼出来的图形②的总长度为（）A．a+2nb B．a+4nb C．（1﹣n）a+3nb D．【答案】A【解答】解：图形的总长度＝（2n+1）[a﹣（a﹣b）]+a﹣b＝a+2nb，故选：A．【考点9角平分线的性质】24．（2023秋•昭阳区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为（）A．12 B．11 C．10 D．8【答案】A【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3∵AB＝8，∴△ABD的面积为：，故选：A．25．（2023春•峡江县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（）A．10 B．16 C．8 D．5【答案】D【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴AD＝DE，在Rt△ABD和Rt△EBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴AB＝BE，∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3，∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3，∴AB+BE＝10，∴AB＝BE＝5．故选：D．26．（2023春•罗湖区期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点【答案】C【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：C．27．（2023•娄底三模）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（）A．16 B．20 C．40 D．80【答案】B【解答】解：过P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，∴∠BAP+∠CDP＝180°，∵AD⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠CDP＝90°，即AD⊥CD，∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，∴PA＝PE，PE＝PD，∴PA＝PD，∵AD＝8，∴PE＝PD＝AP＝4，∵BC＝10，∴△BCP的面积为＝＝20．故选：B．28．（2023春•汉寿县期末）如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24cm，面积为36cm2，则点P到边BC的距离是（）A．8cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】B【解答】解：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，∵点P是△ABC的内角平分线的交点，∴PE＝PF＝PD，又△ABC的周长为24cm，面积为36cm2，∴，∴，∴PE＝3cm．故选：B．【考点10线段垂直平分线的性质】29．（2023秋•阜平县期中）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，AB＝4，AC＝3，则△ACD的周长为（）A．6 B．6.5 C．7 D．7.5【答案】C【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC．∴△ACD＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝4+3＝7，故选：C．30．（2023秋•玉州区期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】D【解答】解：∵DM是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∵EN是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵△ADE的周长8cm，∴AD+DE+AE＝8cm，∴BD+DE+EC＝8cm，∴BC＝8cm，∴BC的长为8cm；故选：D．31．（2023秋•崆峒区校级期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm【答案】D【解答】解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，∴AD＝DC，AC＝2AE＝6cm，∵△ABD的周长为12cm，∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）．故选：D．32．（2023秋•红安县期中）如图，在△ABC中，点E，F分别是边BC上两点，ED垂直平分AB，FG垂直平分AC，连接AE，AF，若∠BAC＝120°，则∠EAF的大小为（）A．45° B．50° C．60° D．65°【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝180°﹣120°＝60°，∵ED垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝60°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝60°．故选：C【考点11等腰三角形的性质】33．（2022秋•巩义市期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A．等边对等角 B．等角对等 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．34．（2022秋•龙华区校级期末）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°【答案】B【解答】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为（180°﹣80°）＝50°；②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；故选：B．35．（2023秋•宁远县期中）已知等腰三角形两边长是8cm和6cm，那么它的周长是（）A．14cm B．20cm C．22cm D．20cm或22cm【答案】D【解答】解：①若等腰三角形的腰长为8cm，底边长为6cm，∵8+6＝14＞8，∴能组成三角形，∴它的周长是：8+8+6＝22（cm）；②若等腰三角形的腰长为6cm，底边长为8cm，∵6+6＝12＞8，∴能组成三角形，∴它的周长是：8+6+6＝20（cm）．∴它的周长是：22cm或20cm．故选：D．36．（2022秋•北仑区期末）如图，在ABC中，AB＝AC，作AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．若AD＝BC，则∠A的度数为（）A．36° B．35° C．38° D．40°【答案】A【解答】解：连接CD，设∠A＝x°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠A＝∠ACD＝x°，∵∠BDC是△ACD的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°，∵AD＝BC，∴CD＝BC，∴∠BDC＝∠B＝2x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝2x°，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴∠A＝36°，故选：A．【考点12等腰三角形的判定】37．（2023秋•西华县期中）如图，在3×4的正方形网格中，A，B是格点（网格线的交点），若C也是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有点C的位置有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，分三种情况：如图所示：①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有2个；②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有2+1+1＝4（个）；故选：C．38．（2022秋•思明区期末）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中一边长为4cm，则三角形的底边长为（）A．4cm B．7cm C．10cm D．4cm或10cm【答案】A【解答】解：①4cm为底边：（18﹣4）÷2＝7（cm），∴三边：4cm、7cm、7cm能构成三角形；②4cm为腰：18﹣2×4＝10（cm），∴三边：4cm、4cm、10cm不能构成三角形；故选：A．39．（2023春•清远期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：如图，以AB为腰，B为顶角的顶点的等腰三角形有△BAP1，△BAP2，△BAP3，以AB为腰，A为顶角的顶点的等腰三角形有△ABP3，△ABP4，△ABP5，以AB为底边，P为顶角的顶点的等腰三角形有△P6AB，其中△ABP3是等边三角形，∴符合条件的点的个数有6个，故选：D．40．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：所以符合条件的点C的个数为3个，故选：C．【考点13等腰三角形的判定与性质】41．（2023秋•单县期中）如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB，AB于点D，E，则△ADE的周长为（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【解答】解：∵BO平分∠ABC，∴∠DBO＝∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝DO，同理OE＝EC，∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝7+6＝13cm．故选：A．42．（2022秋•井研县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（）A．10 B．11 C．13 D．15【答案】B【解答】解：延长BE交AC于M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM＝5，∵BE⊥AE，∴BM＝2BE＝6，∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5+∠C，∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM＝6，∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．故选：B．43．（2023秋•长垣市期中）如图所示，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．（1）求∠BFC的度数；（2）试证明：DE＝BD+EC．【答案】（1）110°；（2）见解析．【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，∴，，∴，∴∠BFC＝180°﹣（∠ABC+∠FCB）＝180°﹣70°＝110°，（2）∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴DB＝DF，EC＝EF，∵DE＝DF+EF，∴DE＝BD+EC【考点14等边三角形的性质】44．（2022秋•儋州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．1 B． C． D．1.5【答案】C【解答】解：∵AB＝AC＝2，∠B＝60°，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝，故选：C．45．（2023秋•琼中县期中）如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．18° B．42° C．60° D．102°【答案】D【解答】解：∵a∥b，∠1＝42°，∴∠1+∠BAC＝∠2，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠2＝42°+60°＝102°，故选：D．46．（2023秋•西山区校级期中）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为（）A．80° B．60° C．75° D．45°【答案】C【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝75°．故选：C【考点15等边三角形的判定】47．（2023秋•西城区校级期中）△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，则△ABC的形状为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有30°角的直角三角形 D．钝角三角形【答案】A【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b，b＝c，c＝a，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．故选：A．48．（2023春•漳州期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形【答案】D【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．故选：D．49．（2022秋•鄂州期末）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：连接AB，根据题意得：OB＝OA＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°．故选：C．【考点16等边三角形的判定与性质】50．（2023•张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，∴CD＝CF．51．（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形【考点17含30度角的直角三角形】52．（2023秋•鹤庆县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD是斜边BC上的高，若CD＝3，则BD的长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC，∵AD是斜边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝30°，∵CD＝3，∴AC＝2CD＝6，∴BC＝2AC＝12，∴BD＝BC﹣CD＝9．故选：C．53．（2023春•文昌校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2BC＝2×1＝2，∵∠C＝90°，∠A＝15°，∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝2．故选：B．【考点18直角三角形斜边上的中线】54．（2023秋•城固县期中）如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（）A．50° B．48° C．55° D．25°【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴AD＝BD＝CD，∵∠B＝25°，∴∠B＝∠BCD＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝25°+25°＝50°．故选：A．55．（2022秋•德化县期末）如图，两条公路AC，BC恰好互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为0.9km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km【答案】C【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，∵公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为0.9km，∴，即M、C两点间的距离为0.9km．故选：C．56．（2023春•惠城区校级期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【解答】解：如图，连接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：5﹣2＝3．故选：B．57．（2023•十堰一模）如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，点P是AB中点，A'B'表示竹竿AB端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则OP的长及在竹竿AB滑动过程中的情况是（）A．下滑时，OP的长度增大 B．上升时，OP的长度减小 C．只要滑动，OP的长度就变化 D．无论怎样滑动，OP的长度不变【答案】D【解答】解：∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，∴OP＝AB，即OP的长在竹竿AB滑动过程中始终保持不变，故选：D．过关检测一．选择题（共11小题）1．（2023•广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，故选：A．2．（2023秋•禹城市期中）如图，射线OC平分∠AOB，点D、Q分别在射线OC、OB上，若OQ＝4，△ODQ的面积为10，过点D作DP⊥OA于点P，则DP的长为（）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】B【解答】解：过点D作DE⊥OB，垂足为E，∵OQ＝4，△ODQ的面积为10，∴OQ•DE＝10，∴DE＝5，∵射线OC平分∠AOB，DE⊥OB，DP⊥OA，∴DE＝DP＝5，故选：B．3．（2023秋•天元区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠ADC的度数为（）A．35° B．40° C．42° D．50°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝80°，∴∠CAD+∠CDA＝80°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D＝40°，故选：B．4．（2022秋•安顺期末）如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（）A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm【答案】A【解答】解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm；当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4＝8，不满足三角形的三边关系，不符合题意；故选：A．5．（2022秋•桐柏县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵CD是高，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝30°，∵BD＝1，∴BC＝2BD＝2，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3．故选：C．6．（2023秋•梁山县期中）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AB边D点，若EC＝6cm，则AC＝（）cm．A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C【解答】解：根据折叠的性质，DE＝EC＝6cm，∠EDB＝∠C＝90°，∴∠EDA＝90°，∵∠A＝30°，∴AE＝2DE＝12cm，∴AC＝AE+EC＝18cm，故选：C．7．（2022秋•利川市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（）A．11 B．12 C．14 D．16【答案】C【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵△BCD的周长为24，∴BD+CD+BC＝24，∴AB+BC＝24，∵BC＝10，∴AC＝AB＝24﹣10＝14．故选：C．8．（2022秋•攸县期末）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝7，BC＝4，则△BEC的周长是（）A．9 B．11 C．12 D．13【答案】B【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∵AE＝BE，∵AC＝7，BC＝4，∴△BEC的周长为：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝7+4＝11，故选：B．9．（2023春•青原区期末）如图，△ABC的面积为8cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2【答案】C【解答】解：延长AP交BC于点D，如图所示，∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，∴∠ABP＝∠DBP，∠APB＝∠DPB＝90°，∴∠PAB＝∠PDB，∴BA＝BD，∵BP⊥AD，∴AP＝DP，∴S△APB＝S△DBP，S△APC＝S△DPC，∴，∵△ABC的面积为8cm2，∴△PBC的面积为4cm2，故选：C．10．（2023春•大竹县校级期末）有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条角平分线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点 C．△ABC三条中线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点【答案】A【解答】解：∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．故选：A．11．（2022秋•井研县期末）如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①∠DFB＝∠DBF；②△EFC为等腰三角形；③△ADE的周长等于△BFC的周长；④．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【解答】解：①∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABF＝∠CBF，又∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠DFB＝∠DBF，故①正确；②同理∠ECF＝∠EFC，∴EF＝EC，∴△EFC为等腰三角形，故②正确；③假设△ABC为等边三角形，则AB＝AB＝BC，如图，连接AF，∵∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴BD＝DF，EF＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵F是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，∴第三条平分线必过其点，即AF平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，∴∠FAB＝∠FBA＝∠FAC＝∠FCA＝30°，∴FA＝FB＝FC，∵FA+FC＞AC，∴FB+FC＞AC，∴FB+FC+BC＞BC+AC，∴FB+FC+BC＞AB+AC，即△BFC的周长＞△ADE的周长，故③错误；④在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°①，在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠FCB＝180°，即∠BFC+∠ABC+∠ACB＝180°②，②×2﹣①得，∠BFC＝90°+∠BAC，故④正确；故选：C．二．填空题（共6小题）12．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，BD＝5cm，EC＝4cm，则DE＝9cm．【答案】9．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，∴BD＝DF＝5cm，FE＝CE＝4cm，∴DE＝DF+CE＝9（cm）．故答案为：9．13．（2023秋•海兴县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10cm，则BC的长为5cm．【答案】5．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10cm，∴BC＝AB＝5cm，故答案为：5．14．（2023•太平区二模）如图，l1∥l2，等边△ABC顶点A、B分别在l1，l2上，∠2＝45°，则∠