专题286锐角三角函数章末九大题型总结（拔尖篇）（人教版）（原卷版）

专题28.6锐角三角函数章末九大题型总结（拔尖篇）【人教版】TOC\o"13"\h\u【题型1构建直角三角形求锐角三角函数值】 1【题型2用等角转换法求锐角三角函数值】 2【题型3锐角三角函数与相似三角形的综合应用】 3【题型4锐角三角函数与圆的综合应用】 4【题型5解非直角三角形】 6【题型6巧设辅助未知数解直角三角形】 7【题型7构造直角三角形进行线段或角的计算】 8【题型8解直角三角形与圆的综合应用】 9【题型9构造直角三角形解决实际问题】 10【题型1构建直角三角形求锐角三角函数值】【例1】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=90°，E为边BC上的点，△ADE为等边三角形，BE=8，CE=2，则tan∠AEB的值为（）

A．375 B．275 C．【变式11】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=mAB【变式12】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交

【变式13】（2023春·江苏常州·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4，AD是BC边上的高，将△ABC绕点C旋转到△EFC（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段【题型2用等角转换法求锐角三角函数值】【例2】（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称点P为【变式21】（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，连结AC，延长BC到点E，使CE=AC，过点E作AC的平行线与AD的延长线交于点

(1)求证：四边形ACEF是菱形；(2)连结AE，若tan∠ACB=158【变式22】（2023秋·上海黄浦·九年级统考期末）如图，平面上七个点A、B、C、D、E、F、G，图中所有的连线长均相等，则cos∠BAF=．【变式23】（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O．点M是BC边的中点，连接AM、OM，作CF∥AM．已知OC平分∠BCF，OB平分∠AOM，若【题型3锐角三角函数与相似三角形的综合应用】【例3】（2023春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB一点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处，连接BF，且BE=EF，∠BEF的正弦值为2425A．23 B．45 C．35【变式31】（2023·福建·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点M、N分别在边AB、AD上（不与端点重合），且DM⊥CN于点P．若∠【变式32】（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=35，将△ABC绕顶点C旋转得到△A'B'C'，且使得

A．25 B．720 C．310【变式33】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（

A．25+34 B．25+1 C．2【题型4锐角三角函数与圆的综合应用】【例4】（2023·广东惠州·校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延长线于F

(1)求证：AD=(2)若AOAF=2【变式41】（2023·湖北武汉·校考三模）如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，PB交⊙O于D，点C是弧BD

(1)求证：PC是⊙O(2)若CD∥AB，求【变式42】（2023·浙江杭州·校考三模）如图1，三角形ABC内接于圆O，点D在圆O上，连接AD和CD，CD交AB于点E，∠

(1)求证：AB是直径；(2)如图2，点F在线段BE上，AC=AF①求证：DE=②若AB=kAD，用含k的表达式表示【变式43】（2023·广东湛江·统考二模）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且(1)求证：直线AB是⊙O(2)若BC=2OC，求(3)在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB=2【题型5解非直角三角形】【例5】（2023·天津河北·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，连接AC，点E在AC上，∠

【变式51】（2023春·九年级单元测试）在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=223，则∠ABC的大小为【变式52】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期末）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为255（即cosC=255），则【变式53】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知：在△ABC中，BA=BC，sin∠CAB=45，点E是AC的中点，F是直线BC上一点，连接EF，将△EFC

(1)如图1，若点D在线段AB上，求证：EF∥(2)如图2，DF与AB交于点M，连接AF，若∠DAF=∠EAF，求证：点M(3)如图3，点F在CB延长线上，DF与AB交于点M，EF交AB于点N，若DE=EN=3【题型6巧设辅助未知数解直角三角形】【例6】（2023·辽宁沈阳·统考二模）如图，在平行四边形ABCD中，sinA=1213,BC=13,CD=24，点E在边CD上，将△BCE沿直线BE翻折，点C【变式61】（2023·上海·九年级期末）如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点【变式62】（2023春·浙江·九年级期末）如图，四边形ABCD，CEFG均为菱形，∠A=∠F，连结BE，EG，EG//BC，EB⊥BC，若sin∠EGD【变式63】（2023秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠ACB，G是线段OD上一点，且∠DGC-∠DCG=90°，①当AC⊥BD时，OGGD

【题型7构造直角三角形进行线段或角的计算】【例7】（2023·江苏无锡·校联考一模）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=8，点E在BC上且CE=AE，则CE=；若点F为平面内一点，且∠AFC=90°，连接EF，【变式71】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠ABC，tan∠ADC=43，延长AB、DC交于点【变式72】（2023春·江苏常州·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D、E分别是边AB、边BC上的点，连接CD，∠CDE=∠B，F(1)判断△CDF(2)若AD=4，求EF(3)若sinB=35①求BDDE②求FC的长．【变式73】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，AE平分∠BAC并交

(1)求证：∠BAC(2)若BC=AC，且cos∠(3)如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F,BFDF=3，其中BEDE=1【题型8解直角三角形与圆的综合应用】【例8】（2023·黑龙江绥化·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E

(1)求证：BC是圆O的切线；(2)求证：AD(3)若BE=16，sinB=5【变式81】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）点D在以AB为直径的⊙O上，分别以AB，AD为边作平行四边形ABCD(1)如图（1），若∠C=45°，求证：CD与(2)如图（2），CD与⊙O交于点E，若cosA=3【变式82】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，D为

(1)求证：AD为⊙O(2)若E为弧AB的中点，连接AE、CE，tan∠AEC=23【变式83】（2023·湖南长沙·校考一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点

(1)求证：BE=(2)若BP=3，∠(3)如图2，AM=BM，连接DM，交AB于点N，若tan∠【题型9构造直角三角形解决实际问题】【例9】（2023·浙江温州·校联考二模）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身AB=AD=BC=120cm，CD=40cm，壶嘴EF=150cm，且CD∥AB，EF∥BC，DE=3

【变式91】（2023春·浙江·九年级专题练习）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB=3m，∠BAC

(1)求BO的长．(2)消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，【变式92】（2023·浙江温州·统考二模）如图1是一款便携式拉杆车，其侧面示意图如图2所示，前轮⊙O的直径为12cm，拖盘OE与后轮⊙O'相切于点N，手柄OF⊥OE．侧面为矩形ABCD的货物置于拖盘上，AB=20cm，BC=52cm．如图3所示，倾斜一定角度拉车时，货物绕点B旋转，点C落在OF上，若tan∠ABE=15

【变式93】（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄OA=5cm，BE是底座，OA与BE所成的夹角为36.8°，O点是把柄转轴所在的位咒，且O