《高等数学II》课程教学大纲

PAGEPAGE7《高等数学II》教学大纲课程编号：120105A课程类型：eq\o\ac(□,√)通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□学科基础课总学时：80讲课学时：80实验（上机）学时：0学分：5考试类型：eq\o\ac(□,√)考试□考查适用对象：工科，管理科学□是eq\o\ac(□,√)否适合作为其他专业学生的个性化选修课先修课程：高等数学I一、教学目标高等数学是工科本科各专业及部分管理科学专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。目标1：使学生获得向量代数和空间解析几何，多元函数微积分学，无穷级数(包括傅立叶级数)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能；目标2：为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。目标3：逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。目标4：培育有坚定理想信念、深厚爱国主义情怀、高尚道德情操，具有扎实工学与管理科学专业学识，坚韧奋斗进取品格的社会主义新青年。二、教学内容及其与毕业要求的对应关系本课程在教学中要求学生确切理解《高等数学》中的基本概念，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等数学中极限的思想，微分的思想，积分的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。在讲解内容的同时，以极限的思想贯穿导数、微分、积分、级数等知识的讲授，重点是让学生了解概念的背景，理解概念与方法的思想，熟练基本的计算方法，灵活运用数学方法解决实际问题。所选教材以微积分学为纲，把高等数学的主要内容放在微分与积分的框架下展开，同时将相关的空间解析几何、微分方程进行尽可能详细的学习。讲课的难点在于把握将极限的思想渗透到各个教学内容之中，让学生理解和掌握如何把一些实际问题动态化，并将微积分学和方程中的分割、近似、极限的思想应用到解决这些问题中，使学生能把握简洁和直接的高等数学方法。通过活泼互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣；通过探索讨论课，调动学生的学习主动性；教学中逐步培养学生运用高等数学的方法分析问题和解决问题的能力。每一章的重点内容要重点讲解，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（课堂讨论、作业、习题课、自学课外资料、问题探讨等）以达到掌握高等数学中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的能力的目的。难点要逐步引入，分散讲解。本大纲列入部分带“*”的内容，供学生自学。本课程的考核成绩采取平时成绩（含课堂参与度、作业、小测验）与期末闭卷测试成绩相结合的方式，拟按3:7比例分配。我校学习本课程的学生来自安全与环境工程学院、信息学院等学院，由于其专业背景的差别，在教学过程中可以根据专业要求适当调整重点讲授的内容。三、各教学环节学时分配教学课时分配序号章节内容讲课实验习题课合计1向量代数与空间解析几何102122多元函数微分学162183重积分122144曲线与曲面积分123155无穷级数16521合计661480四、教学内容第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程会计算二阶、三阶行列式。理解空间直角坐标系。理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解曲面的交线在坐标平面上的投影。教学重点、难点：让学生深刻理解向量的表示及运算，为后续多元微分与多元积分相关知识学习打下基础；熟练掌握直线与平面方程的求法；注意平面曲线到旋转曲面的转变，理解曲线到曲面方程的导出；常用二次曲面方程与图形的对应；曲面的交线在坐标面上的投影是难点。课程的考核要求：判定直线、平面的位置关系，直线与平面的求法，柱面与旋转曲面的表示，曲线的表示。复习思考题：课后习题。了解解析几何学建立的重大意义。第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法*第九节二元函数的泰勒公式*第十节最小二乘法理解多元函数的概念。了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。教学重点、难点：偏导数、全微分概念的理解，复合函数求偏导数，参数方程确定的函数的理解及其求其偏导数，理解一般方程表示的曲线的切线方向是个难点，实际问题用多元函数极值方法讨论时的严谨性。课程的考核要求：多元函数偏导数、全微分理解与计算，复合函数求偏导，隐函数、参数方程确定的函数的偏导数，方向导数与梯度的理解与简单计算，求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，应用问题的最值。复习思考题：课后习题。了解和体会在最优化方法在社会经济生活中的应用，树立学好本领，用科学的方法提高生产力的信心。第十章重积分第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算法第三节三重积分第四节重积分的应用*第五节含参变量的积分理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。教学重点、难点：二重积分的计算方法，选择合适的坐标系进行计算，把握积分区域的表示以及积分次序，直角坐标系下的三重积分计算，重积分于曲面面积与质心的求法。课程的考核要求：会选择合适的坐标系，用重积分计算几何体的面积、体积。复习思考题：课后习题。体会数学方法用于解决实际问题的优势。第十一章曲线弧长与曲面积分第一节对弧长的曲线积分第二节对坐标的曲线积分第三节格林公式及其应用第四节对面积的曲面积分第五节对坐标的曲面积分第六节高斯公式通量与散度*第七节斯托克斯公式环流量与旋度理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。了解散度、旋度的计算公式。会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。教学重点、难点：两类曲线与两类曲面积分概念的理解，会计算曲线曲面积分。理解格林公式的推导，掌握其应用，通过格林公式的学习引导学生能顺利过渡到高斯(Guass)公式原理及其简单应用。课程的考核要求：两类曲线积分、两类曲面积分的应用与计算，格林公式、高斯公式简单应用。复习思考题：课后习题。体会数学方法用于解决实际问题的优势。第十二章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质第二节常数项级数的审敛法第三节幂级数第四节函数展开成幂级数第五节函数的幂级数展开式的应用*第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质第七节傅里叶级数*第八节一般周期函数的傅里叶级数理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和p-级数的收敛性。了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用，，，和的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解幂级数在近似计算上的简单应用。了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。教学重点、难点：理解无穷级数收敛概念，和的概念，记住一些常见数项级数的收敛性，熟练运用数项收敛判别法；函数项级数和函数的理解，函数展开成幂级数的理解，熟练掌握幂级数展开的间接展开法，幂级数展开式在近似计算中的应用，傅里叶级数的了解与简单应用。课程的考核要求：判定数项级数的收敛性，求级数的和或和函数，会将级数展开成幂级数，简单的近似计算与误差估