《高等数学I》课程教学大纲

PAGEPAGE7《高等数学I》教学大纲课程编号：120095A课程类型：eq\o\ac(□,√)通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□学科基础课总学时：80讲课学时：80实验（上机）学时：0学分：5考试类型：eq\o\ac(□,√)考试□考查适用对象：工科，管理科学□是eq\o\ac(□,√)否适合作为其他专业学生的个性化选修课先修课程：无一、教学目标高等数学是工科本科各专业及部分管理科学专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。目标1：在学习方法和数学思想上初步完成从中学数学走向大学数学的适应与过渡；目标2：使学生获得函数与极限，一元函数微积分学，常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。目标3：逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。目标4：培育有坚定理想信念、深厚爱国主义情怀、高尚道德情操，具有扎实工学与管理科学专业学识，坚韧奋斗进取品格的社会主义新青年。二、教学内容及其与毕业要求的对应关系本课程在教学中要求学生确切理解《高等数学I》中的基本概念，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等数学中极限的思想，微分的思想，积分的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。在讲解内容的同时，以极限的思想贯穿导数、微分、积分、级数等知识的讲授，重点是让学生了解概念的背景，理解概念与方法的思想，熟练基本的计算方法，灵活运用数学方法解决实际问题。所选教材以微积分学为纲，把高等数学的主要内容放在微分与积分的框架下展开，同时将相关的空间解析几何、微分方程进行尽可能详细的学习。讲课的难点在于把握将极限的思想渗透到各个教学内容之中，让学生理解和掌握如何把一些实际问题动态化，并将微积分学和方程中的分割、近似、极限的思想应用到解决这些问题中，使学生能把握简洁和直接的高等数学方法。通过活泼互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣；通过探索讨论课，调动学生的学习主动性；教学中逐步培养学生运用高等数学的方法分析问题和解决问题的能力。每一章的重点内容要重点讲解，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（课堂讨论、作业、习题课、自学课外资料、问题探讨等）以达到掌握高等数学中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的能力的目的。难点要逐步引入，分散讲解。本大纲列入部分带“*”的内容，供学生自学。本课程的考核成绩采取平时成绩（含课堂参与度、作业、小测验）与期末闭卷测试成绩相结合的方式，拟按3:7比例分配。我校学习本课程的学生来自安全与环境工程学院、信息学院等学院，由于其专业背景的差别，在教学过程中可以根据专业要求适当调整重点讲授的内容。三、各教学环节学时分配教学课时分配序号章节内容讲课实验习题课合计1函数、极限、连续123152一元函数微分学225273一元函数积分学226284常微分方程8210合计641680四、教学内容第一章函数与极限第一节映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷大与无穷小第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较第八节函数的连续性与间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。理解复合函数和反函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。理解极限的概念(对极限的、定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高的要求。)，掌握极限四则运算法则及换元法则。理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。教学重点、难点：有界性的理解，让学生逐步适应和接受极限的、定义方式，两个重要极限导出的思想方法，无穷小的理解与灵活运用，函数连续与间断的概念。课程的考核要求：极限的概念、基本求法，连续与间断的判定，闭区间上连续函数的性质的简单应用。复习思考题：课后习题。了解极限的数学语言在微积分学建立体系过程中的重要意义。第二章导数与微分第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率第五节函数的微分理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。教学重点、难点：结合几何和物理背景理解导数的概念，熟练基本求导数规则，特别是掌握复合函数求导，理解反函数导数及其应用。课程的考核要求：导数的定义、各种基本求导方法，微分的应用。复习思考题：课后习题。第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大值最小值第六节函数图形的描绘第七节曲率*第八节方程的近似解理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。教学重点、难点：中值定理的背景与关联，洛必达法则求极限时与已有方法的结合，灵活运用导数判定单调性、求最值，描绘函数图形，弧微分、曲率的了解和应用。课程的考核要求：中值定理的理解与应用、运用洛必达法则求解未定式的极限，单调与极值、凹凸与拐点的求法，简单的最值应用问题，计算曲率。复习思考题：课后习题。深入了解导数在科技社会领域的应用，树立努力学好数学的信念。第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理函数的积分第五节积分表的使用理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。会求简单的有理函数的积分。教学重点、难点：不定积分的概念与性质，熟练掌握不定积分的基本求法。课程的考核要求：计算不定积分。复习思考题：课后习题。第五章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分*第五节反常积分的审敛法函数理解定积分的概念及性质，了解可积条件。理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。掌握定积分的换元法和分部积分法。了解广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。教学重点、难点：定积分的概念的理解，其近似、求和、取极限的思想用于解决相关实际问题，积分上限的函数的理解及其求导方法，熟练掌握定积分的基本求法，一些关于奇偶函数、周期函数、三角函数的特殊结果及其应用。函数的了解与记忆。课程的考核要求：定积分定义的应用，积分上限的导数的应用，计算定积分，换积分上下限的灵活处理。复习思考题：课后习题。理解积分方法的完善过程，体会数学学科发展进程的特点。第六章定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。教学重点、难点：定积分表达和求解一些几何量与物理量。课程的考核要求：定积分计算面积、体积、弧长、功、引力等。复习思考题：课后习题。深入了解积分在科技社会领域的应用，树立努力学好数学的信念。第七章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程第五节可降阶的高阶微分方程第六节高阶线性微分方程第七节常系数齐次线性微分方程第八节常系数非齐次线性微分方程*第九节欧拉方程*第十节常系数线性微分方程组解法举例了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用变量代换求方程的思想。会解全微分方程。会用降阶法解下列方程：。理解二阶线性微分方程解的结构。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。会求自由项形如、的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。教学重点、难点：微分方程的思想，对实际问题建立微分方程，微分方程于微分与积分问题中的应用，微分方程解的结构的理解与运用，二阶常系数非齐次方程的求解。课程的考核要求：对简单的数学或物理问题建立一阶或二阶微分方程