2024-2025学年高中数学第一章集合与函数概念1.2.2第2课时分段函数与映射学案含解析新人教A版必修1

PAGE第2课时分段函数与映射内容标准学科素养1.通过详细实例，了解简洁的分段函数，并能简洁应用．2．了解映射的概念.应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第19页[基础相识]学问点一分段函数eq\a\vs4\al(预习教材P21－22，思索并完成以下问题)某市空调公共汽车的票价按下列规则判定：①5千米以内，票价2元；②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．(1)从起点站动身，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？提示：有函数关系．(2)函数的表达式是什么？提示：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0＜x≤5，3，5＜x≤10.))学问梳理假如函数y＝f(x)，x∈A，依据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思索：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？提示：分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域．学问点二映射eq\a\vs4\al(预习教材P22－23，思索并完成以下问题)A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}．对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆．(1)从集合A到集合B能构成函数吗？提示：不能．(2)从集合A到集合B的对应有什么特点？提示：对于集合A中的任何一个三角形，在集合B中都有唯一的外接圆与之对应．学问梳理设A，B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．思索：映射与函数是什么关系？提示：函数是特殊的映射，其是建立在两个非空数集上的对应关系，而映射不肯定是函数．[自我检测]1．已知映射f：A→B，对随意x∈A，则B中与x对应的元素有()A．0个 B．1个C．2个 D．多数个解析：依据映射的定义，对于A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故选B.答案：B2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x＞0，0，x＝0，x－1，x＜0，))则它的定义域是__________．解析：∵{x|x＞0}∪{0}∪{x|＜0}＝R，∴函数f(x)的定义域是实数集R.答案：R3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，0，x＞0，))则f(－2)＝__________.解析：f(－2)＝(－2)2＝4.答案：4授课提示：对应学生用书第20页探究一分段函数求值[例1](1)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1\f(2,x)，x>1))则f(f(3))＝()A.eq\f(1,5) B．3C.eq\f(2,3) D.eq\f(13,9)(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤11－x2，x>1))，若f(x)＝－3，则x＝__________.[解析](1)由题意f(3)＝eq\f(2,3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＝eq\f(13,9)，所以f(f(3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(13,9).(2)若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2，x＝－2(舍去)．综上可得所求x的值为－4或2.[答案](1)D(2)－4或2方法技巧1.求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类探讨．(2)然后代入到不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所探讨的区间内．跟踪探究1.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2，x<1x2＋ax，x≥1))，若f[f(0)]＝4a，则实数a＝__________.解析：由题意可知，f(0)＝2，f(2)＝4＋2a.又f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a＝4a，所以a＝2.答案：2探究二分段函数的图象及应用[阅读教材P21例5]画出函数y＝|x|的图象．题型：分段函数图象[例2]若f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5，x≤0，x＋5，0＜x≤1，－2x＋8，x＞1.))(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))，f(－1)的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求f(x)的最大值．[解析](1)∵eq\f(3,2)＞1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－2×eq\f(3,2)＋8＝5.∵0＜eq\f(1,π)＜1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))＝eq\f(1,π)＋5＝eq\f(5π＋1,π).∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)如图所示：在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值，最大值为6.方法技巧分段函数图象的画法(1)对含有肯定值的函数，要作出其图象，首先应依据肯定值的意义去掉肯定值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特殊留意接点处点的虚实，保证不重不漏．跟踪探究2.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，1，x＞1或x＜－1，))(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域．解析：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示：(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．探究三映射的概念及应用[阅读教材P22例7]题型：映射的概念[例3]推断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，若是，是不是集合A到集合B的函数．(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：“作圆的内接矩形”；(3)A＝{北京奥运会金牌}，B＝{北京奥运会金牌获得者}，对应关系f：每枚金牌对应当项获得者．(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝eq\f(1,2)x.[解析](1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的肯定值为0，而0∉B，故不是映射．(2)因为一个圆有多数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有多数个元素与之对应，故不是映射．(3)对于A中的每枚金牌，都对应B中的一个获得者，故是映射，A、B不是数集．不是函数关系．(4)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝eq\f(1,2)x作用下对应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义．是函数，符合函数定义．方法技巧推断一个对应是否为映射的两个关键点(1)对于A中的随意一个元素，在B中是否有元素对应；(2)B中的对应元素是否是唯一的．留意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．跟踪探究3.设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关系的有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：①、②满意映射定义；③中当x∈(2,3]时，找不到图象；④中x∈(0,1]时，与之对应的数不唯一，故③、④构不成映射关系．答案：C授课提示：对应学生用书第21页[课后小结]1．本节课主要学习了分段函数及映射的有关概念，明确了分段函数的特点及映射与函数的区分．2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3．映射的推断应抓住三个关键词：“随意性”“唯一确定”及“非空集合”．[素养培优]分段函数求值问题已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－1|－2，|x|≤1，\f(1,1＋x2)，|x|>1，))若f(a)＝eq\f(1,5)，则a的值为__________．易错分析：错误的根本缘由是忽视了每一段解析式所对应的自变量的取值范围，实际在本题中，求出a的值后应留意检验．自我订正：因为f(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co