人教版2024-2025学年八年级数学专题12.2角平分线中的几何综合(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题12.2角平分线中的几何综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结知识点总结一、角平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.二、角平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB典例分析典例分析【典例1】已知△ABC，AD是一条角平分线．【探究发现】如图1，若AD是∠BAC的角平分线．可得到结论：ABAC小艳的解法如下：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，过点A作AP⊥BC于点P，∵AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB，DN⊥AC，∴__________________∴S△ABD又∵S△ABD∴__________________【类比探究】如图2，若CD是∠ACB的外角平分线，CD与BA的延长线交于点D．求证：ACBC【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，若EDCD=4【思路点拨】探究发现：根据题干中的解题思路求解即可；类比探究：过点D作DN⊥AC交CA延长线于N，过点D作DM⊥BC延长线于M，过点C作CP⊥BD于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可；拓展应用：在BC上取点G，使得BG=BE，连接DG，先利用全等三角形的判定得出△BDE≌△BDG，再由其性质及前面的结论求解即可．【解题过程】探究发现：解：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，过点A作AP⊥BC于点P，∵AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∴S△ABD又∵S△ABD∴ABAC故答案为：DM=DN，ABAC，AB类比探究：证明：过点D作DN⊥AC交CA延长线于N，过点D作DM⊥BC延长线于M，过点C作CP⊥BD于点P．

∵CD平分∠MCN，∴DN=DM．∴S△ACDS△DBC∴ACBC拓展应用：在BC上取点G，使得BG=BE，连接DG，

∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BD,CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠DBE=∠DBG，∠DCG=∠DCF，∠DBC+∠DCB=1∴∠BDC=120°，∴∠BDE=60°，∵BD=BD，∴△BDE≌△BDG，∴∠BDE=∠BDG=60°，∴∠BDG=∠CDG=60°∴DG是∠BDC的角平分线由（1）知，DEDC设BE=4x，BC=7x，则BG=4x，CG=3x，由（1）知BDDC即BDDC学霸必刷学霸必刷1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①

A．3 B．2 C．1 D．02．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一点，BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD=180°；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正确的为（

）

A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC

A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④4．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC=∠BAC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠CAB=∠CBA；④

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，且交于点F．则下列说法中①∠AFC=120°；②S△ABD=S△ADC；③若AE=EB，则CE⊥AB；④CD+AE=AC；⑤

A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OD=4，若△ABC的面积为25，则△ABC的周长为．7．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则△OMN的周长是．8．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，且AD=2CD,BC=4EC，连接BD、AE交于点F,∠BAF的平分线交BD于点G，且AB:AF=2:1，若9．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在△AOC和△BOD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论中：①∠AMB=36°，②AC=BD，③若OB平分∠AOM，则△OEC≌△OMD，④AO∥BD．正确的结论有（填序号）

10．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠A=60∘∠ABC>∠A，角平分线BD、CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论；①S△BOC:S△BOE=BC:BE；②

11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）若∠BAC=∠DAE=50°，请直接写出∠BFC的度数；（3）连接AF，过点A作AH⊥BD于点H，求证：FA平分∠DFC；（4）线段DH，EF与HF之间的数量关系是：________．12．（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°．

（1）求证：AE平分∠CAF；（2）直接写出∠AEB的度数______；（3）若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求13．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）已知：在△ABC中，作∠ABC平分线BM，在BM上找一点D，使得DA＝DC，过点D作DE⊥BC，交直线BC于点（1）依题意补全图形；（2）用等式写出AB、BC、BE之间的数量关系，并给出证明；（3）如果把作∠ABC的平分线BM，改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM，其他条件不变，直接用等式写出AB、BC、BE之间的数量关系．14．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C=60°．（1）求∠APB；（2）求证：PD=PF；（3）若∠ABC=80°，求证：AP=BC．15．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE=45°．

（1）求证：BF平分∠ABE；（2）连接CF交AD于点G，若SΔABF=（3）在（2）的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长．16．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）【问题情境】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．

（1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接BD、AE，延长AE交BD于点F，则AE与BD的数量关系是________，位置关系是________；（2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接AE交DC于点H，连接BD交AE于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？（3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？若固定，求出∠AFG的度数；若不固定，请说明理由．17．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在△ABC中，BD牛分∠ABC,CE平分∠ACB,BD与CE交于点O．

图1

图2（1）如图1，若∠A=60°．①求∠BOC的度数；②作OF⊥AB于点F，探究AE、AD、AF之间的数量关系并说明理由；（2）如图2，若∠A=90°,OE=kOC,ODOB=18．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．

（1）如图1，求∠BGC的度数；（2）如图2，求证：EG=FG；（3）如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．19．（22-23八年级下·广东梅州·阶段练习）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．（1）如图1，求证：∠BOC=90°+1

（2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．

（3）如图3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求ODOC

20．（22-23八年级上·广东珠海·阶段练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BP交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG专题12.2角平分线中的几何综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结知识点总结一、角平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.二、角平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB典例分析典例分析【典例1】已知△ABC，AD是一条角平分线．【探究发现】如图1，若AD是∠BAC的角平分线．可得到结论：ABAC小艳的解法如下：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，过点A作AP⊥BC于点P，∵AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB，DN⊥AC，∴__________________∴S△ABD又∵S△ABD∴__________________【类比探究】如图2，若CD是∠ACB的外角平分线，CD与BA的延长线交于点D．求证：ACBC【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，若EDCD=4【思路点拨】探究发现：根据题干中的解题思路求解即可；类比探究：过点D作DN⊥AC交CA延长线于N，过点D作DM⊥BC延长线于M，过点C作CP⊥BD于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可；拓展应用：在BC上取点G，使得BG=BE，连接DG，先利用全等三角形的判定得出△BDE≌△BDG，再由其性质及前面的结论求解即可．【解题过程】探究发现：解：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，过点A作AP⊥BC于点P，∵AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∴S△ABD又∵S△ABD∴ABAC故答案为：DM=DN，ABAC，AB类比探究：证明：过点D作DN⊥AC交CA延长线于N，过点D作DM⊥BC延长线于M，过点C作CP⊥BD于点P．

∵CD平分∠MCN，∴DN=DM．∴S△ACDS△DBC∴ACBC拓展应用：在BC上取点G，使得BG=BE，连接DG，

∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BD,CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠DBE=∠DBG，∠DCG=∠DCF，∠DBC+∠DCB=1∴∠BDC=120°，∴∠BDE=60°，∵BD=BD，∴△BDE≌△BDG，∴∠BDE=∠BDG=60°，∴∠BDG=∠CDG=60°∴DG是∠BDC的角平分线由（1）知，DEDC设BE=4x，BC=7x，则BG=4x，CG=3x，由（1）知BDDC即BDDC学霸必刷学霸必刷1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①

A．3 B．2 C．1 D．0【思路点拨】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据OP平分∠AOB可知PE=PF，结合OP=OP即可证明△POE≌△POF．根据图中各角的数量关系可得∠MPE=∠NPF、∠PEM=∠【解题过程】解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO=∴∠EPF+∵∠MPN+∴∠EPF=∴∠EPM=∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F∴PE=PF．在△POE和△POF中PE=PF，OP=OP，∴Rt△POE≌∴OE=OF．在△PEM和△PFN中∠MPE=∴△PEM≌△PFN(ASA∴EM=NF，PM=PN，S∴S四边形∴OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE=定值，故②正确．故选：C．2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一点，BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD=180°；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正确的为（

）

A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．可证△ABD≌△EBC，所以△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；由△ABD≌△EBC可得∠BCE=∠BDA，∠BCD=∠ADE，因为∠BDA+∠ADE=180°，等量代换∠BCE+∠BCD=180°；因为BE=BA，所以∠BAE=∠BEA=12(180°−∠ABE)，因为∠ABD=∠DBC，∠BDC=∠BCD=12(180°−∠DBC)，∠BDC=∠ADE，所以∠BAE=∠BEA=∠BDC=∠BCD，即∠ADE=∠AED=12(180°−∠ABE)，因为∠DAE=180°−2∠AED，可得∠ABE=∠DAE；过E作EM⊥BC，可证Rt【解题过程】解：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵BD=BC，BE=BA，∴△ABD≌△EBCSAS∴△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，故①符合题意，∴∠BCE=∠BDA，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵∠BDC=∠ADE，∴∠BCD=∠ADE，∵∠BDA+∠ADE=180°，∴∠BCE+∠BCD=180°，故②符合题意，∵BE=BA，∴∠BAE=∠BEA=1∵∠ABD=∠DBC，∠BDC=∠BCD=1∴∠BAE=∠BEA=∠BDC=∠BCD，∵∠BDC=∠ADE，∴∠ADE=∠AED=1∵∠DAE=180°−2∠AED，∴∠ABE=∠DAE，故③符合题意，过E作EM⊥BC，交BC延长线于点M，

，∵BD为△ABC的角平分线，∴EF=EM，∵△ABD≌△EBC，∴CE=DA，∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴CE=AE，∴Rt∴AF=CM，∵EF=EM，BE=BE，∴Rt∴BF=BM，∴BA+BC=BF+AF+BM−CM=BF+AF+BF−AF=2BF，故④符合题意，故选：B．3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC

A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④【思路点拨】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解OP=1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H，根据三角形的面积可证得④正确．【解题过程】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA=12∠CBA∴∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB=180°−1过O点作OP⊥AB于P，

∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，∴OP=OD=1，∵AB=4，∴S△ABO∵∠C=60°，∴∠BAC+∠ABC=120°，∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA=1∴∠AOB=120°，∴∠AOF=60°，∴∠BOE=60°，如图，在AB上取一点H，使BH=BE，

∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO=∠EBO，在△HBO和△EBO中，BH=BE∠HBO=∠EBO∴△HBO≌△EBOSAS∴∠BOH=∠BOE=60°，∴∠AOH=180°−60°−60°=60°，∴∠AOH=∠AOF，在△HAO和△FAO中，∠HAO=∠FAOAO=AO∴△HAO≌△FAOASA∴AF=AH，∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，OD⊥BC，∴ON=OH=OD=a，∵AB+AC+BC=2b，∴S△ABC故选：C．4．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC=∠BAC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠CAB=∠CBA；④

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【思路点拨】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠BDC=12∠BAC，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求∠ECD=90°，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得AD为△ABC外角∠MAC【解题过程】解：∵AB∴∠ACD=∠BAC，∠ABC=∠DCF，∵BE平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC=∵CD平分∠ACF，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∴∠ACD=∠DCF=1∵∠DCF=∠DBC+∠BDC=1∴1∴∠BDC=1∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=1∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠ECD=90°，∴∠BEC=∠ECD+∠CDB=90°+∠CDB，∵AB∴∠CDB=∠ABD∴∠BEC=90°+∠ABD，故②正确；∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=2∠ABD=2∠BDC∵∠BDC=1∴∠CAB=∠CBA，故③正确；过点D作DN⊥BF于N，DG⊥AC于G，DH⊥BM于H，如图，

∵CD平分∠ACF，DN⊥BF，DG⊥AC，∴DN=DG∵BD平分∠ABC，DG⊥AC，DH⊥BM，∴DN=DH∴DG=DH∴AD为△ABC外角∠MAC的平分线，∴∠DAM=∠DAC=∵∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠CBD+2∠BCE，∴∠DAC=∠CBD+∠BCE∵∠DAC+∠ADB=∠DEC+∠BCE∴∠ADB=∠BCE，∵AB∥∴∠ABC=∠DCF，∵∠BCE=∠ACE，∠DCF=∠ACD∴∠ABC+∠ADB=∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°即∠ADB+∠ABC=90°，故④正确．故选：C．5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，且交于点F．则下列说法中①∠AFC=120°；②S△ABD=S△ADC；③若AE=EB，则CE⊥AB；④CD+AE=AC；⑤

A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【思路点拨】由∠ABC=60°，得∠DAC+∠ECA=12∠BAC+∠ACB=60°，则∠AFC=120°，可判断①正确；作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，则DG=DH，因为AB与AC不一定相等，S△ABD与S△ADC不一定相等，可判断②错误；延长CE到点K，使KE=CE，连接BK，可证明△BKE≌△ACE，得∠K=∠ACE,BK=AC，而∠BCE=∠ACE，所以∠BCE=∠K，则BK=BC，所以AC=BC，则CE⊥AB，可判断③正确；在AC上截取AL=AE，连接FL，可证明△ALF≌△AEF，得∠AFL=∠AFE=60°，则∠CFL=∠CFD，再证明△FLC≌△FDC，得CL=CD，则CD+AE=CL+AL=AC，可判断④正确；由④可得△ALF≌△AEF，【解题过程】解：∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°−∠ABC=120°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠DAC=1∴∠DAC+∠ECA=1∴∠AFC=180°−∠DAC+∠ECA故①正确；如图1，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，则DG＝

∵AB与AC不一定相等，∴12AB⋅DG与即：S△ABD与S故②错误；如图1，延长CE到点K，使KE=CE，连接BK，在△BKE和△ACE中，KE=CE∠BEK=∠AEC∴△BKE≌△ACESAS∴∠K=∠ACE,BK=AC，∵∠BCE=∠ACE，∴∠BCE=∠K，∴BK=BC，∴AC=BC，∴CE⊥AB，故③正确；如图2，在AC上截取AL=AE，连接FL，∵∠AFC=120°，∴∠AFE=∠CFD=180°−∠AFC=60°，在△ALF和△AEF中，AL=AE∠AEF=∠EAF∴△ALF≌△AEFSAS∴∠AFL=∠AFE=60°，∴∠CFL=∠AFC−∠AFL=60°，∴∠CFL=∠CFD，在△FLC和△FDC中，∠LCF=∠DCFCF=CF∴△FLC≌△FDCASA∴CL=CD，∴CD+AE=CL+AL=AC，故④正确；由④可得，△ALF≌△AEF，△FLC≌△FDC，

∵S△ALF∴S△AEFS△FDC故⑤正确，正确的结论为①③④⑤，故选：D．6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OD=4，若△ABC的面积为25，则△ABC的周长为．【思路点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点O作OE⊥AB，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，连接AO，根据角平分线的性质得OD=OE=OF=4，然后根据三角形的面积公式列式即可，熟记性质是解题的关键．【解题过程】解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，连接AO，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OD=OE=4，∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，∴OD=OF=4，∵△ABC的面积为25，∴△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积=25，∴12∴AB·OE+BC·OD+AC·OF=50，∴4AB+BC+AC∴AB+BC+AC=12.5，∴△ABC的周长为12.5，故答案为：12.5．7．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则△OMN的周长是．【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，过P作PH⊥MN与H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，连接PO，利用角平分线的性质和三角形的面积可得PK=PL=PH=2，根据△OMN的面积+△PMN的面积=△POM的面积+△PON的面积，进行计算即可求出OM+ON=10，进而得到△OMN的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【解题过程】解：过P作PH⊥MN与H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，连接PO，∵PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，∴PL=PH，PK=PH，∴PL=PK，∵MN=2，△PMN的面积=1∴PH=2，∴PK=PL=2，∵△POM的面积=12OM·PL，△PON∴△OMN的面积+△PMN的面积=△POM的面积+△PON的面积=1∴12∴OM+ON=10，∴△OMN的周长=OM+ON+MN=10+2=12，故答案为：12．8．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，且AD=2CD,BC=4EC，连接BD、AE交于点F,∠BAF的平分线交BD于点G，且AB:AF=2:1，若【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，连接CF，根据角平分线的性质，可得点G到AB,AF的距离相等，则可得△ABG的面积，再根据AD=2CD，求得△CFB的面积，根据BC=4EC求得△BFE和△CEF的面积，即可求得△ABC的面积，最后求得△CDF的面积，即可求得四边形CDFE的面积，即可解答，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键．【解题过程】解：如图，连接CF，∵∠BAF的平分线交BD于点G，∴点G到AB,AF的距离相等，∵AB:AF=2:1，∴S∵△AGF的面积为4，∴S∴S∵AD=2CD，∴S∴S即S△ABF∴S∵BC=4EC，∴S△FEC=∴S∵3∴S∴S∴S∴阴影部分的面积为32故答案为：1769．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在△AOC和△BOD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论中：①∠AMB=36°，②AC=BD，③若OB平分∠AOM，则△OEC≌△OMD，④AO∥BD．正确的结论有（填序号）

【思路点拨】由题意易证△AOC≌△BODSAS，即得出∠A=∠B，AC=BD，故②正确；结合∠OEA=∠MEB，即可求出∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；由角平分线的定义可知∠AOB=∠BOM，从而可证∠COD=∠BOM，进而可证∠MOD=∠EOC．即可利用“ASA”证明△OEC≌△OMD故③正确；过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，易证△AOG≌△BOHAAS，即得出OG=OH，说明OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．假设AO∥BD成立，得出∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，从而可求出∠AMD=144°，进而可证OB平分∠AOM．因为不确定OB平分∠AOM，【解题过程】解：∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴∠A=∠B，AC=BD，故②正确；∵∠OEA=∠MEB，∴∠AMB=180°−∠B−∠MEB=180°−∠A−∠OEA=∠AOB=36°，故①正确；∵若OB平分∠AOM，∴∠AOB=∠BOM．∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠COD=∠BOM，∴∠COD+∠COM=∠BOM+∠COM，即∠MOD=∠EOC．∵△AOC≌△BOD，∴∠D=∠C．又∵OD=OC，∴△OEC≌△OMDASA如图，过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，在△AOG和△BOH中，∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBH∴△AOG≌△BOHAAS，∴OG=OH，∴OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．假设AO∥BD成立，∴∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，∴∠AMD=180°−∠AMB=144°，∴∠AMO=∠DMO=1∴∠AOM=180°−∠MAO−∠AMO=72°，∴∠EOM=∠AOM−∠AOB=36°，∴∠AOB=∠EOM，即OB平分∠AOM．∵不确定OB平分∠AOM，∴AO∥BD不一定成立，故④错误．故答案为：①②③．10．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠A=60∘∠ABC>∠A，角平分线BD、CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论；①S△BOC:S△BOE=BC:BE；②

【思路点拨】过点O作OG⊥BC于点G，由角平分线的性质定理可得OF=OG，然后结合三角形面积公式即可判断结论①；首先求得∠BOE=60°，假设∠ABC=80°，则∠OBA=40°，可求得∠EOF=10°，再根据∠ABC−∠A=20°，即可判断结论②；在BC上截取BM=BE，连接OM，分别证明△BOE≌△BOM和△COD≌△COM，由全等三角形的性质可得CD=CM，即可判断结论③；由全等三角形的定义和性质易得S△BOE=S△BOM，【解题过程】解：如下图，过点O作OG⊥BC于点G，

∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，OG⊥BC，∴OF=OG，∴S△BOC故结论①正确；∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180−∠A=120°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBA=∠OBC=1∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=1设∠ABC=80°，则∠OBA=1∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°−∠OBA=50°，∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=60°−50°=10°，又∵∠ABC−∠A=80°−60°=20°，∴∠EOF≠∠ABC−∠A，故结论②错误；在BC上截取BM=BE，连接OM，

在△BOE和△BOM中，BE=BM∠OBE=∠OBM∴△BOE≌△BOM(SAS∴OE=OM，∠BOM=∠BOE=60°，∵∠COD=∠BOE=60°，∠COM=180°−∠BOE−∠BOM=60°，∴∠COD=∠COM，∴在△COD和△COM中，∠OCD=∠OCMOC=OC∴△COD≌△COM(ASA∴CD=CM，∴BE+CD=BM+CM=BC，故结论③正确；∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，∴S△BOE=S∴S△BOE∴S四边形故结论④正确．综上所述，结论正确的为①③④．故答案为：①③④．11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）若∠BAC=∠DAE=50°，请直接写出∠BFC的度数；（3）连接AF，过点A作AH⊥BD于点H，求证：FA平分∠DFC；（4）线段DH，EF与HF之间的数量关系是：________．【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．（1）根据“边角边”证明三角形全等即可；（2）根据△ACE≌△ABD，得到∠ACE=∠ABD，再利用∠BFC=180°−(∠BCF+∠ABD+∠ABC)，将∠ACE=∠ABD代入，即得答案；（3）过点A作AG⊥CF于点G，利用面积法证明AG=AH，再根据角平分线的判定定理，即可证明结果；（4）先证明△AGE≌△AHD，得到GE=HD，再证明△AGF≌【解题过程】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠EAC=∠DAB，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ACE≌（2）∠BFC=50°；理由如下：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=130°，∵△ACE≌∴∠ACE=∠ABD，∴∠BFC=180°−(∠BCF+∠ABD+∠ABC)=180°−(∠BCF+∠ACE+∠ABC)=180°−(∠ACB+∠ABC)=180°−130°=50°；（3）过点A作AG⊥CF于点G，∵△ACE≌∴CF=BD，S△ACE∵AH⊥BD，∴1∴AG=AH，∴FA平分∠DFC；（4）EF+DH=FH；理由如下：∵△ACE≌∴∠AEG=∠ADH，又∵∠AGE=∠AHD=90°，∴△AGE≌∴GE=HD，∴EF+DH=EF+GE=FG，∵∠AGF=∠AHF=90°，AG=AH，∴△AGF≌∴FG=FH，∴EF+DH=FH．12．（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°．

（1）求证：AE平分∠CAF；（2）直接写出∠AEB的度数______；（3）若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求【思路点拨】（1）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM=EN，进而可证明结论；（2）设∠ABE=x，分别表示出∠BAC=80°−2x，∠CAE=x+50°，求出∠BAE=130°−x，再利用三角形内角和定理计算；（3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．【解题过程】（1）解：∵∠ACB=100°，∴∠ACD=180°−100°=80°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=50°，∴∠ECH=90°−50°=40°，∴∠ACE=80°−40°=40°；过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，

∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE=∠ECH=40°，∴CE平分∠ACD，∴EN=EH，∴EM=EN，∴AE平分∠CAF；（2）设∠ABE=x，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2x，∵∠ACH=∠ACE+∠ECD=80°，∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=80°−2x，∵∠CAF=∠ABC+∠ACB=2x+100°，AE平分∠CAF，∴∠CAE=1∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=80°−2x+x+50°=130°−x，∴∠AEB=180°−∠BAE−∠ABE=180°−130°−x故答案为：50°；（3）∵AC+CD=14，S△ACD=21，∴S即12解得EM=3，∵AB=8.5，∴S13．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）已知：在△ABC中，作∠ABC平分线BM，在BM上找一点D，使得DA＝DC，过点D作DE⊥BC，交直线BC于点（1）依题意补全图形；（2）用等式写出AB、BC、BE之间的数量关系，并给出证明；（3）如果把作∠ABC的平分线BM，改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM，其他条件不变，直接用等式写出AB、BC、BE之间的数量关系．【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）由题意画出图形即可；（2）过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DE=DF；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AF=CE，BF=BE，即可求解；（3）过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DE=DF；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AF=CE，BF=BE，即可求解．【解题过程】（1）解：依题意补全图形如下：（2）解：AB=2BE−BC．证明：过点D作DF⊥AB于点F，如图：∵BM平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DF，∵AD=CD，∴Rt△ADF∴AF=CE，∵DE=DF，BD=BD，∴Rt△BDF∴BF=BE，∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE−BC=2BE−BC．（3）解：AB=BC+2BE．证明：过点D作DF⊥AB于点F，如图：∵BM是∠ABC外角的角平分线，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DF，∵AD=CD，∴Rt△ADF∴AF=CE，∵DE=DF，BD=BD，∴Rt△BDF∴BF=BE，∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE+BC=2BE+BC．14．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C=60°．（1）求∠APB；（2）求证：PD=PF；（3）若∠ABC=80°，求证：AP=BC．【思路点拨】（1）根据角平分线的定义可得∠PAB=12∠CAB，∠PBA=（2）过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，根据角平分线的性质可得PH=PG，再证∠PGD=∠PHF，∠DPG=∠FPH，根据ASA证明△PDG≌△PFH即可得（3）作∠CBD的平分线交AC于点N，由AF平分∠CAB，BD和平分∠CBA，BN平分∠CBD，可得∠PAD=∠CBN=20°．易证∠DPA=∠C=60°，由等边对等角可得DA=DB，BD=BN，由此得DA=BN，根据AAS可证△APD≌△CBN，因此可得【解题过程】（1）∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，∴∠PAB=12∠CAB∴∠APB=180°−(∠PAB+∠PBA)=180°−=180°−=120°．（2）

如图，过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，∴PE=PG，PE=PH，∴PH=PG，∵PH⊥BC，PG⊥AC，∴∠PGC=∠PHC=90°，∴∠GPH=360°﹣∴∠GPH=∠APB=120°=∠DPF，∴∠DPG=∠FPH，在△PDG和△PFH中，∠PGD=∠PHFPG=PH∴△PDG≌∴PD=PF．（3）

如图，作∠CBD的平分线交AC于点N，则∠CBN=∠DBN=1∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=1∵BN平分∠CBD，∴∠CBN=∠DBN=1∵△ABC中，∠ABC=80°，∠C=60°，∴∠CAB=180°﹣∵AF平分∠CAB，∴∠DAP=∠PAB=1∴∠CBN=∠DAP，∴∠DPA=∠PAB+∠PBA=20°+40°=60°，∴∠DPA=∠C，∵∠CAB=∠ABD=40°，∴AD=BD，∵∠BDC=∠CAB+∠ABD=80°，∴∠ANB=∠C+∠CBN=60°+20°=80°，∴∠ANB=∠BDC，∴BD=BN，∴AD=BN，在△APD和△BCN中，∠PAD=∠CBN∠APD=∠C∴△APD≌∴AP=BC．15．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE=45°．

（1）求证：BF平分∠ABE；（2）连接CF交AD于点G，若SΔABF=（3）在（2）的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长．【思路点拨】（1）根据AE是∠BAD的角平分线和∠BFE=45°得2∠FBA+2∠BAF=90°，再结合AD为BC边上的高得出∠EBF=∠FBA即可证明；（2）过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，证明△ABF≅△CBF，得出∠AFB=∠CFB，再根据∠BFE=45°，解出∠AFB=∠CFB=135°即可证明；（3）根据△ABF≅△CBF及AD为BC边上的高证明△AFG≅△CFE，得出AG=EC=4.5，再根据BE＝3，解得BC=BE+EC=7.5，结合△ABF≅△CBF即可求出【解题过程】（1）证明：∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠BAD=2∠BAF.∵∠BFE=45°，∴∠FBA+∠BAF=45°.∴2∠FBA+2∠BAF=90°.∵AD为BC边上的高，∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.∴∠EBF=∠FBA.

∴BF平分∠ABE.（2）过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，∵BF平分∠ABE，且FM⊥BC，FN⊥AB，∴FM=FN.∵S∴AB=BC，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，AB=BC∴△ABF≅△CBF(SAS)，∴∠AFB=∠CFB，∵∠BFE=45°，∴∠AFB=∠CFB=135°，∴∠AFC=90°，（3）∵△ABF≅△CBF，∴AF=FC，∠AFC=90°，∴∠AFC=∠EFC，∵AD为BC边上的高，∴∠ADE=90°，∴∠EAD+∠AEC=∠FCE+∠AEC，∴∠EAD=∠FCE.在△AFG和△CFE中，∠EAD=∠FCE∴△AFG≅△CFE（∴AG=EC=4.5，∵BE＝∴BC=BE+EC=7.5，∵△ABF≅△CBF，∴AB=BC=7.5.16．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）【问题情境】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．

（1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接BD、AE，延长AE交BD于点F，则AE与BD的数量关系是________，位置关系是________；（2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接AE交DC于点H，连接BD交AE于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？（3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？若固定，求出∠AFG的度数；若不固定，请说明理由．【思路点拨】（1）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；（2）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；（3）∠AFG=45°，如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD，AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以【解题过程】（1）证明：如图1，

在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACB=∠ECD=90°∴△ACE≌△BCDSAS∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AE⊥BD；故答案为：AE=BD,AE⊥BD；（2）解：成立，证明：如图2，

∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCDSAS∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF⊥BD；（3）∠AFG=45°，如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，∴S∵S∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．17．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在△ABC中，BD牛分∠ABC,CE平分∠ACB,BD与CE交于点O．

图1

图2（1）如图1，若∠A=60°．①求∠BOC的度数；②作OF⊥AB于点F，探究AE、AD、AF之间的数量关系并说明理由；（2）如图2，若∠A=90°,OE=kOC,ODOB=【思路点拨】①利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可；②过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，连接AO，证明△OEF≌△ODMAAS，得到EF=DM．再证明Rt△AFO≌Rt（2）在BC取点G、F，使BF=BA，CG=CD，过F作FM⊥BD于M，FN⊥OG于N，先证明△OCD≌△OCG，得出S△OCD=S△OCG，∠COD=∠GOC，OD=OG，同理S△BOE=S△BOF，∠BOE=∠BOF，由ODOB=47，得出S△OCDS△OCB=4【解题过程】（1）解：①在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°．∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1在△OBC中，∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB②过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，连接AO．

∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，ON⊥BC，∴OF=ON，∠OFA=90°．∵CE平分∠ACB，OM⊥AC,ON⊥BC，∴ON=OM，∠OMA=∠OMD=90°．∴OF=OM，∠OFE=∠OMD．由（1）得：∠BOC=120°．∴∠EOD=∠BOC=120°．在四边形AEOD中，∠AEO+∠ADO=360°−∠EAD−∠EOD=360°−60°−120°=180°．∵∠AEO+∠FEO=180°，∴∠OEF=∠ODA．在△OEF和△ODM中，∠OEF=∠ODM,∴△OEF≌△ODMAAS∴EF=DM．在Rt△AFO和RtAO=AO,∴Rt△AFO≌∴AF=AM．∴AE+AD=AF−EF+AM+MD=2AF．（2）解：在BC取点G、F，使BF=BE，CG=CD，过F作FM⊥BD于M，FN⊥OG于N，

∵BD平分∠ABC，∴∠OCD=∠OCG，又CG=CD，OC=OC，∴△OCD≌△OCG，∴S△OCD=S△OCG，同理S△BOE=S∵ODOB∴S△OCD设S△OCD=4x，则∴S△OCD∴S△BOG在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−90°=90°．∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1在△OBC中，∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB∴∠COD=∠BOE=45°，∴∠GOC=∠BOF=45°，∴∠GOF=45°=∠BOF，又FM⊥BD，FN⊥OG，∴FM=FN，∴S△OFG∴S△OEB∴OEOC∵OE=kOC，∴k=OE18．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．

（1）如图1，求∠BGC的度数；（2）如图2，求证：EG=FG；（3）如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，得出∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12（2）作GH平分∠BGC交BC于点H，证明△BGE≌△BGH，得出EG=GH，证明△CGF≌（3）作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，证明CD平分∠ACP，根据DR⊥AC，DP⊥BC，得出DR=DP，根据BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，得出DP=DQ，证明DR=DQ，证明△NEG≌△CFG，得出NG=CG=10，证明△BEG≌△MFG，得出BE=MF，作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，根据S△MGF=1【解题过程】（1）解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∵∠BAC=60°∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，∴∠GBC=∠GBE=12∠ABC∴∠GBC+∠GCB=60°，在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，∴∠BGC=120°．（2）解：作GH平分∠BGC交BC于点H，如图所示：

∴∠BGH=∠CGH=60°，∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，∵∠GBC=∠GBE，BG=BG∴△BGE≌∴EG=GH，∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，∴△CGF≌∴FG=