人教版2024-2025学年九年级数学上册21.1解一元二次方程(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

专题21.1解一元二次方程思想方法思想方法换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。知识点总结知识点总结一、直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为x2=p(p≥0)或②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.二、配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x+m)2用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2三、公式法解一元二次方程当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为一元二次方程的方法叫做公式法.四、因式分解法概念当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.典例分析典例分析【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程x2−12−5x2−1+4=0，我们将x2−1看成一个整体，然后设x2−1=y，则原方程化为y2−5y+4=0，∴y−1y−4=0，解得y1=1，y2=4．当请利用以上方法解下面方程：（1）x4（2）x2（3）3x−12x【思路点拨】（1）设x2=y，则y2−2y−8=0，解得y1（2）设x2+3=y，则y2−9y+20=0，解得：y1=4,y（3）设3x−12x=y，则y−4y=3，求解y1=4,【解题过程】（1）解：x4设x2y2y−4y+2y−4=0或y+2=0，解得：y1∵y=x∴y=4，∴x2解得：x1（2）解：x2设x2y2y−4y−5y−4=0或y−5=0，解得：y1当y=4时，x2+3=4，解得：当y=5时，x2+3=5，解得：综上：x1（3）解：3x−12x设3x−12xy−4y2y−4y+1y−4=0或y+1=0，y1经检验，y1=4,y当y=4时，3x−12x解得：x=−1经检验，x=−15是方程当y=1时，3x−12x解得：x=1，经检验，x=1是方程3x−12x综上：x1学霸必刷学霸必刷1．（2023上·山东菏泽·九年级校考阶段练习）解方程：（1）2t（2）3x−5（3）2x2．（2023上·四川成都·九年级华西中学校联考期中）用适当的方法解方程：（1）2（2）9（3）x（4）3x3．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）按要求解方程．（1）2x−3（2）2x4．（2023上·湖南衡阳·九年级阶段练习）解方程（1）x−1x+2（3）2x−35．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）解方程（1）x（2）x（3）x−2（4）2x+36．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）运用适当的方法解方程（1）x−32（2）x2（3）x2（4）x7．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用适当方法解下列方程（1）x2（2）x2（3）xx−1（4）x2（5）4x+1（6）2x+128．（2023下·八年级课时练习）解方程(x−2)(x+1)(x+4)(x+7)=19．9．（2023下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组：11+x10．（2023上·全国·九年级专题练习）解下列方程：（1）2(（2）2x11．（2024·全国·九年级竞赛）解方程x−2x12．（2023上·湖北宜昌·八年级校考期末）解方程x213．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）解方程：（1）x−2x+2（2）x+4214．（2023上·上海青浦·八年级校考期末）解方程：（1）x+2−（2）2xx（3）215．（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）根据要求解答下列问题（1）①方程x2-2x+1=0②方程x2-3x+2=0③方程x2-4x+3=0（2）根据以上方程特征及解的特征猜想：方程x2-9x+8=0（3）根据以上探究得出一般结论：关于x的方程x2-1+m16．（2023上·山西运城·九年级统考期中）读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如x3+x2−2x=0，可以通过因式分解把它转化为xx2（1）问题：方程x3+x2−2x=0的解是x1=0，x（2）拓展：用“转化”思想求方程4x+5=x17．（2023上·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程x4−x2−6=0可将方程变形为x22−x2−6=0然后设x2=y，则x22=y2，原方程化为y2上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）x2（2）3x18．（2023上·江苏·九年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题：解方程：x2解：∵x∴方程即为：|x|设x=t，原方程转化为：解得，t1=1，当t1=1时，即x=1，∴当t2=−2时，即∴综上所述，原方程的解是x1=1，以上解方程的过程中，将其中x作为一个整体设成一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．（1）已知方程：x2+1x2（2）仿照上述方法，解方程：1x19．（2024·全国·八年级竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：x2−3x+2=0，将方程左边因式分解得：x−1x−2=0，则x−1=0或（1）解方程：x2（2）解方程：x220．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：方程：x4设x2=y，那么x4解这个方程得：y1=1，当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=5时，x所以原方程有四个根：x1=1，x2=−1，在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）利用换元法解方程x2（2）若x2+y（3）利用换元法解方程：x2专题21.1解一元二次方程思想方法思想方法换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。知识点总结知识点总结一、直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为x2=p(p≥0)或②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.二、配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x+m)2用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2三、公式法解一元二次方程当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为一元二次方程的方法叫做公式法.四、因式分解法概念当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.典例分析典例分析【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程x2−12−5x2−1+4=0，我们将x2−1看成一个整体，然后设x2−1=y，则原方程化为y2−5y+4=0，∴y−1y−4=0，解得y1=1，y2=4．当请利用以上方法解下面方程：（1）x4（2）x2（3）3x−12x【思路点拨】（1）设x2=y，则y2−2y−8=0，解得y1（2）设x2+3=y，则y2−9y+20=0，解得：y1=4,y（3）设3x−12x=y，则y−4y=3，求解y1=4,【解题过程】（1）解：x4设x2y2y−4y+2y−4=0或y+2=0，解得：y1∵y=x∴y=4，∴x2解得：x1（2）解：x2设x2y2y−4y−5y−4=0或y−5=0，解得：y1当y=4时，x2+3=4，解得：当y=5时，x2+3=5，解得：综上：x1（3）解：3x−12x设3x−12xy−4y2y−4y+1y−4=0或y+1=0，y1经检验，y1=4,y当y=4时，3x−12x解得：x=−1经检验，x=−15是方程当y=1时，3x−12x解得：x=1，经检验，x=1是方程3x−12x综上：x1学霸必刷学霸必刷1．（2023上·山东菏泽·九年级校考阶段练习）解方程：（1）2t（2）3x−5（3）2x【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（3）利用公式法解一元二次方程即可得．【解题过程】（1）解：2t2tt2t2−3t+9t−3t=3t1（2）解：3x−53x−5x−53x−5+2x−5=0或3x−13=0，x1（3）解：方程2x2−4x−1=0所以方程根的判别式为Δ=所以方程的解为x=−即x12．（2023上·四川成都·九年级华西中学校联考期中）用适当的方法解方程：（1）2（2）9（3）x（4）3x【思路点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．（1）用直接开平方法求解即可；（2）用公式法求解即可；（3）用因式分解法求解即可；（4）用因式分解法求解即可．【解题过程】（1）解：2x−12x−1x−12x−1=±3，x1（2）解：9xa=9,b=−12,c=−1，∴Δ=∴x=−b±解得：x1（3）解：x2x2x−1x+6x−1=0,x+6=0，x1（4）解：3x2x−53x2x−53x2x−53x−22x−53x−2=0,2x−5=0，x13．（2023上·辽宁鞍山·九年级校联考阶段练习）按要求解方程．（1）2x−3（2）2x【思路点拨】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用平方差公式先因式分解，移项，之后提取公因式x−3，利用因式分解法求解即可求得答案；（2）利用公式法求解即可求得答案．【解题过程】（1）解：222x−3x−3x−3=0或x−9=0解得x1=3或（2）解：2∵a=2，b=−3，c=−3x=∴x1=4．（2023上·湖南衡阳·九年级阶段练习）解方程（1）x−1x+2（3）2x−3【思路点拨】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．（1）方程整理为x2（2）方程整理为x2【解题过程】（1）解：∵x−1x+2=4，即∴x2+x−6=0，即∴x+3=0或x−2=0，∴x1=−3，（2）解：∵2x−3x+4=∴x+12∴x+1=±15，即x=±∴x1=155．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）解方程（1）x（2）x（3）x−2（4）2x+3【思路点拨】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（3）利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【解题过程】（1）解：方程x2−3x−1=0中的则方程根的判别式为Δ=所以方程的解为x1=3+（2）解：x2x+3x2x+3x2x+32x+3x−22x+3=0或x−2=0，x=−32或所以方程的解为x1=−3（3）解：x−22设x−2=y，则y2y2y+2y−9y+2=0或y−9=0，y=−2或y=9，x−2=−2或x−2=9，x=0或x=11，所以方程的解为x1=0，（4）解：2x+322x+322x+322x+3+x−32x+3−x+33xx+6x=0或x=−6，所以方程的解为x1=0，6．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）运用适当的方法解方程（1）x−32（2）x2（3）x2（4）x【思路点拨】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用配方法解方程即可；（4）利用换元法解方程即可；【解题过程】（1）解：x−3x−3=5或x−3=−5，解得：x1=8，（2）解：xa=1，b=−1，c=−1，b2∴方程有两个不相等的实数根，∴x=解得：x1=1+（3）xxx(x−3)x−3=1或x−3=−1，解得：x1=4，（4）x解：设y=x2−x(y−2)(y−3)=0,解得y1=2，当y=2时，x2−x=2当y=3时，x2−x=3∴x1=−1，x7．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用适当方法解下列方程（1）x2（2）x2（3）xx−1（4）x2（5）4x+1（6）2x+12【思路点拨】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）先移项，然后提取公因式x，再利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解即可；（5）先移项，然后利用平方差公式进行因式分解求解即可；（6）令2x+1=t，则原方程可化为t2+3t+2=0，求出t的值，进而可得出【解题过程】（1）xx−2x−2=0或x+6=0x1=2，（2）xx−2x−2=0或x−1=0x1=2，（3）xxxx=0或x−2=0x1=0，（4）x∵a=1，b=−3，c=1，∴Δ=∴x=3±∴x1=3+（5）4x+14x+14x+1+5x+29x+3−33x+1=0或x+1=0x1=−1（6）2x+1令2x+1=t，则原方程可化为tt+1t+1=0或t+2=0t1=−1则2x1解得x1=−1，8．（2023下·八年级课时练习）解方程(x−2)(x+1)(x+4)(x+7)=19．【思路点拨】把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x−14)(x2+5x+4)=19，然后设【解题过程】解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得（x2+5x-14）（x2+5x+4）=19．设y=(则（y-9）（y+9）=19，即y2-81=19．解得y1，2=±10，将y1、yx2+5x−5=解得x19．（2023下·湖南长沙·八年级校联考竞赛）解方程组：11+x【思路点拨】利用代入消元法先求出一个未知数的值，再依次求其他未知数的值即可．【解题过程】解：把11+z=x代入1把11+y=z代入y=去分母得：2y整理得：y解得y=当y=−1+52时，当y=−1−52时，z=∴方程组的解为：x=−1+5210．（2023上·全国·九年级专题练习）解下列方程：（1）2(（2）2x【思路点拨】（1）利用换元法，先设x2﹣7x（2）利用换元法，先设2x2+3x【解题过程】（1）解：2设x则22a−1∴2a−1=0或a−10=0解得，a∴x2−7x=0.5∴2x2解得，x1＝7+512，x2＝7−512，x3＝7+892（2）解：2设2x则aa−5a+1∴a−5=0或a+1=0，解得，a1∴2x2+3x∴2x2+3x−5=0解得，x111．（2024·全国·九年级竞赛）解方程x−2x【思路点拨】本题考查了解含有二次根式的方程即无理方程；运用换元法解方程是本题的最大特点；根据方程的特点，令y=x−2x2【解题过程】解：令y=x−2x2+2，则原方程化为：y+1整理得：3y解得：y1经检验得，y1=1当y=13时，即平方并整理得：x2解得：x1显然两个解均满足方程x−2x当y=3时，即x−2x平方并整理得：9x由于Δ=∴一元二次方程无解，因而x−2x综上，原方程的解为：x112．（2023上·湖北宜昌·八年级校考期末）解方程x2【思路点拨】将x2+3x−3x2+3x−7=9化为x2+3x−7−3x2+3x−7【解题过程】解：∵x2∴x∴x设a=x2+3x−7化简得：a∴(a−3)(a+1)=0∴a1=3，即：x2+3x−7=3解之得：x1=2，x2=−5，或经检验，x1=2，x2=−5，则原方程得解为：x1=2，x2=−5，13．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）解方程：（1）x−2x+2（2）x+42【思路点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程：（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【解题过程】（1）解：x−2去分母得：x−22去括号得：x2移项得：x2合并同类项得：−8x=16，系数化为1得：x=−2，检验，当x=−2时，x+2=0，∴x=−2是原方程的增根，∴原方程无解；（2）解：x+4x+4x+4=0或x+4−5=0解得x114．（2023上·上海青浦·八年级校考期末）解方程：（1）x+2−（2）2xx（3）2【思路点拨】（1）移项后两边平方得出x+2=4+48−x+8−x，求出x−5=28−x，再方程两边平方得出x（2）观察可得最简公分母是x−3x+1（3）令t=2x2−1，则2x2−1−3【解题过程】（1）x+2解：移项得，x+2=2+两边平方得，x+2=4+48−x合并同类项得，2x−10=48−x∴x−5=28−x两边平方得，x2整理得，x2∴x+1x−7解得：x1=−1，经检验，x1∴原方程的解为：x=7．（2）2x解：方程两边同时乘以x−3x+1得，整理得，x2解得，x=3±∴x1=3+经检验，x1=3+172∴原方程的根为：x1=3+（3）2解：2令t=2x2∴t−2t−1解得：t1=2，当t1=2时，2x∴x2=52，解得：当t2=1时，2x∴x2=1，解得：x3经检验x1∴原方程的解为：x1=−102，x215．（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）根据要求解答下列问题（1）①方程x2-2x+1=0②方程x2-3x+2=0③方程x2-4x+3=0（2）根据以上方程特征及解的特征猜想：方程x2-9x+8=0（3）根据以上探究得出一般结论：关于x的方程x2-1+m【思路点拨】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）利用配方法解方程x2（3）根据前面发现的规律即可完成此问．【解题过程】（1）解：①x2（x解得x1即方程x2-2x②x2（x解得x1即方程x2-3x③x2（x解得x1即方程x2-4x故答案为：①x1＝x2＝1（2）解：x2（xx-∴x故答案为：x1（3）解：x2（xx1故答案为：x116．（2023上·山西运城·九年级统考期中）读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如x3+x2−2x=0，可以通过因式分解把它转化为xx2（1）问题：方程x3+x2−2x=0的解是x1=0，x（2）拓展：用“转化”思想求方程4x+5=x【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．（1）利用因式分解法解方程x2（2）方程两边平方可得4x+5=x【解题过程】（1）解：由题意可知，解方程x=0和x2+x−2=0，可得方程x2x+2x−1x+2=0或x−1=0，x=−2或x=1，即x2故答案为：−2，1．（2）解：4x+5=x方程两边平方，得4x+5=x2，即x−5x+1x−5=0或x+1=0，x=5或x=−1，经检验，当x=5时，左边=4×5+5=5=右边，则当x=−1时，左边=4×−1+5所以方程的解为x=5．17．（2023上·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程x4−x2−6=0可将方程变形为x22−x2−6=0然后设x2=y，则x22=y2，原方程化为y2上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）x2（2）3x【思路点拨】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令y=x2−2x（2）同理，令x2+5x+1=y【解题过程】（1）设y=x得：y2解得：y1=2，当y1=2时，x2当y2=3时，x2−2x=3，解得：∴原方程的解为x1=1+3，x2=1−（2）设x2+5x+1=y∴(3y+5)(y−1)=0，y1=−5当y1=−5当y2=1时，∴x2∴x1=0，经检验x1=0，18．（2023上·江苏·九年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题：解方程：x2解：∵x∴方程即为：|x|设x=t，原方程转化为：解得，t1=1，当t1=1时，即x=1，∴当t2=−2时，即∴综上所述，原方程的解是x1=1，以上解方程的过程中，将其中x作为一个整体设成一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．（1）已知方程：x2+1x2（2）仿照上述方法，解方程：1x【思路点拨】（1）根据完全平方公式由x+1x=m（2）设1x+1=m，则1【解题过程】（1）设x+1则x2