2024-2025学年北京市朝阳区首师附实验学校高二上学期9月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市朝阳区首师附实验学校高二上学期9月月考数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。1.已知zi=i−1，则z=A.0 B.1 C.2 D.2.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1DA.AC1 B.A1C C.3.已知A2,−3,−1，B−6,5,3，则AB的坐标为(

)A.−8,8,−4 B.−8,8,4 C.8,−8,4 D.8,−8,−44.如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，AA′⋅DB′=(

)

A.1 B.2 C.3 5.设n1，n2分别是平面α，β的法向量，其中n1=1,y,−2，n2=A.−92 B.−72 C.6.已知直线l1的方向向量为u=0,0,1，直线l2的方向向量为v=0,3A.30∘ B.60∘ C.120∘7.已知n为平面α的一个法向量，a为直线l的一个方向向量，则“a⊥n”是“l//α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点，且向量a=OA+OB+OC，向量bA.OA B.OB C.OC D.OA或OB9.在空间直角坐标系Oxyz中，点A2,1,1在坐标平面Oxz内的射影为点B，且关于y轴的对称点为点C，则B，C两点间的距离为(

)A.17 B.32 C.210.在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则AM和CN夹角的余弦值为(

)A.23 B.33 C.1二、填空题：本题共55小题，每小题5分，共25分。11.已知向量a=2,−3,1，则与a共线的单位向量为

．12.已知向量a=2,0,−1，b=m,−2,1且a⊥b，则m=

，13.已知直线l经过A1,0,1，B2,0,0两点，则点P2,1,4到直线l的距离为

14.在空间直角坐标系Oxyz中，已知AB=2,0,0，AC=0,2,0，AD=0,0,2.则CD与CB的夹角的余弦值为

；CD在CB15.以下关于空间向量的说法：①若非零向量a，b，c满足a//b，b②任意向量a，b，c满足a③若OA,OB,OC为空间向量的一组基底，且OD=23OA+④已知向量a=1,1,x，b=−3,x,9，若其中正确命题的序号是

．四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1(1)求证：AA(2)求平面D1(3)求点A1到平面D117.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，高为4，D为C

(1)求证：C1E//平面(2)求直线BC与平面A1BD18.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=22，∠BAD=60∘，(1)试用基底a,b,(2)求OA(3)求直线OA1与直线BC19.如图，四棱锥S--ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．

参考答案1.C

2.C

3.B

4.A

5.D

6.B

7.B

8.C

9.D

10.A

11.147,−12.12

；13.3

14.12

；15.①③

16.(1)因为ABCD−A1B1C又D1E⊂面A1(2)以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：则可得：D1D设平面D1BE的法向量为则m⋅D1E=0m⋅故平面D1BE的一个法向量为(3)设点A1到平面D1BE则d=A故点A1到平面D1BE

17.(1)

如图以A为坐标原点，以AC，AA1所在直线为y轴，z轴，在平面ABC内做与AC垂直的直线为C10,2,4，B3,1,0，D0,2,2，所以C1E=3设平面A1BD的法向量为所以n⋅A令x=3，所以z=1，即n=3所以C1又因为C1E⊄平面所以C1E//平面(2)由(1)知BC=−设直线BC与平面A1BD所成角为所以sinθ=所以直线BC与平面A1BD所成角的正弦值为

18.(1)O(2)AB=4，AD=2，AA1=22所以a⋅b⋅a⋅由(1)知OA所以OA所以OA(3)BCOAcosO所以OA1与BC所成角为所以直线OA1与直线BC所成角为

19.解：(1)求证：连接BD，交AC于O，连接OP、OS，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，AO=OC，又因为SA=SC，所以AC⊥OS，因为BD∩OS=O，BD,OS⊂平面SBD，

所以AC⊥平面SBD，因为SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD．(2)由(1)知AC⊥平面SBD，OP⊂平面SBD，所以AC⊥OP，又AC⊥OD，所以∠POD是平面PAC与平面ACD所成二面角的平面角，因为SD⊥平面PAC，OP⊂平面PAC，所以SD⊥OP，设AB=a，所以sin∠POD=因为∠POD为锐角，所以∠POD=30​所以平面PAC与平面ACD的夹角大小为30​(3)存在，SE:EC=2:1，理由如下：过B作BQ//OP，交SD于Q，交OS于M，过M作