2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,1,2)，b=(x,1,2x−3)，若a⊥b，则A.−2 B.−1 C.0 D.12.直线x+3y−2=0的倾斜角为A.π6 B.π4 C.π33.已知O是坐标原点，空间向量OA=(1,1,2)，OB=(−1,3,4)，OC=(2,4,4)，若线段AB的中点为D，则|A.9 B.8 C.3 D.24.直线l1：(3a+1)x+2ay−1=0和直线l2：ax−3y+3=0，则“a=53”是“lA.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zAP，则A.1 B.2 C.13 D.6.O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若AA.1 B.12 C.18 7.已知点M(−3,1)，N(3,2)，P(1,−1)，设过点P的直线为l，取线段MN上一点Q.若Q∉l.则直线l斜率的取值范围是(

)A.(−∞,32] B.(−12,8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD−A1A.[−2,0] B.[−1,0] C.[0,1] D.[0,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，正确的是(

)A.直线3x−y+1=0的一个方向向量为(3,1)

B.A(1,3)，B(2,5)，C(−2,−3)三点共线

C.直线2(m+1)x+(m−3)y+7−5m=0必过定点(1,3)

D.经过点10.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是(

)A.SA+SB+SC+SD=0

11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱BB1A.平面MENF⊥平面BDD1B1

B.当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小

C.四边形MENF的周长L=f(x)，x∈[0,1]是单调函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.点(1,2,3)关于yOz平面的对称点坐标为______．13.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为______．14.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为______，点S与P距离的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(−2,6)，C(−8,0)．

(1)求边AC和AB所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积．16.(本小题12分)

如图，在三棱锥P−ABC中，点D为棱BC上一点，且CD=2BD，点M为线段AD的中点．

(1)以{AB、AC、AP}为一组基底表示向量PM；

(2)若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=60°，求PM⋅AC

17.(本小题12分)

如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱A1B1上的一点，且A1E=2EB1，点F是棱A1D118.(本小题12分)

如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，底面ABCD是边长为2的正方形，且D1O⊥底面ABCD．

(1)证明：AC⊥CC1；19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC=13，设点G是线段PB上的一点．

(1)求证：CD⊥平面PAD；

(2)若PGPB=23.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

(3)设

参考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.A

6.C

7.B

8.A

9.BC

10.CD

11.ABD

12.(−1,2,3)

13.3

14.72

15.解：(1)由截距式可得：边AC所在直线的方程为x−8+y4=1，

即x−2y+8=0．

由两点式可得：边AB所在直线的方程为y−46−4=x−0−2−0，

即x+y−4=0．

(2)由题意，得点D的坐标为(−4,2)，

由两点式，得边BD所在直线的方程为y−26−2=x−(−4)−2−(−4)，

即16.解：(1)∵M为线段AD的中点，∴AM=12AD，

∵CD=2BD，∴BD=13BC，

∴PM=PA+AM=PA+12AD=PA17.解：(1)以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，F(1,0,3)，E(3,2,3)，

AD1=(−3,0,3)，CF=(1,−3,3)，

则cos<AD1,CF>=AD1⋅CF|AD1||CF|=−3+932×19=3819，

∴异面直线AD1与CF所成角的余弦值为3819；

(2)连接B1D1，则BD//B118.解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，

因为D1O⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，所以D1O⊥AC，

因为AC⊥BD，D1O⊥AC，BD，D1O⊂面BDD1B1，BD∩D1O=O，

所以AC⊥面BDD1B1，

又因为DD1⊂面BDD1B1，所以AC⊥DD1，

又平行六面体ABCD−A1B1C1D1，所以DD1/​/CC1，

所以AC⊥CC1；

(2)取AB中点H，连接D1H，OH，

因为四边形ABCD为正方形，所以OH⊥AB，

因为D1O⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，所以D1O⊥AB，

因为AB⊥OH，D1O⊥AB，OH，D1O⊂面D1OH，OH∩D1O=O，

所以AB⊥面D1OH，

又D1H⊂面D1OH，所以19.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

又因为AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内相交直线，故CD⊥平面PAD，

(2)以A为原点，DC、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,−1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，

P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(