湖北省“金太阳大联考”2025届高三上学期第一次联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省“金太阳大联考”2025届高三上学期第一次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“∃a>0，a2+1<2”的否定为(

)A.∃a>0，a2+1≥2 B.∃a≤0，a2+1≥2

C.∀a>0，a22.已知集合A={x|x2−3<0}，B={x|0<x+1<3}，则A∩B=A.(−1,3) B.(−3,2)3.已知函数f(x)=ex−f′(1)x，则A.f(1)=−e2 B.f′(1)=−e2 C.4.已知函数f(x)=(x−2)n，n∈N∗，则“n=1”是“f(x)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若对任意的x，y∈R，函数f(x)满足f(x+y)2=f(x)+f(y)，则f(4)=(

)A.6 B.4 C.2 D.06.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s(单位：百万元)与新设备运行的时间t(单位：年，t∈N∗)满足s=−2tA.6 B.7 C.8 D.97.如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，AB=2，AC=1，D是BC边上靠近B点的三等分点，E是BC边上的动点，则AE⋅CD的取值范围为(

)A.[−77,103] B.8.已知函数f(x)=x3+3x+1，若关于x的方程f(sinx)+f(m+cosA.[−1,2] B.[−1,1] C.[0,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在等比数列{an}中，a1a2A.{an}的公比为2 B.{an}的公比为2

C.10.已知函数f(x)=12tan(ωx−φ)(ω>0,0<φ<π)A.ω=2

B.φ=π3

C.f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,−33)

11.已知a=2log4 1100，b=A.c>a B.a>b C.c>b D.b>a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量m，n满足m⋅n=3，且m⊥(m−213.若α∈(−π2,0)，且cos2α=cos(α+14.已知正实数a，b满足2a+3b=2，则ab−a2+2b+4的最大值为四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在公差不为0的等差数列{an}中，a1=1，且a(1)求{an(2)若bn=2an，cn=a16.(本小题12分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(1)证明：B=2C．(2)若点D在边AC上，且CD=BD=4，求a的取值范围．17.(本小题12分)已知函数f(x)=x(1)若a=4，求f(x)的极值点;(2)讨论f(x)的单调性．18.(本小题12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且(1)求{an(2)证明：S2S19.(本小题12分)当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量x与之对应时，可以把这个函数的函数值y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由y=3x，x∈R，得x=y3，y∈R，通常用x表示自变量，则写成y=x3，x∈R，我们称y=3x，x∈R与y=x3，x∈R互为反函数.已知函数f(x)与g(x)互为反函数，若A，B两点在曲线y=f(x)上，C，D两点在曲线y=g(x)上，以A，B，C，D四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线(1)若函数f(x)=x，且点A(1(ⅰ)求曲线y=f(x)在点A处的切线方程;(ⅱ)求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积．(2)若函数f(x)=lnx，且f(x)与g(x)的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明：S>2(参考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BC

10.AD

11.ACD

12.613.−π14.12615.解：(1)设{an}的公差为d(d≠0)，因为a5是a2与a14的等比中项，所以a52=a2a14，

即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，整理得d2=2a1d.

又a1=1，d≠0，所以16.(1)证明：因为ac=b2−c2b2−ac，所以ab2−a2c=b2c−c3，

整理得b2(a−c)=c(a+c)(a−c)，

又ac≠1，所以a−c≠0，从而b2=ac+c2=a2+c2−2accosB，

整理得a=c(1+2cosB)，则sinA=sinC(1+2cosB)，

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，得sinBcosC−cos17.解：(1)因为a=4，所以f(x)=x2−4ln(x+1)，x>−1，

则f′(x)=2x−4x+1=2(x+2)(x−1)x+1．

当x∈(−1,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

故f(x)的极小值点为1，无极大值点．

(2)由f(x)=x2−aln(x+1)，x>−1，得f′(x)=2x−ax+1=2x2+2x−ax+1．

令2x2+2x−a=0，若4+8a≤0，即a≤−12，

则方程2x2+2x−a=0无解或有两个相等的实数解，

从而2x2+2x−a≥0恒成立，则f(x)的单调递增区间为(−1,+∞)，无单调递减区间．

若4+8a>0，即a>−12，则方程2x2+2x−a=0的解为x1=−1+1+2a2，x2=−1−1+2a2．18.(1)解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且a1=12，Sn=(2n−1)an．

∴当n≥2时，Sn−1=(2n−1−1)an−1，则an=Sn−Sn−1=(2n−1)an−(2n−119.(1)解：(i)因为点A(14,y1)在曲线f(x)=x上，所以y1=14=12．

由f(x)=x得，f′(x)=12x，f′(14)=1，

则曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y=x+14．

(ii)由f(x)=x得，g(x)=x2(x≥0)．

根据对称性可设A，D关于直线y=x对称，可得D(12,14)，

则|AD|=(12−14)2+(14−12)2=24，kAD=−1．

若AB