数学教材习题点拨：第一章统计案例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨复习参考题A组1．解：1993~2002年全国人口总数如下表：年份1993199419951996199719981999200020012002年末人数（万人）118517119850121121122389123626124761125786126743127627128453将年份作为横轴,相应年份全国人口总数作为纵轴，根据表中数据作散点图如下：根据散点图，可以认为中国人口总数与年份呈现很强的线性相关关系,因此选用线性回归模型建立回归方程．由最小二乘法的计算公式，得a≈－2095141。503,b≈1110。903，则线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1110。903x－2095141.503。由R2的计算公式，得R2≈0.994，说明线性回归模型对数据的拟合效果很好．根据回归方程，预计2003年末中国人口总数约为129997万人,而实际情况为129227万人,预测误差为770万人；预计2004年末中国人口总数约为131108万人,而实际情况为129988万人，预测误差为1120万人．点拨：可以借助于网络报刊等媒体查阅相关数据,作散点图，据图判断中国人口总数与年份呈现很强的线性关系，从而计算线性回归方程进行回归分析．该解数据来源于《中国统计年鉴》（2003）．2．解：(1)将解释变量销售额作为横轴，预报变量利润作为纵轴绘制散点图，可以发现散点图中的样本点基本上在一个带形区域分布，猜想销售总额与利润之间呈现线性相关关系．(2）由线性回归模型的最小二乘估计量的计算公式得eq\o（a，\s\up6（^）)＝1334。5,eq\o（b，\s\up6(^))＝0.0256,从而得线性回归方程：y＝0.0256x＋1334.5，其残差值计算结果见下表:销售总额126974969338665663438552645097639069361563520932416利润422438353510375839391809294635924802413残差－361.019。0－42.9799。51189.7－830.5611.3－1901。0244。1248.7（3）对于（2)中所建立的线性回归方程，相关指数R2≈0.46，说明在线性回归模型中销售总额只能解释利润变化的46％，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系．点拨：此题目也可以用对数或二次回归等模型来解答,只要计算和分析合理就算正确．3．解：由所给数据计算得K2的观测值为k≈3。689,而根据教材表111知P(K2≥2。706)＝0。10，所以在犯错误的概率不超过0。10的前提下认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”．B组1．解：因为Q(a,b)＝(yi－a－bxi）2＝[（yi－bxi－eq\x\to(y）＋beq\x\to(x)）－（a－eq\x\to(y)＋beq\x\to(x））]2＝（yi－bxi－eq\x\to（y)＋beq\x\to（x）)2＋（a－eq\x\to(y）＋beq\x\to（x））2－2(yi－bxi－eq\x\to(y）＋beq\x\to（x））(a－eq\x\to（y)＋beq\x\to（x))，并且（a－eq\x\to（y）＋beq\x\to(x))2＝n(a－eq\x\to(y）＋beq\x\to(x））2，2(yi－bxi－eq\x\to（y)＋beq\x\to(x))(a－eq\x\to(y）＋beq\x\to(x)）＝(a－eq\x\to（y）＋beq\x\to(x)）［(yi－bxi)－neq\x\to(y)＋nbeq\x\to(x）］＝(a－eq\x\to(y)＋beq\x\to(x))(neq\x\to(y)－nbeq\x\to(x)－neq\x\to（y)＋nbeq\x\to(x）)＝0，所以Q(a，b)＝(yi－bxi－eq\x\to(y）＋beq\x\to（x）)2＋n(a－eq\x\to(y）＋beq\x\to（x）)2。考察上面的等式，等号右边的求和号中不包含a，而另外一项非负，所以eq\o(a，\s\up6（^)）和eq\o（b,\s\up6(^)）必然使得等号右边的最后一项达到其最小值，即eq\o（a，\s\up6（^)）－eq\x\to(y)＋eq\o(b，\s\up6（^））eq\x\to（x）＝0,亦即eq\x\to(y）＝eq\o（a，\s\up6（^））＋eq\o（b,\s\up6（^)）eq\x\to（x)，即点（eq\x\to（x)，eq\x\to（y））在回归直线上．2．解：总偏差平方和(yi－eq\x\to(y))2表示总的效应，即因变量的变化效应；残差平方和（yi－eq\o(yi，\s\up6（^)））2表示随机误差的效应，即随机误差的变化效应;回归平方和表示解释变量的效应，即自变量的变量变化效应．等式(yi－eq\x\to（y))2＝(yi－eq\o（yi，\s\up6（^））)2＋(eq\o（yi,\s\up6(^）)－