数学教材梳理算法的含义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、算法的含义简单地说，算法是完成某项工作的方法和步骤。现代意义上的“算法”通常指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限的步骤内完成的.粗略地讲,算法就是解题的具体步骤，即把为解决某一问题所需进行的具体步骤一一详细地写出来，广义地说，处理任何问题都有相应的算法。如：太极拳的图解就是“打太极拳的算法”，又如做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤，这也是一个算法.当然这些算法计算机是不能执行的，我们要讲述的算法是用计算机能实现的算法，即对一类问题的机械的、统一的求解方法。例如：怎样发电子邮件?①打开电子信箱；②点击“写邮件”；③输入发送地址；④输入主题；⑤输入信件内容;⑥点击“发送邮件”。在生活中，做任何事都有一定的方法、步骤，再比如盖房子，需先打地基,后砌墙；看病需先挂号，再看病、开处方、划价、交钱、取药。这些过程都包括一系列的基本操作，在学习上也不例外。辨析比较算法与计算方法算法计算方法概念“解题方法的精确描述”对于数值求解的近似方法的研究应用非数值问题的求解数值问题的求解实例排序、查找、变量变换、文字处理等解方程（或方程组），解不等式（或不等式组），套用公式判断的问题，累加，累乘等一类问题具体操作先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述借助一般数学计算方法，分解成清晰的步骤,使之条理化即可二、算法的不同描述方式①自然语言或数学语言；②流程图；③程序语言。三、算法的主要特点(1)有穷性：对于一个算法来说，他的操作步骤必须是有限的，必须在执行有限个步骤之后结束。深化升华算法的有穷性往往指“在合理的范围之内”.如果让计算机执行一个历时1000年才能结束的算法，虽然是有限的，但超过了合理的限度，人们也不把它视作有效算法.究竟什么算“合理限度”并无严格标准,由人们的常识和需要而定。（2）确定性:算法中的每一步操作的内容和顺序都应该是确定的，而不能含糊其词，含有歧义。如：某健身操中一个动作“手举过头顶",这个步骤就是不确定的，含糊的。是双手都举过头？还是左手?或右手?举过头顶多少厘米?不同的人可以有不同的理解。算法中的每一步不应产生歧义，而应当是明确无误的。(3）可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成，这称之为有效性。一个算法能否被执行，取决于如下几点：（1）算法不能含有语法错误，否则算法不能正常执行;（2）算法对于几组输入数据能够得出满足规格说明要求的结果；（3）算法通过计算机能够在有限时间内完成.这里要注意的是，有些算法通过手工无法在有限时间内完成,但借用计算机可行的话，我们也认定这算法是合理的，可行的.（4）数据输入：每个算法都要求有原始数据的输入，即给变量赋初值。一个算法是否有效,还取决于为算法的执行所提供的情报是否足够。例如，对于指令“如果小明是学生，则输出字母Y，否则输出N”。当算法执行过程中提供了小明一定不是学生的某种信息时，执行的结果将输出字母N；当提供的只是部分学生的名单，且小明恰在此名单之中，则执行的结果将输出字母Y.但如果在提供的部分学生的名单中找不到小明的名字，则在执行该指令时无法确定小明是否是学生.联想发散通常，算法中的各种运算总是要施加到各个运算对象上，而这些运算对象又可能具有某种初始状态，这是算法执行的起点或是依据.因此，一个算法执行的结果总是与输入的初始数据有关，不同的输入将会有不同的结果输出.如果输入不够或输入错误，则算法本身也就无法执行或执行有错.一般来说，只有当算法拥有足够的情报时,该算法才是有效的；而如果提供的情报不够，则算法并不是有效的.（5）信息输出：一个算法中至少要有一个有效的输出结果，算法的目的就是用来解决一个给定的问题，如果没有信息输出，也就没有什么意义了.典题·热题知识点一算法的概念例1算法是指（）A．为解决问题而编写的计算机程序B。为解决问题而采取的方法和步骤C．为解决问题而需要采用的计算机程序D.为解决问题而采用的计算方法思路分析:算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法.在数学中，主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法等等。答案：B误区警示应该知道并不是所有的算法都能在计算机内实现，并且不要混淆算法与计算方法的定义问题；计算方法只适用于数值问题的解决，而算法的应用却是广泛的。知识点二算法的特点例2早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水(8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个步骤。从下列选项中选出较好的一种算法（）A。第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播B。第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播C。第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播D.第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶思路分析：由算法确定性，任何问题必须朝某个目标走，至于途径如何,并不重要。一个问题可能会有多个不同的算法，算法有优劣之分。本题四个选项都是正确的算法，但要最好的，只有C了。本题中,选择A很大程度上是受人们的通常的习惯所影响，即起床后首先应该洗脸刷牙再做其他的事情.答案：C方法归纳对待任何问题,我们想的不应该只是如何把它解决，而更多时候我们会思考如何快速准确地完成。这与数学的灵活性是紧密关联的。作为数学的一个分支，算法有着同样的特性，因此，在学习算法时，我们不妨经常思考一下如何提高速度。日常生活中，我们要经常思考哪些行为是可兼容，可并行的，这是解决此题的出发点。知识点三用自然语言或者数学语言描述算法例3写出解x2—2x—3=0的一个算法。思路分析：本题是利用一元二次方程求解的算法描述;方法有很多，可采用配方法、判别式法写出相应的算法.解:（算法1)第一步:移项，得x2—2x=3；①第二步:①式两边同加1并配方，得（x-1）2=4；②第三步：②式两边开方，得x—1=±2；③第四步：解③,得x=3或x=—1。巧解提示利用公式解决问题是最方便、理想的算法,在寻求算法的过程中，首先要考虑利用现有的公式.（算法2）第一步：计算方程的判别式判断其符号Δ=22+4×3=16＞0;第二步:将a=1，b=-2，c=—3代入求根公式x=,得x1=3，x2=-1方法归纳下面设计一个求一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的算法如下：第一步：计算Δ=b2—4ac；第二步:若Δ＜0;第三步：输出方程无实根；第四步：若Δ≥0；第五步：计算并输出方程根x1，2=.例4给出求点P(1，3）关于直线l：x+3y+3=0的对称点的一个算法。思路分析：本题利用点与直线的位置关系，解题时应将直线方程、对称问题及构造方程等知识综合运用。解：第一步:由结论：过点P（x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0垂直的直线方程为l′：Bx—Ay=Bx0—Ay0可知，过P（1,3)关于直线l：x+3y+3=0垂直的直线为3x-y=0。第二步：设直线l与直线l′的交点为M（x0,y0）.现构造方程组求M,由由①×3-②,得y=；代入②得，x=，即M（，）.第三步：由中点坐标公式求点P（1,3)关于直线l：x+3y+3=0的对称点P′易知，M为P与P′的中点，可知P′(×2—1,×2-3),亦即P′（）.第四步：写出P′.方法归纳这是一道综合性很强的题目。我们能看到，答案的第一步就是由公式解决问题的一种算法,答案的第二步就是用消元法（代入消元和加减消元）解二元一次方程组的典型算法，这是考查本节知识的常见题型.误区警示在解决实际问题时，可能会出现这样的情况：针对某种特殊问题,数学公式是正确的，但按此数学公式设计的计算过程可能会使计算机系统无所适从，这是因为，根据数学公式设计的计算过程只考虑了正常使用的情况,而当出现异常情况时，该计算过程就不能适应了。问题·探究材料信息探究问题如图1-1-1所示,这是不是一个算法？图1-1-1探究过程：很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算,这些都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决;在数学上，现代意义上的“算法"通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤。如何鉴定算法的定义，可从如下两个方面入手：(1)事情是否完成；（2）步骤是否衔接得当。算法的概念是有普遍性的，它是指完成某项工作的方法和步骤。图1—1—1中这里只是用图形语言来阐述算法,我们能看到，它最终完成了一件事；当然很容易想象接下来就免不了缝补之类的事情了.它是有步骤的，分三步走，循序渐进,每一行为都是建立在前一个行为的基础上完成的.探究结论：如图1-1—1所示,这是一个算法.交流讨论探究问题有的人说算法很难,有的人说算法不难,你要信谁呢？概念似乎很简单,那如何体会算法的“难”与“易”？探究过程:同学甲:算法作为数学的一个分支，其概念也是浑然天成的，我们只要从他的概念中看到它的具体背景,就不会使概念空洞，理解了概念，算法就有了生命力。同学乙：算法很难，它不是计算方法，而是对某事情步骤的阐述；众口不一，如何来定标准答案?老师：乙同学的说法是有一定道理的，但事实上，万物如果定个标准，它就“死"了.就如我们这节的内容，我们只强调用自然语言能有条理地、正确地阐述算法即可。同学丙:算法是易学的，因为它是清楚的,只要按照数学规则，按部就班地学，循序渐进地想，绝对可以学懂，“功夫不负有心人”.同学甲:我想可以这样来提升乙的观点：所谓的“标准”，应指对就对，错就错，行就行，不行就不行,你不能指鹿为马，它不存在丝毫的含糊，这样的知识是很容易把握的，只要我们不“想当然”。老师:事实上，算法我们并不陌生。小学的四则混合运算所遵循的先乘除、后加减的规则,括号的处理规则，都是最初接触到的算法实例.初中学习的方程组的解法等，也是算法的典型体