数学教材习题点拨：变化率与导数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨1．(思考1）当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？答：气球的平均膨胀率为eq\f(rV2－rV1，V2－V1）＝eq\f(\r（3,\f（3V2，4π））－\r(3，\f(3V1，4π)）,V2－V1)。2．（探究)计算运动员在0≤t≤eq\f(65,49)这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:（1)运动员在这段时间里是静止的吗?（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?答：（1)运动员不是静止的；（2）在0≤t≤eq\f(65，49)这段时间内的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(h\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(65，49)）)－h0，\f(65,49)－0）＝0,而运动员在这段时间内不是静止的，因此用平均速度描述运动员的状态不合适．3．（思考2)观察函数y＝f（x)的图象，平均变化率eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1）表示什么？答：eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1）表示y＝f（x）图象上两点A(x1，f(x1)）、B（x2，f（x2））连线的斜率．（1）运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？(2）函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率怎样表示?答：(1)运动员在某一时刻t0的瞬时速度为eq\o(lim,\s\do4（Δt→0))eq\f（ht0＋Δt－ht0，Δt)；(2）函数y＝f(x）在x＝x0处的瞬时变化率为eq\o(lim,\s\do4(Δx→0）)eq\f（Δy，Δx)＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0））eq\f（fx0＋Δx－fx0,Δx）.练习解:在第3h和5h时，原油温度的瞬时变化率分别为－1和3。它说明在第3h附近,原油温度大约以1℃/h的速率下降；在第5h时,原油温度大约以3℃/h的速率上升．（问题)此处的切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？答：初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线．这种定义并不适用于一般曲线的切线．比如图中的曲线C，直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点N，但我们不能认为它与曲线C相切;而另一条直线l2,虽然与曲线C有不止一个公共点，我们还是认为它是曲线C在点M处的切线．因此,以上圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．通过逼近方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线．所以,这种定义才真正反映了切线的直观本质．练习1解：函数h(t)在t＝t3附近单调递增,在t＝t4附近单调递增．并且,函数h（t)在t4附近比在t3附近增加得慢．点拨：体会“以直代曲”的思想．练习20．29;0.18.习题1。1A组1．解：在t0处，虽然W1（t0）＝W2（t0)，然而eq\f(W1t0－W1t0－Δt,－Δt)≥eq\f（W2t0－W2t0－Δt,－Δt），所以单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹．点拨：考查平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵．2．解：eq\f(Δh，Δt)＝eq\f(h1＋Δt－h1，Δt）＝－4。9Δt－3。3，所以h′(1)＝－3。3。这说明运动员在t＝1s附近以每秒3.3m的速度下降．3．解：物体在第5s的瞬时速度就是函数s(t)在t＝5时的导数．eq\f（Δs，Δt）＝eq\f(s5＋Δt－s5，Δt）＝Δt＋10，所以s′(5）＝10。因此物体在第5s时的瞬时速度为10m/s，它在第5s的动能U＝eq\f（1，2）×3×102＝150J.4．解:设车轮的角速度为θ，时间为t，则θ＝kt2(k＞0)．由题意可知，当t＝0.8时,θ＝2π。所以k＝eq\f(25π，8)，于是θ＝eq\f（25π,8)t2。车轮转动开始后第3。2s时的瞬时角速度就是函数θ（t)在t＝3.2s时的导数．eq\f（Δθ，Δt)＝eq\f（θ3.2＋Δt－θ3.2，Δt)＝eq\f（25π，8)Δt＋20π，所以θ′(3.2)＝20π.因此，车轮在开始转动后第3.2s时的瞬时角速度为20π弧度/秒．5．解:由题图可知，函数f(x)在x＝－5处切线的斜率大于零，所以函数在x＝－5附近单调递增．同理可得，函数f(x）在x＝－4、－2、0、1附近分别单调递增、几乎没有变化、单调递减、单调递减．点拨：“以直代曲”思想的应用．6．解:第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的数，因此，其导数f′（x）的图象如图（1)所示；第二个函数的导数f′（x）恒大于零，并且随着x的增加，f′(x)的值也在增加，如图(2）所示；对于第三个函数，当x小于零时，f′（x)小于零,当x大于零时，f′(x)大于零，并且随着x的增加，f′(x）的值也在增加，如图(3)所示．以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种．点拨：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系．B组1．解：高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度．2．解：如图所示．点拨:由给出的v(t）的信息获得s(t)的相关信息,并据此画出s(t）的图象的大致的形状．这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换．3．解：由题意可知，函数f（x)的图象在点(1，－5)处的切线斜率为－1