数学教案：圆与圆的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7（),\s\do5（整体设计）)教学分析教材通过例题介绍了利用方程判断两圆的位置关系．让学生进一步感受坐标方法在研究几何问题中的作用．值得注意的是针对学生的实际情况来学习坐标法讨论两圆的位置关系，对于基础较差的学生,建议不学习,对于基础较好的学生可以作为课后阅读教材，否则本节课的教学目标完不成．三维目标1．掌握圆与圆的位置关系的判定，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．了解用坐标方法讨论两圆位置关系，体会坐标方法在研究几何问题中的作用，提高应用能力．重点难点教学重点：利用方程判定两圆位置关系．教学难点:用坐标方法讨论两圆位置关系．课时安排1课时eq\o(\s\up7(）,\s\do5（教学过程)）导入新课设计1。前面我们学习了利用方程判断点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，那么，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何利用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系．设计2.我们知道,日食和月食都是一种自然现象，如果把月球、地球、太阳都抽象成圆，那么这两种自然现象就展现了两圆的位置关系，如何利用方程来描述这一现象呢？教师点出课．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出问题）)eq\a\vs4\al（初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？画图表示，并指出判断方法.)讨论结果:外离外切相交内切内含d>R＋rd＝R＋r|R－r|<d〈R＋rd＝｜R－r｜d〈｜R－r|eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1判断下列两个圆的位置关系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；（2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2:x2＋y2－2eq\r(3）x－6＝0.解：（1）已知两圆的方程可分别变形为（x－1)2＋y2＝22，(x－2）2＋（y＋1）2＝（eq\r(2)）2.由此可知圆心C1的坐标为(1,0)，半径r1＝2；圆心C2的坐标为(2,－1),半径r2＝eq\r（2）.设两圆的圆心距为d，则:d＝|C1C2|＝eq\r（2－12＋－12）＝eq\r（2）.r1＋r2＝2＋eq\r（2)，r1－r2＝2－eq\r(2）.所以r1－r2〈d〈r2＋r2。因此这两个圆相交．(2）已知两圆的方程分别变形为：x2＋(y－1)2＝12，(x－eq\r（3））2＋y2＝32。由此可知圆心C1的坐标为（0，1)，半径r1＝1;圆心C2的坐标为（eq\r(3)，0），半径r2＝3,则两圆的圆心距d＝eq\r（\r(3）2＋12)＝2,所以d＝r2－r1.因此这两个圆内切．点评：判断两个圆的位置关系．几何法:即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系．设两圆的连心线长为d，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当d〉R＋r时，圆C1与圆C2外离;②当d＝R＋r时，圆C1与圆C2外切;③当|R－r|〈d〈R＋r时,圆C1与圆C2相交；④当d＝｜R－r|时,圆C1与圆C2内切;⑤当d<|R－r|时，圆C1与圆C2内含．变式训练1．在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1(0,0)，C2(1,1），半径分别为1，2的两圆,并判断两圆的位置关系．解：作出两圆，如下图．两圆半径分别记作r1和r2，则r1＝1，r2＝2,圆心距d＝｜C1C2|＝eq\r(0－12＋0－12）＝eq\r（2)，于是，1＝|r1－r2|<d<r1＋r2＝3，所以两圆相交．2．判断圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系,并画出图形．解:由已知得圆C1：（x＋1）2＋(y－3）2＝36,其圆心C1(－1，3）,半径r1＝6；圆C2：(x－2）2＋(y＋1)2＝1，其圆心C2(2，－1)，半径r2＝1。于是｜C1C2｜＝eq\r(2＋12＋－1－32)＝5。又|r1－r2｜＝5，即｜C1C2|＝｜r1－r2|，所以两圆内切．如下图．3．x2＋y2－2x＝0和圆O2:x2＋y2－4y＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切解析：圆O1：x2＋y2－2x＝0（x－1）2＋y2＝1，故圆心为（1，0）,半径为1.圆O2：x2＋y2－4y＝0x2＋（y－2）2＝4，故圆心为（0，2)，半径为2。则圆心距d＝eq\r（1－02＋0－22）＝eq\r（5）.而2－1<eq\r（5）〈1＋2，即两圆相交．答案:B例2试用坐标方法讨论两圆位置关系．（本题针对学生实际选用)解：如下图所示，以O1为坐标原点,使x轴通过O1，O2，且O2在x轴的正半轴上，建立直角坐标系xOy。这样，可设⊙O2的圆心的坐标为（d，0）．这时两圆的圆心距等于d,两圆的方程分别为x2＋y2＝req\o\al（2,1）①（x－d）2＋y2＝req\o\al（2,2).②将①②两式联立，研究此方程组的解．①－②，整理可得x＝eq\f（r\o\al（2,1）－r\o\al(2,2)＋d2,2d)。将x值代入①，得y2＝req\o\al(2,1)－eq\f（r\o\al(2,1）－r\o\al（2,2)＋d22,4d2）＝eq\f(2dr1＋r\o\al（2,1)－r\o\al(2，2）＋d22dr1－r\o\al（2,1)＋r\o\al(2，2）－d2,4d2)＝eq\f([r1＋d2－r\o\al（2,2）][r\o\al（2，2）－r1－d2]，4d2)＝eq\f(r1＋r2＋dr1－r2＋dr1＋r2－dr2－r1＋d，4d2)＝eq\f（[r1＋r22－d2］［d2－r1－r22],4d2）.由此可见，如果|r1－r2|<d<r1＋r2则等式右边两个因式都为正数，于是方程组有解，且有两解．这时相应的两圆相交于两点（如下图）．如果:r1＋r2＝d或|r1－r2｜＝d,则等式右边分子的因式中至少有一个为0，则方程组有唯一解,这时两圆相切（外切或内切)(上图(2）（3))．如果：r1＋r2〈d或|r1－r2｜>d,则方程组无解,这时两圆不相交（相离或内含）(上图(4）(5)）．思路2例3已知圆C1:x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x2项、y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．解：设两圆交点为A（x1，y1）、B(x2,y2），则A、B两点坐标满足方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，,x2＋y2－4x＋2y－11＝0,))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))①－②，得3x－4y＋6＝0。因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心（－1,3)，半径r＝3.又点C1到直线的距离为d＝eq\f(｜－1×3－4×3＋6｜,\r(32＋－42)）＝eq\f(9，5）。所以AB＝2eq\r（r2－d2)＝2eq\r（32－\f（9，5)2)＝eq\f(24,5)，即两圆的公共弦长为eq\f（24,5).点评：处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用．本题中求两圆公共弦所在直线方程可以作为结论记住．变式训练判断下列两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程．(1）(x＋2）2＋（y－2）2＝1与（x－2)2＋（y－5)2＝16,(2）x2＋y2＋6x－7＝0与x2＋y2＋6y－27＝0.解：(1)根据题意，得两圆的半径分别为r1＝1和r2＝4，两圆的圆心距d＝eq\r(［2－－2]2＋5－22)＝5.因为d＝r1＋r2，所以两圆外切．（2)将两圆的方程化为标准方程，得（x＋3）2＋y2＝16，x2＋（y＋3）2＝36。故两圆的半径分别为r1＝4和r2＝6，两圆的圆心距d＝eq\r（0－32＋－3－02）＝3eq\r（2）。因为｜r1－r2|〈d〈r1＋r2，所以两圆相交．两圆方程相减得公共弦的方程：6x－6y＋20＝0,即3x－3y＋10＝0.例4求过点A(0,6)且与圆C:x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．分析：如下图．所求圆经过原点和A(0,6），且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．解：将圆C化为标准方程,得(x＋5）2＋(y＋5）2＝50，则圆心为C（－5,－5），半径为5eq\r（2)。所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.设所求圆的方程为(x－a)2＋（y－b）2＝r2.由题意，知O(0，0)，A(0,6）在此圆上，且圆心M（a，b)在直线x－y＝0上，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋0－b2＝r2，,0－a2＋6－b2＝r2,，a－b＝0,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3,,b＝3，,r＝3\r（2)。）)于是所求圆的方程是（x－3)2＋(y－3）2＝18。点评：求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手，至于选择哪一种方程形式更恰当，要根据题目的条件而定，总之要让所选择的方程形式使解题过程简单．变式训练求经过点A（4，－1),且与已知圆C：（x＋1)2＋（y－3)2＝5相外切于点B(1，2）的圆的方程．解:如下图，设所求的圆C′的方程为（x－a)2＋(y－b）2＝R2.因为C′既在弦AB的垂直平分线上，又在直线BC上，AB中垂线方程为x－y－2＝0，BC所在直线的方程为x＋2y－5＝0，所以，圆心C′的坐标应满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－2＝0，,a＋2b－5＝0.)）解得a＝3，b＝1。因为所求圆C′过点A（4，－1），所以(4－3）2＋（－1－1)2＝R2＝5.所以，所求圆的方程为(x－3）2＋（y－1）2＝5.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练)）1．在（x＋k）2＋(y＋2k＋5)2＝5（k＋1)2(k≠－1)所表示的一切圆中,任意两圆的位置关系是（）A．相切或相交B．相交C．相切D．内切或相交答案：C2．已知圆x2＋y2＋m＝0与圆x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则实数m的取值范围为（）A．－10〈m〈0B．－100<m<－10C．m〈－100D．答案:C3．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程是________．答案：x2＋y2＋6x－8y＝04．一圆过两圆x2＋y2＋6x－3＝0和x2＋y2－6y－3＝0的交点，圆心在直线x＋y＋6＝0上,求此圆的方程．答案：x2＋y2＋9x＋3y－3＝05．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－3＝0和x2＋y2－4y－3＝0的交点的圆的方程．解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为x2＋y2－4x－3＋λ（x2＋y2－4y－3）＝0（λ≠－1)，则其圆心坐标为(eq\f（2,1＋λ),eq\f(2λ,1＋λ))．∵所求圆的圆心在直线x－y－4＝0上，∴eq\f(2,1＋λ）－eq\f(2λ,1＋λ)－4＝0，λ＝－eq\f（1，3).∴所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－3＝0.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))求经过原点，且过圆x2＋y2＋8x－6y＋21＝0和直线x－y＋5＝0的两个交点的圆的方程．解法一：由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋8x－6y＋21＝0，，x－y＋5＝0，)）求得交点（－2，3）或(－4，1）．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。因为(0，0）,(－23），（－4，1）三点在圆上，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋1－4D＋E＋F＝0,）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（F＝0，,E＝－\f(9，5），,D＝\f（19,5）。））所以所求圆的方程为x2＋y2＋eq\f（19,5）x－eq\f（9,5)y＝0。解法二：设过交点的圆系方程为x2＋y2＋8x－6y＋21＋λ(x－y＋5)＝0（λ为参数)．将原点（0，0)代入上述方程得λ＝－eq\f(21,5）.则所求方程为x2＋y2＋eq\f（19，5）x－eq\f（9,5)y＝0。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结)）本节课学习了：利用方程判断两圆位置关系,解决与两圆有关的问题．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作业））本节练习A1,2题．eq\o（\s\up7（)，\s\do5(设计感想）)这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上，对这个位置关系的进一步深化，而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的,所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系．作为解析几何的一堂课，判断圆与圆的位置关系,体现的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题，用几何方法处理代数问题．所以在教材处理上，对判断两圆位置关系用了几何方法，使学生对解析几何的本质有所了解．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(备课资料）)圆的参数方程一般地,在取定的坐标系中，如果曲线上