运用平方差公式因式分解课件

第14章

整式的乘法

与因式分解

八年级数学上册同步精品课堂（人教版）人教版

数学八年级

上册14.3.2.1运用平方差公式

因式分解复习引入填空：（1）(x+5)(x-5)=

；（2）(3x+y)(3x-y)=

；（3）(3m+2n)(3m–2n)=

．x2–259x2–y29m2–4n2它们的结果有什么共同特征？(a+b)(a-b)=a2-b2尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：x2-25=___________;9x2-y2=___________;9m2-4n2=_____________(x+5)(x-5)(3x+y)(3x-y)(3m+2n)(3m–2n)新知探究平方差公式：))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.☆2-○2＝(☆+○)(☆-○)□2-△2＝(□+△)(□-△)形象地表示为：两数的和与差的积两个数的平方差；只有两项

①左边②右边新知探究辨析：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√××√√（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)(y+x)(y-x)（4）-x2+y2（5）x2-36y2(x+6y)(x-6y)（6）m2-1(m+1)(m-1)符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.

两数是平方，减号在中央．

典例精析例1把下列各式分解因式：(1)16a2-

9b2=_________________；(2)(a+b)2-

(a-

b)2=_______；

(3)9xy3-

36x3y=_________________；(4)

-a4+16=___________________.(4a+3b)(4a-

3b)4ab9xy(y+2x)(y-

2x)(4+a2)(2+a)(2-

a)若将

(2x

)n

-

81

分解成

(4x2

+

9)(2x

+

3)(2x

-

3)，则

n

的值是______.4例2解：∵(4x2

+

9)(2x

+

3)(2x

-

3)=(4x2

+

9)(4x2

-

9)=16x2

-

81∴n=4典例精析例3把

因式分解.解：

把因式分解.解:例4典例精析例5日期：

原题（可粘贴）：来源：重要程度：☆☆☆☆☆原因分析□审题不清□计算错误□时间不足□概念不清□其他原因原因及分析：解：-4ax2+16ay2=-4a(x2-4y2)=-4a(x+2y)(x-2y)订正小明的错题本.把-4ax2+16ay2因式分解解：-4ax2+16ay2=-4a(x2-4y2)因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.典例精析日期：

原题（可粘贴）：来源：重要程度：☆☆☆☆☆原因分析□审题不清□计算错误□时间不足□概念不清□其他原因原因及分析：解：x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y+x)(y-x)因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.把x3y2-x5因式分解.解：x3y2-x5=x3(y2-x2)例5订正小明的错题本.典例精析日期：

原题（可粘贴）：来源：重要程度：☆☆☆☆☆原因分析□审题不清□计算错误□时间不足□概念不清□其他原因原因及分析：解：x4-y4＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y);＝(x2)2-(y2)2分解因式：x4-y4

因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.解：x4-y4＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2)2-(y2)2例5订正小明的错题本.典例精析方法总结分解因式的步骤：(1)优先考虑提取公因式法;(2)看是否能用公式法;(3)务必检查是否分解到底了;多项式具有如下特征时，可以运用平方差公式因式分解：1.多项式是二项式或可以看成二项式；2.两项符号相反；3.每项都可以写成某数或某式的平方的形式.提公因式后不要漏掉“1”或“-1”这一项.(4)答案要写成最简形式.典例精析例6已知

4m

+

n

=

40，2m

-

3n

=

5，求

(m

+

2n)2

-

(3m

-

n)2

的值．原式

=

-40×5

=

-200．解：原式

=

(m

+

2n

+

3m

-

n)(m

+

2n

-

3m

+

n)=

(4m

+

n)(3n

-

2m)=

-(4m

+

n)(2m

-

3n)，当

4m

+

n

=

40，2m

-

3n

=

5

时，方法总结典例精析例7计算：50×1252-50×252解：

原式

=

50×(1252-252)=50×(125+25)×(125-25)=50×150×100=750000

较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.典例精析例8解：根据题意，得6.82－4×1.62＝6.82－(2×1.6)2＝6.82－3.22＝(6.8＋3.2)(6.8－3.2)＝10×3.6＝36(cm2)答：剩余部分的面积为36cm2.

如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积．典例精析例9你知道992-1能否被100整除吗？解：因为992-1=(99+1)(99-1)=100×98，

所以992-1能被100整除.n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？解:原式＝(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=2(n+3)×2(n-2)=4(n+3)(n-2).所以(2n+1)2-25能被4整除.变式归纳总结运用平方差公式因式分解依据

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。a2-b2=(a+b)(a-b)与提公因式法综合运用①提取公因式；②运用平方差公式；③检查多项式的因式分解是否完全，有没有分解到不能再分解为止.当堂检测1.多项式x2-4因式分解的结果是(

)

A.(x+2)(x-2)

B.(x-2)2

C.(x+4)(x-4)

D.x(x-4)A2.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(

)

A.-a2-b2

B.-a2+81

C.p2-(-q2)

D.a2-b3B3.下列因式分解中,结果正确的是(

)

A.x2-25=(x+5)(x-5) B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3)

C.4m2-n2=(2m+n)(m-n) D.x2-4=(x-2)2A当堂检测4.计算下列各题：(1)1012－992；(2)53.52×4-46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)原式＝4×(53.52－46.52)=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)＝4×100×7=2800.当堂检测（4）a3-ab2a(a+b)(a-b)（3）9x4-36y29(x2+2y)(x2-2y)（5）25x4y2-x25.把下列各式因式分解:（6）2a(x2+1)2-2ax2x2(5