6.4.3探索三角形相似的条件两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（练习）-2022-2023学年九年级数学下册（苏科版）

第六章图形的相似6.4.3探索三角形相似的条件——两边成比例且夹角相等的两个三角形相似基础基础篇一．单选题1．如图，四边形的对角线、相交于，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似【详解】解：在与中，，，①与③相似，故选项正确，又由于①与②，①与④，②与④均不满足相似的判定条件，故，，选项均不正确．故本题选：．2．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与相似的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：第一个图形两边对应成比例，但夹角不相等，故两三角形不一定相似，故本选项不合题意；第二个图形阴影三角形中，的两边分别为，，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项符合题意；第三个图形阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项符合题意；第四个图形阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项符合题意．故本题选：．3．如图，下列条件中不能判定的是A． B． C． D．【详解】解：若，不能判定与相似，当，结合可判定与相似，故选项符合题意；若，结合可得，故选项不合题意；若，结合可得，故选项不合题意；若，即，结合，可得，故选项不合题意．故本题选：．4．已知：如图，梯形中，，，，，．在线段上若存在点，使得与相似，则满足条件的点的个数为A．4 B．3 C．2 D．1【详解】解：，，，设，则，①当，即时，，解得：，；②当，即时，，解得：，，或，故点有三个点．故本题选：．5．如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点，．对于下列结论：①；②；③．其中正确的个数个．A．0 B．1 C．2 D．3【详解】解：在的同侧作等腰和等腰，，，，，，，所以①正确；，，，，，，所以②正确；由②得，，，，，，，，，所以③正确．故本题选：．二．填空题6．如图，在中，是线段上的一点（不与点，重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是（写出一个即可）．【详解】解：在和中，，添加或或，．故本题答案为：或或．7．如图，在中，为上一点，，若，则的长度为．【详解】解：，，，，，．故本题答案为：．8．一块三角形纸片按如图所示方式折叠，使点落在边上的点处，折痕是，以点、、为顶点构成的三角形与相似，已知，，则的长是．【详解】解：设，则，沿折叠，使点落在边上，记为点，，，当时，△，，即，解得：；当时，，，即，解得：，综上，的长为或．故本题答案为：或．9．在直角坐标系中，为坐标原点，已知点、、，过点作直线交轴于点，使得以，，为顶点的三角形与相似，这样的直线最多可以作条．【详解】解：若，则，，则或，若，则，，则，或，，所以可以作出四条直线．故本题答案为：4．三．解答题10．如图，将绕点旋转至△的位置，点恰好在上，与交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：．【详解】证明：（1）由旋转的性质可知，，，△，；（2），，，，，．11．如图，在中，，，在边上截取，连接．（1）通过计算，判断与的大小关系；（2）求证：．【详解】（1）解：，理由如下：，，，，，；（2）由（1）知，，，，又，．12．如图，在中，点、分别在边、上，，分别交线段、于点、，且．求证：（1）平分；（2）．【详解】解：（1），，，，在和中，，，平分；（2）在和中，，，，在和中，，，，，．13．如图，为线段上一点，以为圆心，长为半径的交于点，点在上，连接，满足．（1）求证：是的切线；（2）若，求的值．【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，，，，是的切线；（2）解：，，，，，，，．14．如图，在中，、，点从出发，以的速度向运动，同时点从出发，以的速度向运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．（1）则；（用含的代数式表示）；（2）求运动时间的值为多少时，以、、为顶点的三角形与相似？【详解】解：（1）点从出发，以的速度向运动，，，点从出发，以的速度向运动，，，故本题答案为：，；（2）点从出发，以的速度向运动，同时点从出发，以的速度向运动，，，，，且以、、为顶点的三角形与相似，或，或，或，故本题答案为：或．提升篇提升篇15．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【详解】解：四边形是正方形，，，是的中点，，在中，，，，所以①错误；，，，，，，，，，，，所以③正确；，，，，，所以②正确，，，，，，所以④正确．故本题选：．16．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为A． B． C． D．4【详解】解：如图，作，使得，，连接，则，，，，，，，，，即定长，点是定点，是定长，点在半径为1的上，，，的最大值为．故本题选：．17．如图，在矩形中，是上的动点，连接，，若上存在三个不同位置的点，使与相似，设，则的取值范围是．【详解】解：①当点是的中点时，则，，又，；②当点不是的中点时，若，，则，，，上存在三个不同位置的点，△，，，．故本题答案为：．18．如图，已知，是内部的一点，过点作，垂足为点，厘米，厘米，动点，同时从点出发，点以1.5厘米秒的速度沿方向运动，点以2厘米秒的速度沿方向运动，与交于点，连接，当点到达点时，点随之停止运动．设运动时间为秒．（1）当秒时，与是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论取何值时，总有．为什么？（3）连接，