第14讲勾股定理的应用八年级数学上册讲义（华师大版）（教师版）

第14讲勾股定理的应用目标导航目标导航1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．知识精讲知识精讲知识点01利用勾股定理巧解折叠问题方法指导：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题的关键是巧用轴对称及全等的性质探索折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．【即学即练1】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′.(1)如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；(2)如图②，如果点B′是AC的中点，求CE的长．【答案】解：(1)设CE＝x，则BE＝8－x，由题意得AE＝BE＝8－x，由勾股定理得x2＋62＝(8－x)2.解得x＝eq\f(7,4).即CE的长为eq\f(7,4).(2)因为点B′是AC的中点，所以CB′＝eq\f(1,2)AC＝3.设CE＝x，类比(1)中的解法，可列出方程x2＋32＝(8－x)2，解得x＝eq\f(55,16).即CE的长为eq\f(55,16).知识点02巧用勾股定理求最短路径的长方法指导：求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．【即学即练2】如图，A，B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B；乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由．(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【答案】解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：因为AC2＋BC2＝1602＋1202＝40000，AB2＝2002＝40000，所以AC2＋BC2＝AB2.所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.(2)甲方案所修的水渠较短．因为△ABC是直角三角形，所以△ABC的面积＝eq\f(1,2)AB·CH＝eq\f(1,2)AC·BC.所以CH＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(160×120,200)＝96(m)．因为AC＋BC＝160＋120＝280(m)，CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，所以AC＋BC<CH＋AH＋BH.所以甲方案所修的水渠较短．能力拓展能力拓展考法01折叠如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．(1)试说明：B′E＝BF；(2)若AE＝3，AB＝4，求BF的长．【答案】解：(1)因为在长方形ABCD中，AD∥BC，所以∠B′EF＝∠EFB.又因为∠B′FE＝∠EFB，所以∠B′FE＝∠B′EF.所以B′E＝B′F.又因为BF＝B′F，所以B′E＝BF.(2)在Rt△A′B′E中，A′B′＝AB＝4，A′E＝AE＝3，所以B′E2＝A′B′2＋A′E2＝42＋32＝25.所以B′E＝5.所以BF＝B′E＝5.考法02最短距离问题1.如图，小明在广场上先向东走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向东走70m．则小明到达的终点与原出发点的距离是________．【答案】100m解析：如图，作AC⊥BC于C.因为AC＝40＋40＝80(m)，BC＝70－10＝60(m)，所以AB2＝602＋802＝1002，则AB＝100m.2.某岛争端持续，我海监船加大对该岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45nmile，OB＝15nmile，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求我国海监船行驶的航程BC的长．【答案】解：(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分线与OA交于点C，C点即为所求．(2)如图，连接BC，设BC＝xnmile，则CA＝xnmile，在Rt△OBC中，OB2＋OC2＝BC2，所以152＋(45－x)2＝x2.解得x＝25.即我国海监船行驶的航程BC的长为25nmile.分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，且AG平分∠BAF.(1)试说明：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．【答案】解：(1)在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠C＝90°.因为将△ADE沿AE对折至△AFE，所以AD＝AF，DE＝FE，∠D＝∠AFE＝90°.所以AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又因为AG平分∠BAF，所以∠BAG＝∠FAG.所以△ABG≌△AFG(ASA)．(2)因为△ABG≌△AFG，所以BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x.因为E为CD的中点，所以CE＝EF＝DE＝3.所以EG＝3＋x.所以在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.所以BG＝2.2.高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短．求这个最短距离．【答案】解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口．此时A，B两城镇到出口P的距离之和最短，最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8km，DC＝6km，所以AC2＝AD2＋DC2＝100.所以AC＝10km.所以这个最短距离为10km.题组B能力提升练3.如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.(1)试说明：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．【答案】解：(1)由题意知AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE.又四边形ABCD是长方形，所以AD∥BC.所以∠AEF＝∠CFE.所以∠AFE＝∠AEF.所以AE＝AF.所以AE＝AF＝CE＝CF.(2)由题意知，AE＝CE＝a，ED＝b，DC＝c.由∠D＝90°知ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.4.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图所示，已知杯子高8cm，点B距杯口3cm，杯子底面半径为4cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？(π取3)【答案】解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱的侧面展开图如图所示，其中AC为圆柱的底面周长，则AC＝2πr≈2×3×4＝24(cm)，则E′B＝eq\f(1,2)E′D′＝eq\f(1,2)AC≈12(cm)．又因为EA＝8cm，EE′＝3cm，所以AE′＝EA－EE′＝8－3＝5(cm)．在Rt△ABE′中，AB2＝AE′2＋E′B2＝52＋122＝132，所以AB＝13cm.即蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13cm.题组C培优拔尖练5.如图，观察图形解答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它的侧面沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食物，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的侧面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．【答案】解：(1)圆锥(2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，连接AC，则AC为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125.故蜗牛爬行的最短路程的平方为125.6．如图，桌子上放着一个长方体盒子，长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃．求小虫爬行的最短路程．【答案】解：分为三种情况．情况一如图①，连接EC.在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝eq\f(1,2)×30＝15(cm)．由勾股定理，得EC2＝202＋152＝625，所以EC＝25cm.情况二如图②，连接EC.根据勾股定理可求得EC2＝82＋(30＋12＋15)2＝3313.情况三如图③，连接EC.根据勾股定理可求得EC2＝122＋(30＋8＋15)2＝2953.所以小虫爬行的最短路程是25cm.7．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60cm.一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬的