专题10轴对称之将军饮马模型（原卷版）

专题10轴对称之将军饮马模型模型一、两定一动模型例.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？【变式训练1】如图，等腰中，，，是等边三角形，点是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．16【变式训练2】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【变式训练3】如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为__________度．【变式训练4】如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．模型二、一定两动例.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【变式训练1】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140° B．100° C．50° D．40°【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【变式训练3】如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.【变式训练4】（压轴题）如图△ABC为等腰三角形，其中∠ABC=∠BAC=30°，以AC为底边作△ACD，其中∠ACD=∠CAD=30°，再以AD为底边作△ADE，其中∠ADE=∠DAE=30°，△ADE两底角的角平分线交于点O，点P为直线AC上的动点，已知|BP−DP|最大值为8．则DP+OP的最小值为_________．题型三、多动点问题例1.如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（）A．2 B．4 C． D．课后作业1．如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是______．2.如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．3．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．4．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度．5．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若为的中点，为线段上一动点，则当周长的最小时，的大小为______．6．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，（1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MDOB(如图)，点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上