2024高考数学统考一轮复习第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式教师文档教案文北师大版

PAGE其次节同角三角函数的基本关系及诱导公式授课提示：对应学生用书第53页[基础梳理]1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．(2)商数关系：eq\f(sinx,cosx)＝tan__x．2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα1．“一个口诀”诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k·eq\f(π,2)＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的改变，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·eq\f(π,2)＋α中，将α看成锐角时k·eq\f(π,2)＋α所在的象限．2．两个留意(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要依据角的范围对开方结果进行探讨．(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行探讨．3．两个推广tan(eq\f(π,2)－α)＝eq\f(cosα,sinα)，tan(eq\f(π,2)＋α)＝－eq\f(cosα,sinα).[四基自测]1．(基础点：同角关系)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)≤α≤π，则tanα＝()A．－2 B．2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案：D2．(基础点：诱导公式)sin210°cos120°的值为()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(3,2) D．eq\f(\r(3),4)答案：A3．(基础点：诱导公式)tan225°＝________．答案：1授课提示：对应学生用书第54页考点一同角三角函数关系的应用挖掘1公式的干脆应用/自主练透[例1](1)(2024·济南质检)若sinα＝－eq\f(5,13)，且α为第四象限角，则tanα＝()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)[解析]cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12).[答案]D(2)已知cosα＝k，k∈R，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则sinα＝()A．－eq\r(1－k2) B．eq\r(1－k2)C．±eq\r(1－k2) D．eq\r(1＋k2)[解析]由cosα＝k，k∈R，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，可知k＜0，设角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，OP＝1，所以eq\r(k2＋y2)＝1，得y＝eq\r(1－k2)，由三角函数定义可知sinα＝eq\r(1－k2).[答案]B在本例(1)中，假如只知sinα＝－eq\f(5,13)，则tanα＝________．答案：±eq\f(5,12)挖掘2关于sinα、cosα的齐次式问题/互动探究[例2](1)(2024·平顶山联考)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则cos2α＋eq\f(1,2)sin2α＝()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．－3 D．3[解析]由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5知tanα＝2，∴cos2α＋eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5).[答案]A(2)已知tanα＝－eq\f(4,3)，求2sin2α＋sinαcosα－3cos2α的值．[解析]∵sin2α＋cos2α＝1，cosα≠0，∴原式＝eq\f(2sin2α＋sinαcosα－3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋tanα－3,tan2α＋1)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))－3,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2))＝－eq\f(7,25).挖掘3“sinα±cosα”“sinαcosα”及“1”之间的转化/自主练透[例3](1)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则sinθ－cosθ的值为()A.eq\f(\r(2),3) B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)[解析]因为(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，所以2sinθcosθ＝eq\f(7,9)，则(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθ·cosθ＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9).又因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).[答案]B(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．[解析]因为sin1°＝cos89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝eq\f(1,2)，故原式＝44＋eq\f(1,2)＝44eq\f(1,2).[答案]44eq\f(1,2)(3)(2024·高考全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．[解析]∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1.∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－eq\f(1,2)，∴sin(α＋β)＝－eq\f(1,2).[答案]－eq\f(1,2)[破题技法]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ表达式中须要利用“1”转化和积转换利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ次幂升降(1)对于含有根号的，即形如eq\r(A)(其中A是可以转化为形如a2的三角函数式)的式子，常把根号下的式子化为完全平方式，依据二次根式的性质化简或求值.(2)对于含有高次的三角函数式，一般借助于因式分解、约分、构造sin2θ＋cos2θ＝1来降低次数出现根号或高次幂的结构形式考点二诱导公式的应用[例](1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(2,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝________．[解析]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(2,3).[答案]－eq\f(2,3)(2)设f(α)＝eq\f(2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)．①化简f(α)；②若α＝－eq\f(23π,6)，求f(α)的值．[解析]①f(α)＝eq\f(（－2sinα）·（－cosα）－（－cosα）,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα（2sinα＋1）,sinα（2sinα＋1）)＝eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,tanα).②当α＝－eq\f(23π,6)时，f(α)＝f(－eq\f(23π,6))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝eq\r(3).[破题技法]1.诱导公式的作用是异角化同角：eq\x(\a\al(随意角的,三角函数))eq\o(→,\s\up7(负化正))eq\x(\a\al(正角的,三角函数))eq\o(→,\s\up7(大化小))eq\x(\a\al(0°～360°角,的三角函数))eq\o(→,\s\up7(小化锐))eq\x(\a\al(锐角的,三角函数))2．应用诱导公式时，留意：(1)明确函数名是变，还是不变；(2)明确函数值符号是正还是负；(3)明确是否干脆用公式；(4)明确各公式的应用依次．3．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可干脆将2π的整数倍去掉后再进行运算．若本例(1)中条件不变，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π＋α))的值．解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(2,3).考点三同角关系的诱导公式的综合应用挖掘1以化为“同名”函数为主线/自主练透[例1](1)已知tanα＝2，则cos(π＋α)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))的值为________．[解析]依题意得cos(π＋α)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosαsinα＝eq\f(cosαsinα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(tanα,1＋tan2α)＝eq\f(2,5).[答案]eq\f(2,5)(2)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝2，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))值．[解析]由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2,sin2α＋cos2α＝1))，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).∴sinα＝eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(1,\r(5)).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))＋\f(1,\r(5))))＝eq\f(3\r(10),10).挖掘2以化为“同角”函数为主线/互动探究[例2](1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)[解析]由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，绽开化简可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,3).故选C.[答案]C(2)已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝__________．[解析]因为θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，所以θ＋eq\f(π,4)为第一象限角，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))＝eq\f(－cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))),sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))))＝－eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝－eq\f(4,3).[答案]－eq\f(4,3)(3)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为