第11题 与圆有关的最值问题（解析）

第11题与圆有关的最值问题一、原题呈现【原题】已知点在圆上,点、,则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时,D.当最大时,【答案】ACD【解析】圆的圆心为,半径为,直线的方程为,即,圆心到直线的距离为,所以,点到直线的距离的最小值为,最大值为,A选项正确,B选项错误；如下图所示：当最大或最小时,与圆相切,连接、,可知,,,由勾股定理可得,CD选项正确.故选ACD.【就题论题】本题涉及的与圆有关的最值问题是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,圆上点到动直线的距离也会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离、角最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题,故在此提醒考生解题时千万不要得“意”忘“形”.二、考题揭秘【命题意图】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系,考查直观想象、逻辑推理及数学抽象的核心素养.难度：中等【考情分析】圆的方程及直线与圆的位置关系一直是高考热点,通常作为客观题考查,长度、面积的计算,参数问题及最值问题是考查热点.【得分秘籍】(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离(2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离平方的最值问题．(3)与距离最值有关的常见的结论：=1\*GB3①圆外一点到圆上距离最近为,最远为；=2\*GB3②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦；=3\*GB3③直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离,最近为；=4\*GB3④过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.=5\*GB3⑤直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离；=6\*GB3⑥两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.(4)与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【易错警示】不善于借助图形进行分析,导致解法方法错误不善于运用圆的几何性质进行转化,导致运算量过大,以致运算失误三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021山东省淄博市高三一模）圆截直线所得的最短弦长为（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】直线过定点,圆可化为,故圆心为,半径为.,所以点在圆内,和的距离为,根据圆的几何性质可知,圆截直线所得的最短弦长为.故选A2．（2021江苏省百师联盟高三下学期3月联考）已知圆,过原点的直线与圆相交于两点,则当的面积最大时,直线的方程为（）A．或 B．或C．或 D．【答案】A【解析】圆,因为为等腰三角形,,当时,的面积最大,此时圆心到直线的距离等于,设直线方程,解得或,直线的方程为或,故选.3．（2021湖南省郴州市高三下学期3月第三次质量监测）设点在圆外,若圆上存在点,使得,则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示,∵上存在点使得,则的最大值大于或者等于时,一定存在点,使得,当与圆相切时,取得最大值,此时,,解得：,又在圆外,,综上可得,．故选D．4．（2021福建省龙岩市高三5月模拟）已知是圆：外一点,过作圆的两切线,切点为,,则的最小值为（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】圆的标准方程为,则圆的半径为,设,则,,,,当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为．故选．5．（2021福建省宁德市高三第一次质量检查）已知点,若过点的直线l交圆于C：于A,B两点,则的最大值为（）A．12 B． C．10 D．【答案】A【解析】由已知圆的方程可得：圆心,半径为,设的中点为,则由圆的性质可得：,即,而,,所以,即点的轨迹方程为,设为的中点,则,半径为1,所以的最大值,又,所以的最大值为12,故选A6．（2021河北省邯郸市高三三模）已知点P在直线上,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则点到直线AB距离的最大值为（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】设,则,以OP为直径的圆的方程是,与圆O的方程相减,得直线AB的方程为,即,因为,所以,代入直线AB的方程,得,即,当且,即,时该方程恒成立,所以直线AB过定点N(1,1),点M到直线AB距离的最大值即为点M,N之间的距离,,所以点M(3,2)到直线AB距离的最大值为.故选D7．（2021江苏省苏州市高三5月三模）在平面直角坐标系xOy中,点Q为圆M：上一动点,过圆M外一点P向圆M引-条切线,切点为A,若|PA|=|PO|,则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设,则有,所以,设圆心到直线2x+2y=1的距离为d,,则有PQ.故选C8．（2021山东省济宁市高三二模）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中,点、的曼哈顿距离为：．若点,点为圆上一动点,则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设点,则.①当时,即当,,因为,所以,,当时,取得最大值；②当时,即当时,,因为,则,当时,取得最大值.综上所述,的最大值为.故选D.9．（2021山东省日照市高三第二次模拟）若实数满足条件,则的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率,由图知,斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间,其中AC斜率不存在,设AB的斜率为k,则AB的方程为,由切线性质有,,解得,故的取值范围为,故选C10．（2021江苏省南通市高三阶段性测试）在平面直角坐标系中,给定两点,,点在轴的正半轴上移动,当取最大值时,点的横坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当过、两点的圆与轴相切时,切点即为所求点.易得过、两点的直线方程为,其与轴交点为,易得,,由切割线定理得,所以,进而可得,点的横坐标为3.故选C.11．（2021湖南省怀化市高三下学期3月一模）若实数满足,则最大值是（）A．4 B．18 C．20 D．24【答案】C【解析】当时,解得,符合题意；当时,令,则,又,则,即,则原方程可化为,设,,,则表示斜率为的直线,表示以原点为圆心,半径为的四分之一圆,则问题等价于和有公共点,观察图形可知,当直线与圆相切时,由,解得,当直线过点时,,解得,因此,要使直线与圆有公共点,,综上,,故的最大值为20.故选C.12．（2021湖北省鄂州高三3月月考）已知直线与直线相交于点,线段是圆的一条动弦,且,则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得圆的圆心为,半径,易知直线恒过点,直线恒过,且,点的轨迹为,圆心为,半径为,若点为弦的中点,位置关系如图：.连接,由易知.,.故选D.二、多选题13．（2021山东省淄博市高三三模）已知圆和圆的交点为,,则（）A．圆和圆有两条公切线B．直线的方程为C．圆上存在两点和使得D．圆上的点到直线的最大距离为【答案】ABD【解析】对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故正确；对于B,将两圆方程作差可得,即得公共弦的方程为,故B正确；对于C,直线经过圆的圆心,所以线段是圆的直径,故圆中不存在比长的弦,故C错误；对于D,圆的圆心坐标为,半径为2,圆心到直线的距离为,所以圆上的点到直线的最大距离为,D正确.故选ABD.14．（2021江苏省南通学科基地高三全真模拟）集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为.若集合,,则下列说法中正确的有（）A．若,则实数的取值范围为B．存在,使C．无论取何值,都有D．的最大值为【答案】ACD【解析】对于A,因为,所以,解得,故A正确.对于B和C,直线过定点,因为,故C正确,B错误.对于D,设原点到直线的距离为,则,所以的最大值,即的最大值,于是的最大值为,故D正确.故选ACD15．（2021河北省沧州市高三三模）已知点,若过点的直线交圆：于,两点,是圆上一动点,则（）A．的最小值为 B．到的距离的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为【答案】ABD【解析】如图,当直线与轴垂直时,有最小值,且最小值为,所以A正确；设,则,所以,所以的最小值为,所以C错误；当,,三点共线时,最大,且最大值为,所以D正确；当直线与垂直时,到的距离有最大值,且最大值为,所以B正确.故选ABD16．（2021河北省张家口市、沧州市高三下学期二模）已知直线与圆,则下列说法中正确的是（）A．直线l与圆M一定相交B．若,则直线l与圆M相切C．当时,直线l与圆M的相交弦最长D．圆心M到直线l的距离的最大值为【答案】BCD【解析】,即,是以为圆心,以1为半径的圆,A.因为直线,直线l过原点,,原点在圆外,所以直线l与圆M不一定相交,故错误；B.若,则直线,直线l与圆M相切,故正确；C.当时,直线l的方程为,过圆M的圆心,故正确；D.由点到直线距高公式,知(当时,等号成立).故正确,故选BCD.三、填空题17．（2021湖北省襄阳市高三5月第二次模拟）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是：已知动点M与两个定点A､B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：x2+y2=1和点,点B(4,2),M为圆O上的动点,则2|MA|+|MB|的最小值为___________【答案】【解析】设M(x,y),令2|MA|=|MC|,则,由题知圆x2+y2=1是关于点A､C的阿波罗尼斯圆,且,设点C(m,n),则,整理得：,比较两方程可得：,,,即m=-2,n=0,所以点C(-2,0),如图所示：当点M位于图中M1､M2的位置时,2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小,最小为.18．（2021华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评）已知点在抛物线：上运动,圆过点,,,过点引直线,与圆相切,切点分别为,,则的取值范围为__________.【答案】【解析】设圆的方程为,将,,分别代入,可得,解得,即圆：；如图,连接,,,,易得,,,所以四边形的面积为；另外四边形的面积为面积的两倍,所以,故,故当最小时,最小,设,则,所以当时,,当正无穷大时,趋近圆的直径4,故的取值范围为.19．（2021湖南省益阳市高三下学期4月模拟）已知圆O：x2+y2=1,A(3,3),点P在直线l：x﹣y=2上运动,则|PA|+|PO|的最小值为___________.【答案】【解析】由于点A与点O在直线l：x﹣y=2的同侧,设点O关于直线l：x﹣y=2的对称点为O′(x′,y′),∵kOO′=﹣1,∴OO′所在直线方程为y=﹣x,联立,解得,即OO′的中点为(1,﹣1),∴O′(2,﹣2),则|PA|+|PO|=|PA|+|PO′|≥|AO′|=.20．（2021江苏省南通市高三下学期5月四模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-16