专题16圆中的计算与证明经典综合大题专训（六大题型）（原卷版）2

专题16圆中的计算与证明经典综合大题专训（六大题型）【题型目录】题型一圆的对称性相关的综合大题题型二确定圆的条件相关的综合大题题型三圆周角的综合大题题型四直线与圆的位置关系相关的综合大题题型五正多边形与圆相关的综合大题题型六弧长及扇形面积综合大题【经典例题一圆的对称性相关的综合大题】1．（2023·统考二模）如图，在正方形中，点E为边上一个动点，作点B关于的对称点，连接并延长，交延长线于点F，连接，．

(1)求证：．(2)求的度数．(3)若，在点E的运动过程中，求点F到距离的最大值．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，是的弦，点C在外，连接、分别交于D、E，(1)求证：．(2)如图2，过圆心O作，交于P、Q两点，交、于M、N两点，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，，求弦的长．3．（2023·陕西西安·校考二模）【问题提出】（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；【问题解决】（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；【问题探究】（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）【问题思考】如图1，点E是正方形内的一点，过点E的直线，以为边向右侧作正方形，连接，直线与直线交于点P，则，通过这两个三角形全等可得线段与之间的关系为．【问题类比】如图2、3，当点E是正方形外的一点时，【问题思考】中的结论（填成立或不成立），若成立，请选择图2证明你的结论；若不成立，请选择图3说明理由；【拓展延伸】（1）若点E是边长为2的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则的取值范围是（直接写出结果）．（2）若点E是边长为2的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P到边的最大距离为（直接写出结果）．

5．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2）所示，和中，．试证明、、、四点在同一圆上．小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点，连接、．则有及，即，所以、、、四点在以为圆心，为半径的圆上．根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：(1)如图2，在中，三条高、、相交于点，连接０、，若，则______________°．(2)如图3，已知是的直径，是的弦，为的中点，于，于（、不重合）．若，求证：．6．（2023·北京·九年级专题练习）在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．

(1)如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围；(2)如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围．【经典例题二确定圆的条件相关的综合大题】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．

(1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点；(2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件：①圆心O在上；②经过点P；③与边相切；(3)【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．2．（2023·陕西·模拟预测）新定义：如图1（图2，图3），在中，把边绕点A顺时针旋转，把边绕点A逆时针旋转，得到，若，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．【特例感知】(1)①若是等边三角形（如图2），，则______________．②若（如图3），，_____________．【猜想论证】(2)在图1中，当是任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点作且，连接，则四边形是平行四边形）【拓展应用】(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且与不平行，，是的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．3．（2022秋·河北廊坊·九年级廊坊市第四中学校考期中）如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．(1)判断：___________(2)若，求的长(3)若是锐角三角形，直接写出的取值范围．4．（2021·河北保定·保定市第十七中学校考一模）如图1，在中，，点D和点E分别从点A、点B同时出发，在线段上以做等速运动，分别到达点B、点A后停止运动．设运动时间为t秒．(1)求证：；(2)若，求的度数；(3)当△ADC的外心在其外部时，请直接写出t的取值范围．5．（2021·全国·九年级假期作业）如图，在⊙O中，两条弦AC，BD垂直相交于点E，等腰△CFG内接于⊙O，FH为⊙O直径，且AB＝6，CD＝8．（1）求⊙O的半径；（2）若CF＝CG＝9，求图中四边形CFGH的面积．6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，为圆的内接三角形，，连接并延长交于点．

(1)求证：；(2)若，，求的半径．【经典例题三圆周角的综合大题】1．（2023·江苏南京·校考二模）已知在中，，点平分平分，过点13．（2022秋·四川广安·九年级校考期中）如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．

(1)求证：；(2)若，求的直径．2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点，连接，，

(1)求证：；(2)作于点，若的半径为，，求的长．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知为的直径，C为上一点，于E，D为弧的中点，连接，分别交于点F和点G．(1)求证：；(2)如图2，若，连接，求证：．4．（2023·陕西宝鸡·统考二模）初步探究（1）如图，点、分别在正方形的边、上，将、分别沿、折叠后，、重合于，则______；

深入探究（2）如图，在等腰直角中，，点在右侧，且于点，交于点，将沿折叠得到，连接求证：是等腰直角三角形；

问题解决（3）如图，现有一块四边形铁皮，，，工人师傅想用这块铁皮裁出一个直角三角形部件，要求点在边上，，且．工人师傅在这块铁皮上的操作如下：

①分别在边、上各取一点、，将、分别沿、折叠后，使得、重合于；②再将四边形展开铺平，连接，分别交折痕，于点，，连接，得到请问，若按上述操作，裁得的部件是否符合要求？请证明你的结论．5．（2023·广东江门·统考二模）如图，点A、、在上，是直径，的角平分线与交于点，与交于点，且，连接，交于点．(1)证明：；(2)试猜想与之间的数量关系，并证明．6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）已知四边形内接于，点为弧的中点，连接、，．(1)如图，求证：为的直径；

(2)如图，过点作于，交于点，求证：；

(3)如图，在（）的条件下，过作于点，延长交于，若，，求线段的长．

【经典例题四直线与圆的位置关系相关的综合大题】1．（2023·江苏南通·校考三模）如图，为外一点，，是的切线，，为切点，点在上，连接，，．

(1)求证：；(2)连接，若，的半径为5，，求的长．2．（2023·山东·九年级专题练习）已知：射线平分，为上一点，交射线于点，，交射线于点，，连接，，．

(1)如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由；(2)如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：．3．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，内接于，且为的直径，的平分线交于点，过点在左侧作交的延长线于点，过点作于点．

(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若，，求线段的长．4．（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）课本再现（1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般”如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度．（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．知识运用（3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．

5．（2022秋·河北邢台·九年级邢台三中校考阶段练习）如图，中，，，，延长到点D，使．点P是边上一点，点Q在射线上，，以点P为圆心、PD长为半径作，交A于点E，设．

(1)______，当点Q在上时，______；(2)x为何值时，与相切？(3)当时，求阴影部分的面积；(4)若与的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围．6．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．是等边三角形．，请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．【经典例题五正多边形与圆的相关的综合大题】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．

(1)求证：是的切线；(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________．2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点、都在格点上，以为圆心，为半径做圆，只用无刻度的直尺完成以下画图．(1)在图①中画的一个内接正四边形，___________；(2)在图②中画的一个内接正六边形，__________．4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．5．（2023·江苏·九年级假期作业）[阅读与思考]如图①，在正三角形中，点，是，上的点，且，则，；如图②，在正方形中，点，是，上的点，且，则，；如图③，在正五边形中，点，是，上的点，且，则，；[理解与运用]在正六边形中，点，是，上的点，且，则，；在正十边形中，点，是，上的点，且，则，；[归纳与总结]根据以上规律，在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是，上的点，且，与相交于；也会有类似的结论，你的结论是．6．（2023·江苏·九年级假期作业）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．【经典例题六弧长及扇形的面积综合大题】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，内接于，，，，．(1)度数．（直接写出答案）(2)求的长度．(3)是上一点（不与，，重合），连结．①若垂直的某一边，求的长．②将点A绕点P逆时针旋转后得到，若恰好落在上，则的长度为．（直接写出答案）2．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图所示，在中，，，在上取点，以为圆心，以为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，（异于点）．(1)求证：平分；(2)若点恰好是的中点，求扇形的面积．3．（2023·江苏无锡·校考二模）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点不与，重合，连接，点为弧的中点，过点作，交的延长线于点．

(1)求证：是半圆的切线；(2)若，，求阴影部分的面积．4．（2023·江苏南通·统考一模）如图，在中，，，点D在上，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，(1)求CF的长度；(2)求阴影部分的面积．．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）正方形与扇形有公共顶点O，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．如图所示．正方形两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上移动．设，，(1)当时，正方形与扇形不重合的面积是______；此时直线对应的函数关系式是______；(2)当直线与扇形相切时．求直线对应的函数关系式；(3)当正方形有顶点恰好落在上时，求正方形与扇形不重合的面积．6．（2023·江苏无锡·九年级专题练习）如图，在中，，平分交于D点，O是上一点，经过B、D两点的分别交、于点E、F．(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：与相切：(3)当，时，求劣弧的长．【经典例题七圆锥的侧面积综合大题】1．（2023春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角．(1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）2．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（4，4）、C（6，2），请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____________；（2）连接AD、CD，则的半径长为______（结果保留根号），的度数为___________；（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）3．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B