第05讲二次函数y=ax2bxc(a≠0)的性质（原卷版）

第05讲二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质一、二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，二、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．例1．二次函数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值例2．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（

）A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴有唯一交点例3．已知二次函数，若点，，在此二次函数图象上，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．例4．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6例5．下表是二次函数（，均为整数）的自变量与因变量的部分对应值．自变量0.071.33因变量7.00890.16641.40253.284910.0889给出下列判断，其中错误的是（

）A．该抛物线的对称轴是直线 B．该二次函数的最小值为C．当、时， D．当时，例6．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1例7．已知二次函数（m为常数，且），（

）A．若，则，y随x的增大而增大 B．若，则，y随x的增大而减小C．若，则，y随x的增大而增大 D．若，则，y随x的增大而减小例8．已知二次函数（a为常数，且）（

）A．若时，y随x的增大而增大，则或B．若时，y随x的增大而增大，则C．若时，y随x的增大而减小，则或D．若时，y随x的增大而减小，则例9．已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．例10．已知抛物线y=x2+mx+2m，当1≤x≤2时，对应的函数值y的最大值是6，则m的值是___________．例11．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．例12．已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点在函数图象上x…0123…y…mn3n…则表格中的m＝______；当时，和的大小关系为______．一、单选题1．当的值最小时，的取值是（）A．0 B． C．3 D．2．当二次函数有最大值时，可能是（

）A．1 B．2 C． D．33．已知抛物线，下列结论错误的是（

）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小4．如图，已知与相交于两点，则的x的取值范围是（

）A． B． C． D．或5．若点，，都是二次函数的图象上的点，则（

）．A． B．C． D．6．已知二次函数的图象经过，两个点，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．且 B．且 C． D．8．对于题目“一段抛物线L：与直线l：有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是，乙的结果是的整数，丙的结果是的整数，则（

）A．甲、乙的结果合在一起才正确 B．乙、丙的结果合在一起才正确C．甲、丙的结果合在一起才正确 D．甲、乙、丙的结果合在一起才正确9．已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（

）①当时，函数图象的顶点坐标为；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④10．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数(m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题11．已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是_____．12．在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质______．13．已知函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上，那么m的值为_____．14．已知二次函数的图象如图所示，则当时或时，______0．15．已知、是二次函数图象上的两个点，则与的大小关系为_____．16．若，则的最大值为______．17．选你喜欢的、、的值，使二次函数的图象同时满足下列条件:①它的图象不经过第三象限；②图象经过点；③当时，函数值随自变量的增大而增大，这样的二次函数的表达式可以是__________．18．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图像上，则；⑤若方程的两根为，，且，则．其中正确的结论有__________（只填序号）三、解答题19．已知二次函数．(1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标；(2)当为何值时，随的增大而减小？(3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由．20．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示：…………(1)求二次函数解析式；(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；(3)当时，的取值范围是____________．21．用描点法画出的图像（1）根据对称性列表：…32101………（2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：（3）观察图像：①抛物线与轴交点坐标是；②抛物线与轴交点坐标是；③当x满足时，y＜0；④它的对称轴是；⑤当时，随的增大而减小22．已知二次函数．（1）将其化成的形式；（2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；（3）求图象与两坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象；（5）说明其图象与抛物线的关系；（6）当x取何值时，y随x增大而减小；（7）x取何值时，；（8）当x取何值时，函数y有最值？并求出最值？（9）时，y的取值范围；（10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．23．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程的根；（2）写出不等式的解集；（3）若方程无实数根，写出的取值范围．24．已知抛物线的顶点在直线上，直线与轴的交点为点．

(1)求点的坐标与的值；(2)求的面积．25．已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．26．在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．27．若关于的函数，当（，为常数，）时，函数的最大值与最小值之差恰为，我们称函数是在上的“和谐函数”．(1)在下列关于的函数中，是在上的“和谐函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是在上的“和谐函数”的打“×”．①（）；②（）；③（）；(2)若一次函数（为常数，）是在上的“和谐函数”，求的值；(3)若二次函数（，为常数，）是在上的“和谐函数”，与一次函数交于，两点，且满足，求这个“和谐函数”的解析式，并写出的取值范围．一、单选题1．（2017·湖北随州·中考真题）对于二次函数，下列结论错误的是（

）A．它的图像与轴有两个交点 B．方程的两根之积为C．它的图像的对称轴在轴的右侧 D．时，随的增大而减小2．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（

）A．点在函数图像上 B．开口方向向上C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点3．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·四川巴中·统考中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（

）①；②；

③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④二、填空题6．（2022·江苏南京·统考中考真题）已知二次函数（、为常数，）的最大值为2，写出一组符合条件的和的值：________．7．（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．