第10题 平面 向量的数量积（原卷）

第10题平面向量的数量积一、原题呈现【原题】已知为坐标原点,点,,,,则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由,,可得,故A正确；,同理,不一定相等,故B错误；由,,可得C正确；由,,不一定相等,D错误,故选AC【就题论题】本题涉及平面向量的数量积及坐标运算,又涉及三角变换,在知识交汇处命题,背景较新颖,能有效考查考生分析问题解决问题的能力,是一道难度适中的好题,熟悉新教材必修二（A版）的同学们应该知道P35有利用向量证明两角差余弦公式的例题,该题应该是由此题改编而成.二、考题揭秘【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算、三角变换,考查数学运算、逻辑推理及数学抽象的核心素养.难度：中等【考情分析】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.【得分秘籍】(1)向量的夹角已知两个非零向量a和b,作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a,eq\o(OB,\s\up6(→))＝b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是：[0,π]．(2)平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积(3)平面向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角．则=1\*GB3①e·a＝a·e＝|a|cosθ.=2\*GB3②a⊥b⇔a·b＝0.=3\*GB3③当a与b同向时,a·b＝|a||b|；当a与b反向时,a·b＝－|a||b|.特别地,a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).=4\*GB3④cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).=5\*GB3⑤|a·b|≤|a||b|.(4)平面向量数量积有关性质的坐标表示=1\*GB3①设向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2,由此得到若a＝(x,y),则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).=2\*GB3②设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.=3\*GB3③设两个非零向量a,b,a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.=4\*GB3④若a,b都是非零向量,θ是a与b的夹角,则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).(5)两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线；两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线．(6)平面向量数量积求解问题的策略=1\*GB3①求两向量的夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|),要注意θ∈[0,π]．=2\*GB3②两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.=3\*GB3③求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a);|a±b|＝eq\r(a2±2a·b＋b2);若a＝(x,y),则|a|＝eq\r(x2＋y2).(7)平面向量数量积的四种运算方法：①定义法,要注意两个向量的夹角．②坐标法,引入直角坐标系,明确向量的坐标进行运算．③利用向量数量积的几何意义,注意一个向量在另一向量上的投影是数量．④运用平方的技巧．(8)向量与平面几何的综合问题,往往要数形结合,借助平面几何的知识解题．(2)根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：①基底法,②坐标法．(9)向量与函数、三角函数的综合题,多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念,函数、三角函数的图象与性质,三角变换等内容．此类题目中,向量往往是条件的载体,题目考查的重点仍是函数、三角函数,熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提．若题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解．若给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等．(10)向量在解析几何中的“两个”作用：(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a,b为非零向量),a∥b⇔a＝λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法．【易错警示】a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0与a∥b⇔x1y2-x2y1＝0混淆误认为两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0；两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0．与平面几何有关的向量问题,向量的夹角求错,如△ABC中误认为夹角为.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021河北省邯郸市高三二模）已知向量,,若与反向,则（）A．-30 B．30 C．-100 D．1002．（2021湖北省武汉市高三5月质量检测）已知向量,则下列向量中与垂直的是（）A． B． C． D．3．（2021江苏省南通市高三5月四模）已知向量,,且,则（）A．0 B． C． D．4．（2021山东省日照市高三第二次模拟）已知,当时,向量与的夹角为（）A． B． C． D．5．（2021山东省高考考前热身押题）已知向量,,的模长均为2,且满足,则的值为（）A． B． C． D．56．（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）已知是边长为2的正六边形边上一动点,则（）A．最大值是,最小值是 B．最大值是,最小值是C．最大值是,最小值是 D．最大值是,最小值是7．（2021湖北省黄冈中学高三下学期第三次模拟）已知是边长为4的等边三角形,且为中点,则（）A． B． C． D．8．（2021湖北省黄冈市高三高考适应性考）已知平面上三个不同的点M,F,P,若,则（）A． B．C． D．9．（2021河北省沧州市高三三模）已知非零向量满足,且,则与的夹角为（）A． B． C． D．10．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知,是相互垂直的单位向量,与,共面的向量c满足,则的模为（）A． B．2 C． D．11．（2021广东省深圳市高三下学期第五次统一考试）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节,我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、渲染气氛的目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花,已知图二中正六边形的边长为,圆的圆心为正六边形的中心,半径为,若点在正六边形的边上运动,为圆的直径,则的取值范围是（）A． B． C． D．12．（2021江苏省六校高三下学期第四次适应性联考）已知向量,,且对任意,恒成立,则（）A． B．C． D．13．（2021山东省烟台市高三第一次联考）如图,在平行四边形ABCD中,M是BC的中点,且AD=DM,N是线段BD上的动点,过点作AM的垂线,垂足为H,当最小时,（）A． B．C． D．二、多选题14．（2021江苏省盐城市高三下学期5月第三次模拟）将平面向量称为二维向量,由此可推广至维向量.对于维向量,,其运算与平面向量类似,如数量积（为向量,的夹角）,其向量的模,则下列说法正确的有（）A．不等式可能成立B．不等式一定成立C．不等式可能成立D．若,则不等式一定成立15．（2021江苏省七市高三下学期第三次调研）在中,是的中点,若,,则（）A． B．C． D．16．（2021江苏省苏州市高三下学期三模）已知是边长为2的正三角形,该三角形重心为点G,点P为所在平面内任一点,下列等式一定成立的是（）A． B．C． D．17．（2021华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评）已知边长为4的正方形的对角线的交点为,以为圆心,6为半径作圆；若点在圆上运动,则（）A． B．C． D．18．（2021河北省张家口市高三下学期阶段模拟）已知,是平面上夹角为的两个单位向量,在该平面上,且(﹣)·(﹣)=0,则下列结论中正确的有（）A． B．