第5题 椭圆定义的应用（解析）

第5题椭圆定义的应用一、原题呈现【原题】已知,是椭圆：的两个焦点,点在上,则的最大值为（）A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】解法一：由题,,则,所以（当且仅当时,等号成立）．故选C．解法二：设,由椭圆定义可得,则=,当时取等号,故选C.【就题论题】本题把椭圆的方程与椭圆的几何性质及基本不等式结合在一起考查,虽在知识交汇处命题,但涉及的都是基础知识,且运算简单,属于容易题,注意与椭圆焦点弦长或焦半径有关的计算问题及与焦点有关的距离最值问题,常利用椭圆的定义求解.二、考题揭秘【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质及基本不等式的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易.【考情分析】圆锥曲线是高考中重点与难点,一般情况下有2道客观题、1道解答题,这3道题会分别涉及椭圆、双曲线及抛物线,客观题中的圆锥曲线题可以是容易题,也可以是难题.【得分秘籍】(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.(3)用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.(4)解决与椭圆有关的最值问题,特别是求距离之和的最大值,可利用椭圆定义转化为距离之差的最大值,再利用三点共线确定差的最大值,如椭圆内有一点,F为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M,求的最大值.可设椭圆左焦点为,则,

．当为的延长线与椭圆的交点时,有最大值为,的值最大值为．(5)椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|,r2＝|PF2|,∠F1PF2＝θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大；②S＝b2taneq\f(θ,2)＝ceq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0)),当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0))＝b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(6)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin＝eq\f(2b2,a).【易错警示】(1)利用椭圆定义求轨迹方程一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件；(2)利用椭圆定义求轨迹方程,忽略轨迹的纯粹性,如在三角形中忽略三点不共线；(3)忽略椭圆方程中范围的限制三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．(2021福建师范大学附属中学2021届高三模拟)已知椭圆上一点关于原点的对称点为点,为其右焦点,若,设,且,则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设椭圆的左焦点为：,因为,所以四边形为为矩形,所以因为,所以由椭圆的定义得：,所以,因为,所以,所以,所以,所以,故选B2．（2021广东省东莞市高三下学期第一次月考）椭圆的左右焦点为,过作x轴的垂线与C交于两点,与y轴相交于点D,若,则椭圆C的离心率等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为轴,所以为椭圆的通径,,轴,为中点,所以为中点,而,所以是等腰三角形,,所以,,解得．故选D．3．（2021广东省北大附中深圳南山分校高三下学期3月一模）已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若=0,且｜BF2|,|AB|,|AF2|成等差数列,则C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为,所以,由｜BF2|,|AB|,|AF2|成等差数列,设,在中,,解得即,由椭圆的定义得的周长为,即在直角三角形中,,,则,故即,故选A3．（2021湖北省黄冈市高三下学期5月适应性考试）已知椭圆的左,右焦点分别是,,点是椭圆上一点,满足,若以点为圆心,为半径的圆与圆,圆都内切,其中,则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由两边平方,可得,则,由已知可得,由,则在中,由．故选C4．（2021河北省保定市高三二模）已知、是椭圆的两个焦点,过的直线与椭圆交于、两点,若,则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下图所示,设,则,,所以,,所以,,由椭圆定义可得,,,所以,,所以,为等腰直角三角形,可得,,所以,该椭圆的离心率为.故选D.5．（2021河北省秦皇岛市高三二模）椭圆的左右焦点分别为,,过点的直线l交椭圆C于A,B两点,已知,,则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设,因为,所以,所以,因为,所以,所以,设中点为H,则,,,代入数据并整理得：,等式两边同除以得：,解得：或(舍).故选A.6．（2021江苏省新高考基地学校高三下学期4月第二次大联考）已知椭圆的焦距为,右焦点为,过上一点作直线的垂线,垂足为．若四边形为菱形,则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知,而,所以,则为正三角形,设椭圆的左焦点为,则,且,,所以由椭圆的定义可得,即,即,解得离心率为.故选D二、多选题7．（2021福建省福州市高三适应性练习）嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”,如图,飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后,以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点）,环绕周期为,已知远月点到月球表面的最近距离为,则（）A．圆形轨道的周长为B．月球半径为C．近月点与远月点的距离为D．椭圆轨道的离心率为【答案】BC【解析】由题,以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道,环绕周期为,则可得环绕的圆形轨道周长为km,半径为km,故A错误；则月球半径为,故B正确；则近月点与远月点的距离为,故C正确；设椭圆方程为,则（为月球的半径）,,故离心率为,故D错误.故选BC.8．（2021广东省部分学校高三5月联考）设同时为椭圆与双曲线的左右焦点,设椭圆与双曲线在第一象限内交于点,椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点,若（）A．,则B．,则C．,则的取值范围是D．,则的取值范围是【答案】BD【解析】如图,设,焦距为,由椭圆定义可得,由双曲线定义可得,解得,,当时,则,所以,即,由离心率的公式可得,故正确.当时,可得,即,可得,由,可得,可得,即,则,可设,则,由在上单调递增,可得,则,故正确.故选9．（2021河北省石家庄市高三下学期质检一）已知椭圆的左右焦点分别为、,长轴长为4,点在椭圆内部,点在椭圆上,则以下说法正确的是（）A．离心率的取值范围为B．当离心率为时,的最大值为C．存在点使得D．的最小值为1【答案】BD【解析】由题意可得,所以,由点在椭圆内部可得：,可得,即,所以,对A,,所以,故A错误；对B,当时,,,,故B正确；对C,由A知,当时,当在短轴端点时,最大,此时,此时,由,故可得在椭圆在最扁时的最大值都小于,所以不存在点使得,即C错误；对D,,故D正确；故选BD.10．（2021河北省邯郸市高三模拟）如图已知,分别是椭圆的左、右焦点,点是该椭圆在第一象限内的点,的角平分线交轴于点,且满足,则椭圆的离心率可能是（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】∵,∴,,则.∵是的角平分线,∴,又,∴,,在中,由余弦定理得,∵,∴,解得.故选CD.11．（2021山东省滨州市高三第一次模拟）已知椭圆的左、右焦点分别是,,左、右顶点分别是,,点是椭圆上异于,的任意一点,则下列说法正确的是（）A．B．直线与直线的斜率之积为C．存在点满足D．若的面积为,则点的横坐标为【答案】BD【解析】由题意,,,,,短轴一个顶点,,A错；设,则,,所以,B正确；因为,所以,从而,而是椭圆上任一点时,当是短轴端点时最大,因此不存在点满足,C错；,,,则,,D正确．故选BD．12．（2021江苏省南京师范大学附属中学高三下学期模拟）已知椭圆C∶(a>b>0)的左,右两焦点分别是F1,F2,其中F1F2=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A,B两点则下列说法中正确的有（）A．△ABF2的周长为4aB．若AB的中点为M,则C．若,则椭圆的离心率的取值范围是D．若AB的最小值为3c,则椭圆的离心率【答案】AC【解析】由直线l∶y=k(x+c)过点,即弦过椭圆的左焦点.,所以A正确；设A(x1,y1),B(x2,y2),则M有,,所以由作差得∶,所以则有,所以B错误；,所以,则有,可得,所以C正确；由过焦点的弦中通经最短,则AB的最小值为通径,则有,即,解得a=2c,所以,D错误.故选AC13．（2021江苏省六校高三下学期第四次适应性联考）已知椭圆：的左右焦点分别为,,离心率为,上顶点为,且的面积为.双曲线与椭圆的焦点相同,且的离心率为,为与的一个公共点,若,则（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】的面积为,,解得,则,为与的一个公共点,不妨设M在第一象限,在中,设,则由椭圆定义得,,即①,由双曲线定义得,,即②,又,则由余弦定理得