第五章固体电子论基础

第五章1900年左右，特鲁德首先提出：金属中的价电子可以在金属体内自由运动，如同理想气1928年，索末菲提出金属自由电子论的量子理论，认为金属内的势场是[本章重点§5-1

2

V E （5-1- ψ（r）电子的波函数，E是电子总能量，m是电子的有效质量，V(r)是电子的势能，在这里是一个

E （5-1- （5-1-A （5-1-4AL2

2………………（5-1-ψrV （5-1-E

（5-1- ψ（r） ψ（x,y,z）=ψ（x+L,y,z）=ψ（x,y+L,z）=ψ（x,y, （5-1-8，得：eikgreikgreikxgLeikgreikygLeikgreikzeikxgLeikygLeikzgLkn

n

（5-1- x

,

L, znx,ny,nz=0,±1,±2,将（5-1-9）代入（5-1-7）h2k

E2m2m(kxkykz)2mL(nxnynz （5-1-式（5-1-10）即为自由电子的能量表达式，每一组量子数（nxnynz）kh2k的电子具有确定的动量ħk及确定的能 v

kxkykz为坐标轴建立起波矢空间（k空间图5-1- 状态代表点在k空间中的分

则每一个电子的本9）5-1-1k图中示出kxkykz轴的两个相邻代表点之9就是2π/L。可见，状态代表点在k空间中的分布是均匀的，每个点所占的k空间体积是k从自由电子能量有表达式（5-1-10）k2k2k2 （5-1- k

在。这些同心的球面称作电子的等能面E~E+dE之间时，k空间中相应的等能面半径则k~k+dkE~E+dE之间电4πk2dkdZ是：dZ

（5-1-根据式（5-1-7）k2dk

（5-1- h22m 2 （5-1-h这里若定义能态密度函数N(E)

……………………（5-1-根据（5-1-14）和（5-1-15）2m 2E （5-1-h2m 2E （5-1-hEf(E)

e

…………（5-1-实际上，EF是系统中电子的化学势。f(E)E~E+dEN(E)dEE~E+dEdN。这样，N就可表示为：0f(E)N(E)dE （5-1-f(E)EFEFT=0KT≠0K是第一种情况：T=0KE0EE0时，f(E) ekBT

E0E0所以，f(E)=1E0 E>EF0ekBTf(E)=0E0E0 2（bT=0K（5-1-19）式就变成：FN(E)dE （5-1-以自由电子的能态密度（5-1-17） 0N 2EF （5-1-3h

3n EF2m

…………（5-1-n=N/V是单体积中的电子数——电子浓度，一般约为1028m3E0E0

1

EdN

FEN(E)dE

3E （5-1-N N f

图5-1-2（a）f(E)~E的关系曲线(b)四、T≠0KT≠0KkBT

EF EEkTe EEF

=1EE0kTekBT

1，因此，f(E)≈0 5-1-2（a）f(E)—Ef(E)T=0K→TKE0kTE0（5-1- （b以（5-1-17）和（5-1-18）式代入（5-1-19）

E2h2

……………（5-1- ekBTx

，则（5-1-24）

F （5-1-

（5-1-

f(x)dxkBT=EF）的情况，F（α）

f

（5-1-

f(x)

exα n

(n

L （5-1- Lα>>1时，级数收敛很快，可取前两项，并以此代入（5-1-25）8πV2mkT2

2

π2kT2N B

F

B3

kBT

8

22，可得： π2kT2EE0 B （5-1- F

12

的等能面称为米面。对于自由电子，费米面是球面，球半径为kF

E

E2

4π2m2

（5-1-N

Nh20exα nh2 x

（α）n=3/2代入（5-1-27） 5

8 8

22E8π2m2E5215kBTπ

……………………（5-1-5nh2

8

E0代表（5-1-30）

，并以（5-1-28） EE0 B （5-1- F

12

TKT=0K时电子的平均动能，第二项是与温度有五、电子的热容CeN个电子，则根据热容的定义式

ETT

C kBT NkB

0 （5-1-F式中 2E0

称为金属的电子比热容。上式（5-1-32）表明，电子的热容与温度成正比，但由于kT=E0，所以，电子气的热容Ce是比较小的。这个结果与经典理论的结果Ce3

5-20KTKEF

Nk(

)3bT

……………………（5-1-其中b

3NkBCe kTV BD

…………（5-1-Ca 24π2E0T 上式表明，随着温度下降，比值CeCa 在液氦温度下Ce与Ca CCeCaγTbT （5-1- （5-1-也就是说，只要从实验上测