第02讲 有理数（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第第页第02讲有理数课程标准学习目标①有理数的认识②有理数的分类1.掌握有理数及其有理数的分类，能够熟练的判断有理数的类型以及熟练的对其进行分类。2.能够对有理数熟练的应用。知识点01有理数的定义有理数的相关概念：有理数：整数与分数统称为有理数。整数包含正整数、负整数、0。分数包含正分数与负分数。自然数：0与正整数都是自然数。非负数包含0与正数。非负整数包含正整数和0。知识点02有理数的分类有理数按定义分类：有理数按正负分类：【即学即练1】1．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：﹣18，3.14，0，2024，，80%，，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）．负整数集合{﹣18，﹣|﹣5|…}整数集合{﹣18，0，2024，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）…}正分数集合{3.14，80%…}非负整数集合{0，2024，﹣（﹣7）…}有理数{﹣18，3.14，0，2024，，80%，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）…}【分析】根据正数，负数，整数，分数，有理数，以及无理数的概念解答即可．【解答】解：∵﹣|﹣5|＝﹣5，﹣（﹣7）＝7，，，∴这些数可按如下分类，负整数集合{﹣18，﹣|﹣5|……}整数集合{﹣18，0，2024，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）……}正分数集合{3.14，80%……}非负整数集合{0，2024，﹣（﹣7）……}有理数{﹣18，3.14，0，2024，，80%，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）……}．故答案为：﹣18，﹣|﹣5|；﹣18，0，2024，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）；3.14，80%；0，2024，﹣（﹣7）；{﹣18，3.14，0，2024，，80%，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）．【即学即练2】2．下列说法正确的是（）A．一个有理数不是正数就是负数 B．分数包括正分数、负分数和零 C．有理数分为正有理数、负有理数和零 D．整数包括正整数和负整数【分析】根据有理数的分类进行解答即可．【解答】解：A．有理数包括正数、负数和0，不符合题意；B．分数包括正分数、负分数，不符合题意；C．有理数分为正有理数、负有理数和零，符合题意；D．整数包括正整数，负整数和零，不符合题意；故选：C．题型01有理数的认识【典例1】下列各数中，是有理数的是（）A． B．π C． D．【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．【解答】解：，π，是无限不循环小数，它们都不是无理数；是分数，它是有理数；故选：C．【变式1】在1.5，﹣2，，﹣0.7，6，15%中，负分数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据负分数的定义判断即可．【解答】解：负分数有：，﹣0.7，共2个，故选：A．【变式2】下列说法正确的是（）A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数【分析】根据有理数的定义：正数、负数和0统称为有理数，以及0和正整数属于自然数，没有最小的有理数，最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1即可求解．【解答】解：A、自然数就是非负整数，是正确的，故符合题意；B、正数、负数和0统称为有理数，是错误的，故不符合题意；C、没有最小的有理数，是错误的，故不符合题意；D、最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1，是错误的，故不符合题意；故选：A．【变式3】下列说法正确的是（）A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、所有的整数不都是正整数，还有负整数和0，故A不符合题意；B、整数和分数统称有理数，故B符合题意；C、0是绝对值最小的有理数，故C不符合题意；D、零既不是正整数，也不是负整数，故D不符合题意；故选：B．【变式4】下列说法中正确的是（）A．一个有理数不是正数就是负数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正分数、0、负分数统称为分数 D．正整数与正分数统称为正有理数【分析】根据整数、负数、正有理数、有理数的定义分别对每个选项进行判断，特别注意0．【解答】解：有理数0既不是正数也不是负数，故选项A错误；正整数、0、负整数统称整数，故选项B错误；正分数、负分数统称分数，0不属于分数故选项C错误；正整数、正分数统称正有理数，故选项D正确．故选：D．【变式5】下列说法正确的个数是（）①0是最小的整数；②一个有理数，不是正数就是负数；③若a是正数，则﹣a是负数；④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正的就是负的；⑥一个有理数不是整数就是分数．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据整数包括正整数，0，负整数可以判断①⑤；根据有理数分为正有理数，0，负有理数可以判断②；根据相反数的意义可以判断③；根据自然数包括0和正整数可以判断④；根据整数和分数统称为有理数可以判断⑥．【解答】解：因为整数有正整数也有负整数，所以0是最小的整数的说法是错误的，故①不正确；因为0既不是正数也不是负数，但是有理数，所以一个有理数，不是正数就是负数的说法是错误的，故②不正确；因为正数的相反数是负数，所以若a是正数，则﹣a是负数的说法是正确的，故③正确；因为0是自然数，但0既不是正数也不是负数，所以自然数一定是正数的说法是错误的，故④错误；因为0是整数，但0既不是正数也不是负数，所以一个整数不是正的就是负的说法是错误的，故⑤错误；因为整数和分数统称为有理数，所以一个有理数不是整数就是分数的说法是正确的，故⑥正确．所以说法正确的个数是2．故选：B．题型020的认识【典例1】下列关于0的说法中错误的是（）A．0是绝对值最小的数 B．0的相反数是0 C．0是整数 D．0的倒数是0【分析】根据有理数中整数的定义，有理数的分类，绝对值的性质和相反数的定义即可作出选择．【解答】解：A．正数的绝对值是正数，负数的绝对值是正数，0的绝对值是0，所以0是绝对值最小的数，此选项说法正确；B.0的相反数是0，此选项说法正确；C．整数包括正整数，0和负整数，0是整数此说法正确；D.0没有倒数，故0的倒数是0，此说法错误．故选：D．【变式1】课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①0是整数，但不是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义．其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】分别依据整数的定义、0的性质、和0的意义进行判断即可．【解答】解：自然数中包括0，当然0也是整数，所以①③都不正确；0既不是正数也不是负数，所以②正确；而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃，所以④不正确；故正确的只有②，故选：D．【变式2】下列说法正确的是（）A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0是整数【分析】按照有理数的分类填写：有理数．【解答】解：0既不是正数，也不是负数，是整数、自然数．故选：D．【变式3】零是（）A．最小的整数 B．最小的正数 C．最小的有理数 D．最小的非负整数【分析】根据0的特殊性，利用排除法进行选择．【解答】解：没有最小的整数，A错误；没有最小的正数，B错误；有理数没有最大最小，C错误；非负整数就是正整数或0，所以0最小，D正确．故选D．【变式4】下列关于零的说法中，正确的个数是（）①零是正数；②零是负数；③零既不是正数，也不是负数；④零仅表示没有．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据0的特殊含义，0既不是正数也不是负数，0的意义仅表示没有，得出结果．【解答】解：∵0既不是正数也不是负数，故①②错误，在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数的分界等，故④错误；故③正确，共1个，故选：A．题型03对有理数进行分类【典例1】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%．（1）整数集合：{﹣11，﹣9，0，+12…}；（2）分数集合：{，﹣6.4，﹣4%…}；（3）非负整数集合：{0，+12…}；（4）负有理数集合：{﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%…}．【分析】根据有理数的分类解答即可．【解答】解：（1）整数集合：{﹣11，﹣9，0，+12…}；（2）分数集合：{，﹣6.4，﹣4%…}；（3）非负整数集合：{0，+12…}；（4）负有理数集合：{﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%…}．故答案为：（1）﹣11，﹣9，0，+12；（2），﹣6.4，﹣4%；（3）0，+12；（4）﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%．【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内：﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12%整数集合{﹣7，0，10，﹣…}；正分数集合{3.5，，0.03，12%…}；非正整数集合{﹣7，3.5，0，，0.03，﹣3，﹣，12%…}；有理数集合{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12%…}．【分析】利用正整数、正分数、非正整数、有理数的定义填空．【解答】解：整数集合{﹣7，0，10，﹣…}；正分数集合{3.5，，0.03，12%…}；非正整数集合{﹣7，3.5，0，，0.03，﹣3，﹣，12%…}；有理数集合{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12%...}．【变式2】把下列各数填在相应的集合中：15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，．正数集合{15，0.81，，171，3.14，π，…}；负分数集合{﹣，﹣3.1…}；非负整数集合{15，171，0…}；有理数集合{15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，…}．【分析】根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可．【解答】解：正数集合{15，0.81，，171，3.14，π，…}；负分数集合{﹣，﹣3.1…}；非负整数集合{15，171，0…}；有理数集合{15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，…}．故答案为：15，0.81，，171，3.14，π，；﹣，﹣3.1；15，171，0；15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，．【变式3】把下列各数分别填入相应的大括号内：自然数集合{0，10…}；整数集合{﹣7，0，10，﹣…}；正分数集合{3.5，，0.03…}；非正数集合{﹣7，﹣3.1415，0，﹣3，﹣0.，﹣…}；有理数集合{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣…}．【分析】掌握各自的定义：自然数（大于零的整数）；整数（正整数、零和负整数）；有理数（整数和分数的统称）【解答】解：自然数集合：{0，10…}；整数集合：{﹣7，0，10，﹣…}；正分数集合：{3.5，，0.03…}；非正数集合：{﹣7，﹣3.1415，0，﹣3，﹣0.，﹣…}；有理数集合：{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣…}．【变式4】把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣，，﹣10，3.14（1）正数集合：{+27，，3.14……}（2）负数集合：{﹣13.5，﹣，﹣10……}（3）整数集合：{0，+27，﹣10……}（4）分数集合：{﹣13.5，﹣，，3.14……}（5）非负整数集合：{0，+27……}【分析】利用正数，负数，整数，分数，以及非负整数定义判断即可．【解答】解：（1）正数集合：{+27，，3.14……}；（2）负数集合：{﹣13.5，﹣，﹣10……}；（3）整数集合：{0，+27，﹣10……}；（4）分数集合：{﹣13.5，﹣，，3.14……}；（5）非负整数集合：{0，+27……}，故答案为：（1）+27，，3.14；（2）﹣13.5，﹣，﹣10；（3）0，+27，﹣10；（4）﹣13.5，﹣，，3.14；（5）0，+27题型04对“非”字的有理数的理解【典例1】在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据有理数的分类方法，可得：非负整数包括正整数和0，据此判断出在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是多少即可．【解答】解：在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是2个：0，2011．故选：B．【变式1】在+8，0，，，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有3个．【分析】非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案．【解答】解：+8，0，2023是非负整数，共3个，故答案为：3．【变式2】在有理数﹣3，0，，，3.7，﹣2.5中，非负数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案．【解答】解：0，，3.7，共3个，故选：B．【变式3】在﹣5，2.3，0，π，五个数中，非负有理数共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】有理数即整数和分数，非负有理数即正有理数和0，据此即可求得答案．【解答】解：2.3，0是非负有理数，共2个，故选：B．【变式4】有理数﹣3，0.618，中，非正数的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据非正数指的是负数与0解答即可．【解答】解：有理数中，非正数为﹣3，﹣3.14，﹣1，0，，共5个．故选：C．1．下列各数中，负整数是（）A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣2.5【分析】根据负整数的定义进行判断即可．【解答】解：3是正整数，0既不是正数也不是负数，﹣2.5是分数；﹣2是负整数；故选：C．2．下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（）A．3 B．﹣3 C．0 D．2.4【分析】根据大于零的分数是正分数，可得答案．【解答】解：A、是整数，故A错误；B、是负分数，故B错误；C、既不是正数也不是负数，故C错误；D、是正分数，故D正确；故选：D．3．在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据有理数的概念进行求解即可．【解答】解：在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的有3.14，，0，0.1010010001，共4个；故选：D．4．下列说法正确的是（）A．0是最小的整数 B．任何数的绝对值都是正数 C．﹣a是负数 D．绝对值等于它本身的数是正数和0【分析】根据有理数、绝对值，即可解答．【解答】解：A、0是最小的整数，错误，因为整数包括正整数、0和负整数；B、任何数的绝对值都是正数，错误，因为0的绝对值是0；C、﹣a是负数，错误，例如a＝﹣2时，﹣a＝2是正数；D、绝对值等于它本身的数是正数和0，正确；故选：D．5．对于下列各数：﹣5，0，，﹣0.2，10%，8，其中说法错误的是（）A．﹣5，0，8都是整数 B．分数有，﹣0.2，10% C．正数有，10%，8 D．﹣0.2是负有理数，但不是分数【分析】根据有理数分类的相关知识逐项分析判断即可．【解答】解：A．﹣5，0，8都是整数，该说法正确，不符合题意；B．分数有，﹣0.2，10%，该说法正确，不符合题意；C．正数有，10%，8，该说法正确，不符合题意；D．﹣0.2是负有理数，也是分数，本选项说法不正确，符合题意．故选：D．6．下列说法中，错误的是（）A．所有整数都是有理数 B．所有小数都是有理数 C．所有分数都是有理数 D．π不是有理数【分析】整数和分数统称为有理数，据此逐项判断即可．【解答】解：所有整数都是有理数，则A不符合题意；无限不循环小数不属于有理数，则B符合题意；所有分数都是有理数，则C不符合题意；π是无限不循环小数，它不是有理数，则D不符合题意；故选：B．7．从一批乒乓球中挑选4个球编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的球是（）编号1234检查结果+0.02﹣0.01﹣0.05+0.04A．1号球 B．2号球 C．3号球 D．4号球【分析】本题先求解各数的绝对值后，再比较绝对值的大小即可求得答案．【解答】解：各数的绝对值分别为：0.02，0.01，0.05，0.04，∴绝对值最小的是0.01，∴最接近标准质量的球是2号球．故选：B．8．下列说法不正确的是（）A．有理数包括正数与负数 B．所有的正整数都是整数 C．零既不是正整数，也不是负整数 D．整数和分数统称为有理数【分析】根据有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．即可作出判断．【解答】解：A．有理数包括：正有理数、0、负有理数，此选项说法错误，符合题意；B、C、D选项说法都是正确的，不符合题意的．故选：A．9．下列说法正确的是（）A．正数和负数统称有理数 B．0是整数，但不是正数 C．0是最小的有理数 D．整数包括正整数和负整数【分析】根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．【解答】解：A、正数、负数和0统称有理数．故本选项错误；B、0既不是正数，也不是负数，但0是整数，故本选项正确；C、0是最小的整数，不是最小的有理数，故本选项错误；D、整数包括正整数、负整数和零．故本选项错误；故选：B．10．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．【解答】解：①没有最小的整数，故①错误，不符合题意；②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意；③非负数就是正数和0，故③正确，符合题意；④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意；故选：C．11．在3，﹣0.01，0，﹣2，+8，，﹣100中，负分数有1个．【分析】根据负分数的定义即可得出结论．【解答】解：在数3，﹣0.01，0，﹣2，+8，，﹣100中，﹣0.01是负分数，共1个．故答案为：1．12．在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非负数有6个．【分析】利用有理数的定义判断．【解答】解：在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非负数有，0.51，0，7.6，2，314%共计6个．故答案为：6．13．，﹣0.010010001，π，﹣8，，15，300%，其中正整数有a个，有理数有b个，则a+b＝8．【分析】根据有理数的分类及定义求得a，b的值，将其代入a+b中计算即可．【解答】解：2.，﹣0.010010001，﹣8，，15，300%是有理数，共6个，15，300%＝3，是正整数，共2个，则a＝2，b＝6，那么a+b＝2+6＝8，故答案为：8．14．据介绍，我国计划2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验．月球表面没有大气层保温，昼夜温差非常大．面对太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作+127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下183℃，记作﹣183℃．【分析】根据正负数的意义求解即可．【解答】解：面对太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作+127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下183℃，记作﹣183℃．故答案为：﹣183．15．小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方向回家，小明向北走了800m记作“+800m”，小佳走的路程记作“﹣600m”．这时两人相距1400m．【分析】根据题意，因为他们行驶的方向相反，所以把两人各自行驶的路程相加即是两人相距的距离．【解答】解：800+600＝1400（m），答：这时两人相距1400m．故答案为：1400．16．把下列各数填到相应的集合中．1，，0.5，+7，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，，0.3，5%，﹣26，1.010010001…．正数集合：{1，，0.5，+7，，0.3，5%，1.010010001……}；负数集合：{﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26…}；整数集合：{1，+7，0，﹣9，﹣26…}；分数集合：{，0.5，﹣6.4，，0.3，5%…}．【分析】利用正数，负数，整数以及分数定义判断即可．【解答】解：正数集合：{1，，0.5，+7，，0.3，5%，1.010010001…}；负数集合：{﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26}；整数集合：{1，+7，0，﹣9，﹣26}；分数集合：{，0.5，﹣6.4，，0.3，5%}．故答案为：1，，0.5，+7，，0.3，5%，1.010010001…；﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26；1，+7，0，﹣9，﹣26；，0.5，﹣6.4，，0.3，5%．17．将下列有理数填入图中相应的圈内：，0，﹣1，2，0.5，【分析】利用有理数的分类，以及各自的定义即可得到结果．【解答】解：如图：18．近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以20km为基准，超出记为正，不足记为负），如表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日路程（km）﹣3﹣4+20+7+35+23（1）该汽车行驶路程最多的一天是星期六，这一天的实际行驶路程是55km．（2）若该新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费．【分析】（1）根据题意及正数与负数的含义进行分析求解即可；（2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解．【解答】解：（1）七天中，行驶路程最多的一天是星期六，这一天的实际行驶路程是：20+35＝55km，故答案为：星期六，55；（2）15×0.5×（20×7﹣3﹣4+2+0+7+35+23）÷100＝15元，答：小明家这一星期的汽车的电费为15元．19．黑土地是世界上最肥沃的土壤，有“一两土二两油”的比喻．东北黑土地地处世界“黄金玉米