2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第24章解直角三角形24.4解直角三角形及其简单的应用（第1课时）

第24章解直角三角形24.4解直角三角形解直角三角形及其简单的应用（第1课时）教学目标1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学重难点重点：理解解直角三角形的含义.难点：能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学过程复习巩固1.锐角三角函数：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则两锐角关系：∠A+∠B＝90°.三边关系：a2+b2＝c2.边角关系：(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝；(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝；(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝.2.30°、45°、60°角的三角函数值：锐角α三角函数30°45°60°sinαcosαtanα1导入新课我们已经掌握了直角三角形的有关性质以及边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的重要依据，这节课就是利用直角三角形这些知识来解决与直角三角形有关的问题.教师引出课题：24.4解直角三角形解直角三角形以及简单的应用（第1课时）探究新知探究点一解直角三角形的概念活动1（学生交流，教师点评）例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，这棵大树在折断前高多少米？此图见教材第112页【探索思路】(引发学生思考)本题已知直角三角形中两条直角边，求斜边.【解】利用勾股定理，树倒下部分的长度为(m)，135＝18（m）.答：这棵大树在折断前高18米.【题后总结】在直角三角形中，如果已知两条边的长度，那么就可利用勾股定理求出另外一条边的长度.【思考】解直角三角形需要什么条件？活动2（学生交流，教师点评）典例讲解（师生互动）△＝35°，解这个三角形.(精确到0.1，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)【探索思路】(引发学生思考)已知直角三角形中的两个元素，要求解直角三角形，一般从直角三角形的性质出发，结合勾股定理与锐角三角函数的定义进行解题.【解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝55°.∵BC＝20，∠B＝35°，∴tan35°＝≈0.7，解得AC≈14.cos35°＝＝≈0.82，解得AB≈24.4.【总结】解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素.【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.解：∠A＝90°-∠B＝90°-35°＝55°.∵tanB,∴a＝＝≈≈28.6.∵sinB＝，∴c＝＝≈≈35.1.探究点二解与方向角有关的直角三角形活动3合作探究，解决问题（学生交流，教师点评）典例讲解，师生互动例3如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B测得敌舰C在它的正南方向，试求:敌舰与两炮台的距离.(精确到1米）【探索思路】(引发学生思考)本题是已知一边、一锐角，求其他两边.解:在Rt△ABC中，因为∠CAB＝90°-∠DAC＝50°，tan∠CAB＝，所以BC＝AB•tan∠CAB＝2000×tan50°≈2384(米).又因为cos∠CAB＝cos50°，所以cos50°＝，AC＝答：敌舰与A，B两炮台的距离分别约3111米和2384米.【总结】解直角三角形的条件可分为两大类：①已知一锐角、一边（一锐角、一直角边或一斜边）②已知两边（一直角边，一斜边或两条直角边）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c，a)b＝eq\r(c2－a2)；由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°-∠A两直角边(a，b)c＝eq\r(a2＋b2)；由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°-∠A已知边和角斜边和一锐角(c，∠A)∠B＝90°-∠A；由sinA＝eq\f(a,c)，求a＝c·sinA；由cosA＝eq\f(b,c)，求b＝c·cosA一直角边和一锐角(a，∠A)∠B＝90°-∠A；由tanA＝eq\f(a,b)，求b＝eq\f(a,tanA)；由sinA＝eq\f(a,c)，求c＝eq\f(a,sinA)课堂练习1.如图，沿AC方向开山修路，为加快进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B测得∠ABD＝145°，BD＝500m，∠D＝55°.要使A，C，E成一条直线，开挖点E离点D的距离是()A.500sin55°mB.500cos55°m C.500tan55°m D.m2如图，露露从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时他离A地()A.503m B.100mC.150m D.10033.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC的平分线AD＝，解这个直角三角形.4.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知c＝10，∠B＝30°，解这个直角三角形.5.某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB，河流两岸AC、BD互相平行，河流对岸有两棵树A和C，且A、C之间的距离是60米，他们在D处测得∠BDC＝36°，前行140米后测得∠BPA＝45°，请根据这些数据求出河流的宽度.(结果精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81)参考答案1.B【解析】∵在Rt△BDE中，cosD，∴DE＝BD·cosD＝500cos55°.2.D【解析】∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝60°，AD＝AB·sin60°＝100＝50（m），BD＝AB·cos60°＝100＝50（m），∴CD＝150m∴AC＝AD2+CD23.【解】∵cos∠CAD＝＝＝，∴∠CAD＝30°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAB＝60°，∠B＝30°.∴AB＝12，BC＝.4.【解】∠A＝90°-∠B＝90°-30°＝60°.∵cosB＝，∴a＝c·cosB＝10·cos30°＝10×＝5.∵sinB＝，∴b＝c·sinB＝10·sin30°＝10×＝5.5.【解】过点C作CH⊥BD，则BH＝AC＝60米，设AB为x米，则CH为x米.在Rt△ABP中，tan45°＝1，∴BP＝x米，∴HD＝BP+PD-BH＝x+140-60＝(x+80)(米).在Rt△CHD中，∵tan∠CDH＝，∴x+80＝，∴x＝(x+80)tan36°，∴x≈216.3.即河流的宽度约为216.3米.课堂小结(学生总结，老师点评)解直角三角形eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(概念,理论依据\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(两锐角互余,勾股定理,锐角三角函数)),常见类型\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(已知两边,已知一边和一角))))布置作业教材第113页练习题第1，2题.板书设计课题24.4解直角三角形1解直角三角形及简单的应用（第1课时）