高中数学 第一章 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)同步检测 新人教A版选修2-2

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)一、基础过关1．下列结论不正确的是 ()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－eq\r(x)＋x，则y′＝－eq\f(1,2\r(x))＋1D．若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx2．函数y＝eq\f(x,1－cosx)的导数是 ()A.eq\f(1－cosx－xsinx,1－cosx) B.eq\f(1－cosx－xsinx,1－cosx2)C.eq\f(1－cosx＋sinx,1－cosx2) D.eq\f(1－cosx＋xsinx,1－cosx2)3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 ()A．－1 B．－2C．2 D．04．设曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于 ()A．2 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－25．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 ()A．4 B．－eq\f(1,4)C．2 D．－eq\f(1,2)6．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.7．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2s时的瞬时速度为________．二、能力提升8．设函数f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈[0，eq\f(5π,12)]，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2] D．[eq\r(2)，2]9．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝______.10．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(eq\r(x)－2)2；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．12．设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．三、探究与拓展13．已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程．

答案1．D2．B3．B4．D5．A6.eq\f(1,2)7．0.4m/s8．D9．610．解(1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(eq\r(x)－2)2＝x－4eq\r(x)＋4，∴y′＝x′－(4eq\r(x))′＋4′＝1－4·eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝1－2x－eq\f(1,2).(3)∵y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝x′－(eq\f(1,2)sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.11．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.12．(1)解由7x－4y－12＝0得y＝eq\f(7,4)x－3.当x＝2时，y＝eq\f(1,2)，∴f(2)＝eq\f(1,2)， ①又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，∴f′(2)＝eq\f(7,4)， ②由①，②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4).))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝3)).故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋eq\f(3,x\o\al(2,0)))(x－x0)，即y－(x0－eq\f(3,x0))＝(1＋eq\f(3,x\o\al(2,0)))(x－x0)．令x＝0得y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－eq\f(6,x0))．令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为eq\f(1,2)|－eq\f(6,x0)||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.13．解设l与C1相切于点P(x1，xeq\o\al(2,1))，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2,1). ①对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋xeq\o\al(2,2)－4. ②因为两切线重合，所以由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝