高中数学 第4章 微积分基本定理同步检测 北师大版选修2-2

§2微积分基本定理一、基础过关1．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是 ()A．F(x)＝eq\f(1,3)x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝eq\f(1,3)x3＋1D．F(x)＝eq\f(1,3)x3＋c(c为常数)2．ʃeq\o\al(b,a)f′(3x)dx等于 ()A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3aC.eq\f(1,3)[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)]3．ʃeq\o\al(1,0)(ex＋2x)dx等于 ()A．1 B．e－1C．e D．e＋14．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤0，,1，0<x≤1，))则ʃeq\o\al(1,－1)f(x)dx的值为 ()A.eq\f(3,2) B.eq\f(4,3)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)5．sin2eq\f(x,2)dx等于 ()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)－1C．2 D.eq\f(π－2,4)6．ʃeq\o\al(1,－1)|x|dx等于 ()A．ʃeq\o\al(1,－1)xdxB．ʃeq\o\al(1,－1)(－x)dxC．ʃeq\o\al(0,－1)(－x)dx＋ʃeq\o\al(1,0)xdxD．ʃeq\o\al(0,－1)xdx＋ʃeq\o\al(1,0)(－x)dx二、能力提升7．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0,x＋\o\al(a,0)3t2dt，x≤0))，若f[f(1)]＝1，则a＝________.8．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．9．设f(x)是一次函数，且ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx＝5，ʃeq\o\al(1,0)xf(x)dx＝eq\f(17,6)，则f(x)的解析式为________．10．计算下列定积分：(1)ʃeq\o\al(2,1)(ex＋eq\f(1,x))dx；(2)ʃeq\o\al(9,1)eq\r(x)(1＋eq\r(x))dx；(3)ʃeq\o\al(20,0)(－0.05e－0.05x＋1)dx；(4)ʃeq\o\al(2,1)eq\f(1,xx＋1)dx.11．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x∈[0，1]，,\r(x)，x∈1，2]，,2x，x∈2，3].))求ʃeq\o\al(3,0)f(x)dx的值．12．已知f(a)＝ʃeq\o\al(1,0)(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃeq\o\al(3,－4)|x＋a|dx.

答案1．B2．C3．C4．B5．D6．C7．18.eq\f(\r(3),3)9．f(x)＝4x＋310．解(1)∵(ex＋lnx)′＝ex＋eq\f(1,x)，∴ʃeq\o\al(2,1)(ex＋eq\f(1,x))dx＝(ex＋lnx)|21＝e2＋ln2－e.(2)∵eq\r(x)(1＋eq\r(x))＝x＋eq\r(x)，(eq\f(1,2)x2＋eq\f(2,3))′＝x＋eq\r(x)，∴ʃeq\o\al(9,1)eq\r(x)(1＋eq\r(x))dx＝(eq\f(1,2)x2＋eq\f(2,3))|91＝eq\f(172,3).(3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1，∴ʃeq\o\al(20,0)(－0.05e－0.05x＋1)dx＝e－0.05x＋1|200＝1－e.(4)∵eq\f(1,xx＋1)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)，(lnx)′＝eq\f(1,x)，(ln(x＋1))′＝eq\f(1,x＋1)，∴ʃeq\o\al(2,1)eq\f(1,xx＋1)dx＝lnx|eq\o\al(2,1)－ln(x＋1)|21＝2ln2－ln3.11．解由积分的性质，知：ʃeq\o\al(3,0)f(x)dx＝ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx＋ʃeq\o\al(2,1)f(x)dx＋ʃeq\o\al(3,2)f(x)dx＝ʃeq\o\al(1,0)x3dx＋ʃeq\o\al(2,1)eq\r(x)dx＋ʃeq\o\al(3,2)2xdx＝eq\f(x4,4)|10＋eq\f(2,3)|21＋eq\f(2x,ln2)|32＝eq\f(1,4)＋eq\f(4,3)eq\r(2)－eq\f(2,3)＋eq\f(8,ln2)－eq\f(4,ln2)＝－eq\f(5,12)＋eq\f(4,3)eq\r(2)＋eq\f(4,ln2).12．解∵(eq\f(2,3)ax3－eq\f(1,2)a2x2)′＝2ax2－a2x，∴ʃeq\o\al(1,0)(2ax2－a2x)dx＝(eq\f(2,3)ax3－eq\f(1,2)a2x2)|10＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2，即f(a)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2＝－eq\f(1,2)(a2－eq\f(4,3)a＋eq\f(4,9))＋eq\f(2,9)＝－eq\f(1,2)(a－eq\f(2,3))2＋eq\f(2,9)，∴当a＝eq\f(2,3)时，f(a)有最大值eq\f(2,9).13．解(1)当－a≤－4即a≥4时，原式＝ʃeq\o\al(3,－4)(x＋a)dx＝(eq\f(x2,2)＋ax)|3－4＝7a－eq\f(7,2).(2)当－4<－a<3即－3<a<4时，原式＝ʃeq\o\al(－a,－4)[－(x＋a)]dx＋ʃeq\o\al(3,－a)(x＋a)dx＝(－eq\f(x2,2)－ax)|eq\o\al(－a,－4)＋(eq\f(x2,2)＋ax)|eq\o\al(3,－a)＝eq\f(a2,2)－4a＋8＋(eq\f(a2,2)＋3a＋eq\f(9,2))＝a2－a＋eq\f(25,2).(3)当－a≥3即a≤－3时，原式＝ʃeq\o\al(3,－4)[－(x＋a)]dx＝(－