第05讲逆命题和逆定理（6类题型）（原卷版）

第05讲逆命题和逆定理（6类题型）课程标准学习目标1.逆命题逆定理的概念；2.证明的过程；3.互逆命题的概念；1.掌握逆定理与逆命题的概念；2.学会正确书写证明过程；知识点01：定义、命题与证明1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。2.命题：定义：判断某一件事情的句子结构：由条件和结论两部分组成。句式改写：如果……那么……分类：真命题通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的假命题通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例)3.互逆命题原命题、逆命题互逆定理原定理、逆定理每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。4.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。【即学即练1】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）可取下面哪组值说明“如果，那么”的逆命题是假命题（

）A．， B．， C．， D．，【即学即练2】（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）下列命题中，逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等C．平行四边形的对角线互相平分 D．如果，那么题型01写出一个命题的已知、求证及证明过程1．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．已知：____________．求证：____________．证明：2．（2023春·福建漳州·八年级统考期末）某同学制作了一个简易的形分角仪来二等分任意一个角．如图，该形分角仪是由相互垂直的两根细棍，组成，是的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点在上，同时保证形分角仪的，两点正好落在所分角的两条边，上，此时就会平分．为说明制作原理，请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．

已知：如图，点，分别在的边上，经过点，__________，__________．求证：__________．证明：3．（2023秋·全国·八年级专题练习）证明：直角三角形的两个锐角互余．（在下列方框内画出图形）

已知：求证：证明：4．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．已知：______，求证：______．（只须填写序号）证明：5．（2023·浙江·八年级假期作业）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制年，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程已知：如图2，点，，，在同一平面内，___________，_____________．求证：_________________．题型02根据给出的论断组命题并证明1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

(1)请写出所有的真命题；(2)请选择其中一个命题加以证明．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．3．（2021秋·浙江杭州·八年级统考期中）数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点．求证：______________________．请你补全求证，并写出证明过程．4．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（）5．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知直线，给出下列信息：①；②平分；③．(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是，结论是(只要填写序号)，并说明理由．(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．题型03写出命题的逆命题1．（2023春·贵州安顺·八年级校考期中）下列命题中其逆命题不成立的是（

）A．同旁内角互补，两直线平行； B．如果两个角是直角，那么它们相等；C．全等三角形的三组对应边相等； D．两个正实数相等，那么它们的平方相等；2．（2023春·福建宁德·八年级校考期中）可取下面哪组值说明“如果，那么”的逆命题是假命题（

）A．， B．， C．， D．，3．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是．4．（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）命题“如果两个数是正数，那么这两个数的和也是正数”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）．5．（2023秋·八年级课时练习）写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假．(1)内错角相等．(2)若两个角相加等于180°，则这两个角互为邻补角．6．（2022春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题；该逆命题是一个命题（填“真”或“假”）（2）若你的判断是真命题请写出证明过程（要求画图，并写出已知，求证）．若是假命题，请说明理由．题型04判断是否为互逆命题1．（2023秋·九年级课时练习）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（

）A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题2．（2023秋·九年级课时练习）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（）A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|3．（2022春·八年级课前预习）题设和结论正好相反的两个命题叫做．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的．4．（2022秋·八年级课时练习）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是命题．5．（2023春·七年级课时练习）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：；（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．题型05定理与证明1．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）下列说法中，正确的是（）A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形顶角的平分线与底边不垂直C．等腰三角形有两条对称轴 D．每个定理都有逆定理2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（

）A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的3．（2023春·七年级课前预习）命题由和两部分组成，通常写成形式．4．（2023春·七年级单元测试）如图所示，，那么，依据是．5．（2022秋·八年级课时练习）下列说法对吗？请说明理由．(1)每个定理都有逆定理．(2)每个命题都有逆命题．(3)假命题没有逆命题．(4)真命题的逆命题是真命题．题型06互逆命题1．（2023春·吉林松原·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题2．（2023秋·山西运城·八年级统考期末）下列命题，属于真命题的是（）A．三角形的外角等于两个内角的和 B．内错角相等，两直线平行C．一个定理的逆命题就是这个定理的逆定理 D．三角形的一个外角大于任何一个内角3．（2023·浙江·八年级假期作业）请写出一个存在逆定理的定理：．4．（2022秋·八年级课时练习）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理．(1)等腰三角形的两个底角相等．(2)内错角相等，两直线平行．(3)对顶角相等．A夯实基础1．（2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习）下列命题的逆命题为真命题的是（

）A．对顶角相等 B．若，则C．全等三角形的面积相等 D．两直线平行，同位角相等2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）下列各命题的逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果，那么C．若，则 D．相等的角是对顶角3．（2023春·江苏·七年级专题练习）命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（）A．， B．， C．， D．，4．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）命题“等角的余角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．6．（2023春·七年级课时练习）“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题为（选填“真”或“假”）命题．7．（2023春·广东揭阳·八年级统考期中）命题“若，则”的逆命题是．8．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）下列命题中逆命题成立的有．（填序号）．①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么，；

④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．9．（2023秋·全国·八年级专题练习）证明：直角三角形的两个锐角互余．（在下列方框内画出图形）

已知：求证：证明：10．（2023秋·全国·八年级专题练习）卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明．已知：求证：证明：B能力提升1．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）下列命题的逆命题成立的是（

）A．若，则 B．矩形的对角线互相垂直 C．对角线相等的四边形是菱形 D．对应角相等的两个三角形全等2．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期中）下列命题中逆命题错误的是（

）A．内错角相等两直线平行 B．直角三角形的两锐角互余C．全等三角形的对应边相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等3．（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．对顶角相等4．（2023春·山东德州·七年级校考期中）下列命题中：（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）同一个角的两个邻角是对顶角；（4）有公共顶点且相等的两个角是对顶角；其中，互为逆命题的是（）A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（4）5．（2023春·陕西安康·八年级统考阶段练习）命题：“若，，则”的逆命题是．6．（2023春·陕西汉中·八年级统考期中）命题“若，则”的逆命题是．7．（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）命题“如果两个数是正数，那么这两个数的和也是正数”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）．8．（2023春·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”是命题．（执“真”或“假”）9．（2023秋·八年级课时练习）写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假．(1)内错角相等．(2)若两个角相加等于180°，则这两个角互为邻补角．10．（2023秋·九年级课时练习）已知命题“如果，那么．”(1)写出此命题的条件和结论；(2)写出此命题的逆命题；(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．C综合素养1．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）下列命题中，其逆命题为真命题的是（

）A．内错角相等 B．若，则C．对顶角相等 D．等腰三角形两底角相等2．（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

证明：如图，，．，，，已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（

）A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等3．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列命题是真命题的是（

）A．“对顶角相等”的逆命题是真命题B．平行线的同旁内角的平分线互相垂直C．和为的两个角叫做邻补角D．在同一平面内，，，是直线，且，，则4．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（

）A．如果，那么B．如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等C．对顶角相等D．如果，那么5．（2023春·甘肃平凉·八年级校考期中）命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是．它是命题．（填“真”