2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率2教案新人教A版必修第二册

PAGE10.1.2事务的关系和运算本节《一般中学课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《10.1.2事务的关系和运算》，事务的关系与运算是继随机事务的后续部分,本节课提出了事务的关系、事务的运算等两部分.学生将通过新旧学问的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和驾驭新学问的实际含义.由于事务的抽象性，所以教学时将大量采纳“韦恩图”帮助学生理解事务的关系，同时强调区分事务关系、运算与集合的关系、运算的区分与联系.为概率的学习打好基础。并加深对概率思想方法的理解。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养A.理解并驾驭时间的关系和运算．B.能够将事务的运算关系学问敏捷运用到实际事务中．1.数学建模：事务关系的运用2.逻辑推理：事务运算与集合运算的联系与区分3.数学运算：事务运算4.数据分析：在详细事例中分析事务关系与运算1.教学重点：件运算关系的实际含义．2.教学难点：事务运算关系的应用.多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标情境与问题从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事务。这些事务有的简洁,有的困难,我们希望从简洁事务的概率推算出困难事务的概率,所以须要探讨事务之间的关系和运算.例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；请用集合的形式表示这些事务，借助集合与集合的关系和运算,你能发觉这些事务之间的联系吗？引例：在掷骰子试验中，视察骰子朝上面的点数，可以定义很多随机事务用集合的形式表示事务C1=“点数为1”和事务G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}.明显,假如事务C1发生,那么事务G肯定发生,事务之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1}⊆{1,3,5},即C1⊆G.这时我们说事务G包含事务C1.；一般地,事务A与事务B至少有一个发生,这样的一个事务中的样本点或者在事务A中,或者在事务B中,我们称这个事务为事务A与事务B的并事务(或和事务）,记作AUB(或A+B).可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事务.一般地,事务A与事务B同时发生,这样的一个事务中的样本点既在事务A中,也在事务B中,我们称这样的一个事务为事务A与事务B的交事务(或积事务）,记作A∩B(或AB).蓝色区域表示交事务用集合的形式表示事务C3=“点数为3”和事务C4=“点数为4”.它们分别C3={3},C4={4}.明显,事务C3与事务C4不行能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩C4=Φ,这时我们称事务C3与事务C4互斥.一般地,假如事务A与事务B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不行能事务,即A∩B=Φ,则称事务A与事务B互斥(或互不相容）.可以用图表示这两个事务互斥.其含义是,事务A与事务B在任何一次试验中不会同时发生．用集合的形式表示事务F=“点数为偶数”、事务G=“点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事务F与事务G两者只能发生其中之一,而且也必定发生其中之一.事务之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G=Φ.此时我们称事务F与事务G互为对立事务.事务D1与D2也有这种关系.一般地,假如事务A和事务B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事务A与事务B互为对立.其含义是：事务A与事务在任何一次试验中有且仅有一个发生．事务A的对立事务记为,可以用图表示为.1.抛挪一颗质地匀称的骰子，有如下随机事务：Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。推断下列结论是否正确.(1)C1与C2互斥；(2)C2,C3为对立事务;(3)C3⊆D2;(4)D3⊆D2;(5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ;(6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5;(8)E,F为对立事务；(9)D2∪D3=D2;(10)D2∩D3=D3.答案：（2）错，其余都对综上所述,事务的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下事务的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事务(和事务)A与B至少一个发生AUB或A+B交事务(积事务)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω类似地,我们可以定义多个事务的和事务以及积事务.例如,对于三个事务A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.例5如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事务A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事务A,B以及它们的对立事务；(3)用集合的形式表示事务A∪B和事务A∩B,并说明它们的含义及关系.分析：留意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样,确定事务A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},,(3)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效.A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};A∪B表示电路工作正常,表示电路工作不正常；A∪B和互为对立事务.例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事务R1=“第一次摸到红球”,R2=“其次次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(2)事务R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？(3)事务R与事务G的并事务与事务M有什么关系？事务R1与事务R2的交事务与事务R有什么关系？用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是其次次摸到的球的标号Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}R={(1,2),(2,1)}G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}(2)因为R⊆R1,所以事务R1包含事务R因为R∩G=Φ,所以事务R与事务G互斥；因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事务M与事务N互为对立事务.(3)因为R∪G=M,所以事务M是事务R与事务G的并事务；因为R1∩R2=R,所以事务R是事务R1与事务R2的交事务.由详细事例动身，提出问题，让学生了解事务关系和运算与集合运算的联系。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。通过联系集合运算和韦恩图帮助学生理解事务关系及其运算。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。通过实例分析，让学生驾驭分析事务关系的方法加深对概念的理解，提升推理论证实力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。三、达标检测1.某人打靶时连续射击两次，下列事务中与事务“至少一次中靶”互为对立的是().(A)至多一次中靶(B)两次都中靶(C)只有一次中靶(D)两次都没有中靶解析：“至少一次中靶”的对立事务是“两次都没有中靶”，所以选D2.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事务M,向上面至少有一枚是正面为事务N,则有()A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.M<NA3.抛掷一枚匀称的正方体骰子,事务P＝{向上的点数是1},事务Q＝{向上的点数是3或4},M＝{向上的点数是1或3},则P∪Q＝,M∩Q＝_______________________.{向上的点数是1或3或4}{向上的点数是3}4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事务A,则A的对立事务是________．至少有一件是二级品5.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参与演讲竞赛．推断下列每对事务是不是互斥事务，假如是，再判别它们是不是对立事务．(1)恰有一名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．[解析]判别两个事务是否互斥，就是考查它们是否能同时发生；判别两个互斥事务是否对立，就要考查它们是否必有一个发生且只有一个发生．(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不行能同时发生，所以它们是互斥事务；当恰有两名女生时它们都不发生，所以它们互斥不对立事务．(2)因为“恰有两名男生”发生时，“至少有一名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事务．(3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不行能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们互斥对立．(4)由于选出的是“一名男生一名女生”时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事务．[点评]推断两个互斥事务是否对立要依据试验的条件，考虑事务关系必需先考虑条件．本题条件若改成“某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”便是对立事务．通过练习巩固本节所学学问，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。四、小结事务的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下事务的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事务(和事务)A与B至少一个发生AUB或A+B交事务(积事务)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω(1)包含关系、相等关系的判定①事务的包含关系与集合的包含关系相像；②两事务相等的实质为相同事务，即同时发生或同时不发生．(2)推断事务是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事务包含的结果；其次步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事务都发生，若是，则两个事务不互斥，否则就是互斥的．(3)推断事务是否对立的两个步骤第一步，推断是互斥事务；其次步，确定两个事务必定有