2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωxφ的图像与性质二课时素养评价含解析北师大版必修4

PAGE课时素养评价十二函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)(15分钟30分)1.已知函数f(x)=sinQUOTE(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图像 ()A.关于直线x=QUOTE对称 B.关于直线x=QUOTE对称C.关于点QUOTE对称 D.关于点QUOTE对称【解析】选B.因为f(x)=sinQUOTE的最小正周期为π,所以QUOTE=π,ω=2,所以f(x)=sinQUOTE.当x=QUOTE时,2x+QUOTE=QUOTE,所以A,C错误;当x=QUOTE时,2x+QUOTE=QUOTE,所以B正确,D错误.2.函数y=8sinQUOTE取最大值时,自变量x的取值集合是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选B.因为y的最大值为8,此时sinQUOTE=1,即6x+QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z),所以x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).3.函数y=sin2x的一个递增区间可以是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.[0,π]【解析】选A.由-QUOTE+2kπ≤2x≤QUOTE+2kπ,k∈Z,得-QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,k∈Z,故当k=0时的单调递增区间为QUOTE.4.y=2sinQUOTE的图像的两条相邻对称轴之间的距离是.

【解析】由函数图像知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期,即QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.已知函数f(x)=QUOTEsinQUOTE.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)当x∈QUOTE时,求函数f(x)的最大值,最小值.【解析】(1)f(x)=QUOTEsinQUOTE,令2kπ-QUOTE≤2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z,得kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE,k∈Z.故f(x)的单调递增区间为QUOTE,k∈Z.(2)因为x∈QUOTE,所以QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE,所以-1≤sinQUOTE≤QUOTE,所以-QUOTE≤f(x)≤1,所以当x∈QUOTE时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则fQUOTE的值为 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题意知,点M到x轴的距离是QUOTE,所以A=QUOTE,又由题图知QUOTE·QUOTE=1,所以ω=π,因为f(x)为偶函数,所以φ=QUOTE,所以f(x)=QUOTEsinQUOTE=QUOTEcosπx,故fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=QUOTE.2.(2024·江苏高考)已知函数y=sin(2x+φ)QUOTE的图像关于直线x=QUOTE对称,则φ的值是 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由函数y=sin(2x+φ)QUOTE的图像关于直线x=QUOTE对称,得sinQUOTE=±1,因为-QUOTE<φ<QUOTE,所以QUOTE<QUOTE+φ<QUOTE,则QUOTE+φ=QUOTE,φ=-QUOTE.3.已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图像不行能是 ()【解析】选D.当a=0时f(x)=1,C符合,当0<|a|<1时T>2π,且最小值为正数,A符合,当|a|>1时T<2π,且最小值为负数,B符合,解除A,B,C.D项中,由振幅得a>1,所以T<2π,而由图像知T>2π冲突.4.函数y=sinQUOTE在x=2处取得最大值,则正数ω的最小值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题意得,2ω+QUOTE=QUOTE+2kπ(k∈Z),解得ω=QUOTE+kπ(k∈Z),因为ω>0,所以当k=0时,ωmin=QUOTE.5.设函数f(x)=cosQUOTE,则下列结论错误的是 ()A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图像关于直线x=QUOTE对称C.f(x+π)的一个零点为QUOTED.f(x)在QUOTE上单调递减【解析】选D.函数f(x)=cosQUOTE的图像可由y=cosx的图像向左平移QUOTE个单位得到,如图可知,f(x)在QUOTE上先递减后递增,D选项错误.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=sinQUOTE与y轴最近的对称轴方程是.

【解析】令2x-QUOTE=kπ+QUOTE(k∈Z),所以x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).由k=0,得x=QUOTE;由k=-1,得x=-QUOTE.答案:x=-QUOTE7.ω为正实数,函数f(x)=2sinωπx的周期不超过1,则ω的最小值是.

【解析】由QUOTE≤1,得ω≥2.即ω的最小值为2.答案:28.函数f(x)=cosQUOTE在[0,π]的零点个数为.

【解析】由已知,cosQUOTE=0,所以3x+QUOTE=QUOTE+kπ,k∈Z,所以x=QUOTE+QUOTE,k∈Z,当k=0时,x=QUOTE;当k=1时,x=QUOTE;当k=2时,x=QUOTE,均满意题意,所以函数f(x)在[0,π]上的零点个数为3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤QUOTE对x∈R恒成立,且fQUOTE>f(π),求f(x)的递增区间.【解析】因为fQUOTE>f(π),故sin(π+φ)>sinφ,得sinφ<0,又f(x)QUOTE对x∈R恒成立,故fQUOTE=±1,即sinQUOTE=±1,QUOTE+φ=QUOTE+kπ,k∈Z,φ=QUOTE+kπ,k∈Z,又sinφ<0,取φ=-QUOTE,故f(x)=sinQUOTE,令-QUOTE+2kπ≤2x-QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z,解得:QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,k∈Z.故f(x)的递增区间是QUOTE,k∈Z.10.已知a>0,函数f(x)=-2asinQUOTE+2a+b,当x∈QUOTE时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值.(2)设g(x)=fQUOTE且lg[g(x)]>0,求g(x)的单调区间.【解析】(1)因为x∈QUOTE,所以2x+QUOTE∈QUOTE.所以sinQUOTE∈QUOTE,又因为a>0,所以-2asinQUOTE∈[-2a,a].所以f(x)∈[b,3a+b],又因为-5≤f(x)≤1,所以b=-5,且3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得,f(x)=-4sinQUOTE-1,g(x)=fQUOTE=-4sinQUOTE-1=4sinQUOTE-1,又由lg[g(x)]>0,得g(x)>1,所以4sinQUOTE-1>1,所以sinQUOTE>QUOTE,所以2kπ+QUOTE<2x+QUOTE<2kπ+QUOTE,k∈Z,其中当2kπ+QUOTE<2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+QUOTE,k∈Z,所以g(x)的单调增区间为QUOTE,k∈Z.又因为当2kπ+QUOTE<2x+QUOTE<2kπ+QUOTE,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+QUOTE<x<kπ+QUOTE,k∈Z.所以g(x)的单调减区间为QUOTE,k∈Z.设函数f(x)=sinQUOTE,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+2x2+x3的值为 ()A.π B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由已知x∈QUOTE时,2x+QUOTE∈QUOTE,画出函数f(x)的大致图像,如图所示:当QUOTE≤a<1时,方程f(x)=a