2024-2025学年新教材高中数学第十章复数10.1.2复数的几何意义学案新人教B版必修第四册

PAGE10.1.2复数的几何意义必备学问·自主学习导思1.复数与向量之间具有怎样的对应关系?2.如何推断复数的实部、虚部的取值?1.复平面(1)复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.(2)实轴和虚轴:在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为实轴,y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了便利起见,称y轴为虚轴.(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗?提示:不是.(2)象限内的点与复数有何对应关系?提示:第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正;其次象限的复数特点:实部为负,且虚部为正;第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负;第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负.2.复数的几何意义3.共轭复数(1)定义:假如两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.(2)表示方法:复数z的共轭复数用QUOTE表示.即假如z=a+bi,那么QUOTE=a-bi.(3)几何意义:在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称;反之,假如表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.4.复数的模(1)定义:向量=(a,b)的长度称为复数z=a+bi的模(或肯定值),复数z的模用|z|表示,因此|z|=QUOTE.假如b=0,|z|=QUOTE=|a|.(2)共轭复数的模的关系:两个共轭复数的模相等,即|z|=|QUOTE|.留意:对复数模的两点说明(1)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|=QUOTE,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实数,可以比较大小.(2)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.复数的模的几何意义是什么?提示:复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:①满意条件|z|=r的点Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|<r表示圆的内部,|z|>r表示圆的外部;②满意条件|z-z0|=r的点Z的轨迹为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|<r表示圆的内部,|z-z0|>r表示圆的外部.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上. ()(2)复数的模肯定是正实数. ()(3)若|z1|=|z2|,则z1=z2. ()提示:(1)√.(2)×.复数0的模是0.(3)×.反例:|1-2i|=|1+2i|,但1-2i≠1+2i.2.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=.

【解析】|z|=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.(教材二次开发:例题改编)在复平面内,复数1+i和1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则=.

【解析】因为复数1+i与1+3i分别对应向量和,所以向量=(1,1),=(1,3),所以=-=(0,2),所以=2.答案:2关键实力·合作学习类型一复数的模(数学运算)1.(2024·南昌高一检测)复数z=-1+i(i是虚数单位),则z的模为 ()A.0 B.1 C.QUOTE D.2【解析】选C.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.(2024·武汉高一检测)已知复数z=-1+2i,则下列关系式中正确的是 ()A.|z|<2 B.|z|>3C.|z|≠|1+2i| D.|z|=|1-2i|【解析】选D.复数z=-1+2i,QUOTE=QUOTE=QUOTE.解除AB,QUOTE=QUOTE=QUOTE.故得到QUOTE=QUOTE.3.已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.【解析】方法一:因为z=3+ai(a∈R),所以|z|=QUOTE,由已知得32+a2<42,所以a2<7,所以a∈(-QUOTE,QUOTE).方法二:利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知-QUOTE<a<QUOTE.复数模的计算(1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解.类型二复平面的应用(逻辑推理)【典例】求实数a分别取何值时,复数z=QUOTE+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满意下列条件:(1)在复平面的其次象限内.(2)在复平面内的x轴上方.【思路导引】确定z的实部、虚部→列方程、解不等式组【解析】(1)点Z在复平面的其次象限内,则QUOTE解得a<-3.(2)点Z在x轴上方,则QUOTE即(a+3)(a-5)>0,解得a>5或a<-3.(1)本例中题设条件不变,求复数z表示的点在x轴上时,实数a的值.【解析】点Z在x轴上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5时点Z在x轴上.(2)本例中条件不变,假如点Z在直线x+y+7=0上,求实数a的值.【解析】因为点Z在直线x+y+7=0上,所以QUOTE+a2-2a-15+7=0,即a3+2a2-15a-30=0,所以(a+2)(a2-15)=0,故a=-2或a=±QUOTE.所以a=-2或a=±QUOTE时,点Z在直线x+y+7=0上.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的依据.(2)列出式子:此类问题可建立复数的实部与虚部应满意的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.类型三复数模的几何意义(直观想象)角度1与模有关的轨迹问题

【典例】设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满意下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|=3;(2)1≤|z|≤2.【思路导引】依据复数模的几何意义,即复数的模就是复数对应的点到原点的距离.【解析】(1)|z|=3,说明向量的长度等于3,即复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为3,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的圆.(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组QUOTE不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部全部点的集合.不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1及该圆外部全部点的集合.这两个集合的交集,就是满意条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界.角度2复数模的最值问题

【典例】(2024·广州高一检测)已知复数z满意|z-i|≤2(i是虚数单位),则QUOTE的最大值为 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选B.由复数的模的几何意义可知,复数z在复平面内对应的点Z的轨迹为:以(0,1)为圆心,以2为半径的圆的内部(包括圆周).而QUOTE表示点Z到点(0,0)的距离,所以当点Z为QUOTE时,QUOTE最大,故QUOTE的最大值是3.解决复数模的几何意义的问题的两个关键点(1)|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满意的条件推断点Z的集合表示的图形;(2)利用复数模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决.1.已知复数z=x+yi(x,y∈R)且|z-2|=QUOTE,则QUOTE的最大值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为|z-2|=QUOTE=QUOTE,所以(x-2)2+y2=3,由图可知QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.(2024·南京高一检测)已知复数QUOTE=1,i为虚数单位,则QUOTE的最小值是 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.复数z满意QUOTE=1(i是虚数单位),复数z表示的点的轨迹为复平面上的点到QUOTE的距离为1的圆.|z-3+4i|的几何意义是圆上的点与(3,-4)的距离,所以最小值为:QUOTE-1=4.【补偿训练】若复数z满意|z|≤QUOTE,则z在复平面所对应的图形的面积为.

【解析】满意|z|≤QUOTE的点Z的集合是以原点O为圆心,以QUOTE为半径的圆及其内部全部的点构成的集合,所以所求图形的面积为S=2π.答案:2π备选类型复数的转化应用(逻辑推理)【典例】已知复数z满意z+|z|=2+8i,求复数z.【思路导引】设出复数z的代数形式,依据复数相等的条件建立方程组进行求解.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=QUOTE,代入方程得a+bi+QUOTE=2+8i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=-15+8i.复数模的求解及其应用1.复数z=a+bi模的计算:|z|=QUOTE.2.复数的模的几何意义:复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离.3.转化思想:利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满意的条件,是一种复数问题实数化思想.若复数z=QUOTE+(a2-a-6)i是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为.

【解析】因为z为实数,所以a2-a-6=0,所以a=-2或3.因为a=-2时,z无意义,所以a=3,所以z1=2-5i,所以|z1|=QUOTE.答案:QUOTE课堂检测·素养达标1.已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是 ()A.(1,QUOTE) B.(1,QUOTE)C.(1,3) D.(1,5)【解析】选B.|z|=QUOTE,因为0<a<2,所以1<a2+1<5,所以|z|∈(1,QUOTE).2.当QUOTE<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为QUOTE<m<1,所以3m-2>0,m-1<0,所以点(3m-2,m-1)在第四象限.3.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 ()A.4+8i B.8+2iC.2+4i D.4+i【解析】选C.复数6+5i对应的点为A(6,5),复数-2+3i对应的点为B(-2,3).利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4),故点C对应的复数为2+4i.4.若复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),其中m∈R,则|z|=.

【解析】复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),所以m-2=0且m+1≠0,解得m=2,所以z=3i,所以|z|=3.答案:35.(教材二次开发:练习改编)z=m2-2+QUOTEiQUOTE,其共轭复数QUOTE对应复平面内的点在其次象限,则实数m的范围是.

【解析】由已知得:QUOTE=m2-2-QUOTEi,且在其次象限,所以QUOTE解得QUOTE所以-QUOTE<m<QUOTE.答案:QUOTE五复数的几何意义(15分钟30分)1.(2024·成都高一检测)已知复数z=1-2i,则QUOTE= ()A.QUOTEB.1+2iC.QUOTE+QUOTEiD.QUOTE-QUOTEi【解析】选B.复数z=1-2i则QUOTE=1+2i.2.(2024·巴楚高一检测)i是虚数单位,则复数i+i2在复平面内所对应的点在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.因为i+i2=-1+i,所以复数i+i2在复平面内所对应的点为(-1,1),在其次象限.3.已知a是实数,a-1+QUOTEi是纯虚数,则复数z=a+i的模等于 ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选C.a-1+QUOTEi是纯虚数,则实部为0,虚部不为0,即a=1,所以z=1+i,|z|=QUOTE.4.已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x对称,则点Z3对应的复数为z= ()A.3+2i B.3-2i C.2+3i D.2-3i【解析】选A.Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),所以z=3+2i.5.(2024·南京高一检测)若m∈R,i为虚数单位,且QUOTE=QUOTE,则m的值为.

【解析】由QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,解得m=±1.答案:±16.在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数为3-4i,若点B关于原点的对称点为A,点A关于虚轴的对称点为C,则向量对应的复数为.

【解析】因为点B的坐标为(3,-4),所以点A的坐标为(-3,4),所以点C的坐标为(3,4),所以向量对应的复数为3+4i.答案:3+4i(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面内所对应的点在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.因为x+y+(x-y)i=3-i,所以QUOTE解得QUOTE所以复数1+2i在复平面内所对应的点在第一象限.2.在复平面内,复数z1,z2的对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2QUOTE,|z2|=QUOTE,则z2等于 ()A.4+5i B.5+4iC.3+4i D.5+4i或QUOTE+QUOTEi【解析】选D.设z2=x+yi(x,y∈R),由条件得QUOTE所以QUOTE或QUOTE所以z2=5+4i或QUOTE+QUOTEi.3.已知复数z满意|z|2-3|z|+2=0,则复数z对应点的轨迹是 ()A.一个圆 B.两个圆C.两点 D.线段【解析】选B.由|z|2-3|z|+2=0,得(|z|-1)·(|z|-2)=0,所以|z|=1或|z|=2.由复数模的几何意义知,z对应点的轨迹是两个圆.4.(2024·天津高一检测)设复数z在复平面内对应的点为QUOTE,若x,y满意x2+(y+2)2=3,则有 ()A.|z+2|=3 B.|z+2|=QUOTEC.|z+2i|=3 D.|z+2i|=QUOTE【解析】选D.因为复数z在复平面内对应的点为QUOTE,所以z=x+yi,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.又x,y满意x2+(y+2)2=3,则|z+2i|=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知复数z=x+yiQUOTE,则 ()A.z2≥0B.z的虚部是yiC.若z=1+2i,则x=1,y=2D.QUOTE=QUOTE【解析】选CD.对于A选项,取z=i,则z2=-1<0,A选项错误;对于B选项,复数z的虚部为y,B选项错误;对于C选项,若z=1+2i,则x=1,y=2,C选项正确;对于D选项,QUOTE=QUOTE,D选项正确.6.下列说法正确的是 ()A.复数z1,z2的模相等,则z1,z2是共轭复数B.z1,z2都是复数,若z1+z2是虚数,则z1不是z2的共轭复数C.复数z是实数的充要条件是z=QUOTE(QUOTE是z的共轭复数)D.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若=x+y(x,y∈R),则x+y=1【解析】选BC.选项A.模相等的复数不肯定是共轭复数,比如z1=1+i,z2=-1+i,这两个复数的模相等,但不是共轭复数,故A不正确;选项B.设z1=a+bi,z2=c+di,若z1+z2是虚数,b+d≠0,两个复数的虚部不互为相反数,所以z1不是z2的共轭复数,故B正确;选项C.设z=a+bi,QUOTE=a-bi,若z=QUOTE,则b=0,所以复数z是实数.若z是实数,则b=0,则z=QUOTE,所以C正确;选项D.由条件可知=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,若=x+y(x,y∈R),则(3,-2)=(-x+y,2x-y),所以QUOTE解得x=1,y=4,所以x+y=5,故D不正确.【补偿训练】(2024·潍坊高一检测)设z=QUOTE+QUOTEi,t∈R,i为虚数单位,则以下结论正确的是()A.z对应的点在第一象限B.z肯定不为纯虚数C.z肯定不为实数D.QUOTE对应的点在实轴的下方【解析】选CD.因为2t2+5t-3=2QUOTE-QUOTE>-QUOTE,t2+2t+2=QUOTE+1>0,所以复数z对应的点可能在第一象限,也可能在其次象限,故A错误;当QUOTE即t=-3或t=QUOTE时,z为纯虚数,故B错误;因为t2+2t+2>0恒成立,所以z肯定不为实数,故C正确;由选项A的分析知,z对应的点在实轴的上方,所以QUOTE对应的点在实轴的下方,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在复平面内,把复数3-QUOTEi对应的向量按顺时针方向旋转QUOTE,所得向量对应的复数是.

【解析】复数对应的点为(3,-QUOTE),对应的向量按顺时针方向旋转QUOTE,则对应的点为(0,-2QUOTE),所得向量对应的复数为-2QUOTEi.答案:-2QUOTEi8.若复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于其次象限,则|z|的取值范围是.

【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于其次象限,所以QUOTE解得-1<a<2.由条件得|z|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为-1<a<2,所以|z|∈QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·南京高一检测)已知m∈R,复数z=QUOTE+QUOTEi.(1)若z对应的点在第一象限,求m的取值范围;(2)若z的共轭复数QUOTE与复数