2023-2024学年辽宁省辽阳九中八年级（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年辽宁省辽阳九中八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.已知x>y，则下列不等式一定成立的是(

)A.x−5<y−5 B.−2x<−2y C.a2x>a3.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(

)A.a(x−y)=ax−ay B.2x+2x+1=x(x+2)+1

C.2x+1=x(2+1x)4.在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,2)关于原点对称的点的坐标是(

)A.(1,−2) B.(−1,2) C.(−2,1) D.(−1,−2)5.已知点P(m−3,m−1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(

)A.B.C.D.6.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中(

)A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45°

C.两个锐角都不大于45° D.两个锐角都等于45°7.若关于x的不等式组2(x−1)>2,a−x<0的解集是x>a，则a的取值范围是(

)A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥28.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.△ABC的面积为12，AB=7，DE=2，则BC的长为(

)A.7B.6

C.5D.49.在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A(−2,1)的对应点为A′(3,−1)，点B的对应点为B′(4,0)，则点B的坐标为(

)A.(1,−2) B.(−1,2) C.(3,−1) D.(−3,−1)10.已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是(

)A.B.C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.计算：20212−2021×4040+202012.若关于x的不等式(3−m)x<3−m的解集为x>1，则m的取值范围是______．13.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(4,−3)，则关于x的不等式kx+b≥−3的解集为

．14.某品牌电热水壶的进价为每个200元，以每个300元的标价出售.“五一节”期间，商店为让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的______折出售．

15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN经过△ABC一边中点时，PB的长为______．三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

分解因式或解不等式(组)：

(1)−2x3y2+28x2y−4y；

(2)(x217.(本小题8分)

如图，已知点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(4,2)、(2,4)．

(1)将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出C的对应点C1的坐标______；

(2)将△ABC绕着O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C18.(本小题8分)

如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB=DC．

(1)求证：BE=CF；

(2)如果BD//AC，∠DAF=15°，求证：AB=2DF．19.(本小题8分)

习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．

(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；

(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？20.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．

(1)求证：AD⊥BC；

(2)若∠BAC=72°，求∠B的度数．21.(本小题8分)

“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．

根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车每日所需费用为y1元，租用乙公司的车每日所需费用为y2元，分别求出y1，y(2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同；(3)根据(2)的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的租车方案更合算．22.(本小题8分)

阅读理解并解答：

我们把多项式a2+2ab+b2，a2−2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大(或最小)值问题．

(1)例如：①=(x+1)2+2，

∵(x+1)2是非负数，即(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，

则这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是−1；

②3x2−12x+5=3(x2−4x)+5=3(x2−4x+4−4)+5=3(x−2)2−12+5=3(x−2)2−7，

∵(x−2)2是非负数，即(x−2)23.(本小题8分)

如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C(不与点O重合).将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E．

【初步把握】(1)如图1，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，求证：OD+OE=3OC；

【深入研究】(2)如图2，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

【拓展延伸】(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由．

参考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.D

6.A

7.D

8.C

9.B

10.D

11.1

12.m>3

13.x≤4

14.7

15.2或3或5

16.解：(1)原式=−2y(x3y−14x2+2)；

(2)原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2−2xy)

=(x+y)2(x−y)2；

(3)2x−1<2(3x+2)−4，

2x−1<6x+4−4，

2x−6x<4−4+1，

−4x<1，

∴x>−14；

(4)由2(x+2)>x+317.(1)如图1，△A1B1C1即为所求；

∴C1(−3,4)；

(2)如图2，△A2B2C2即为所求；

∴A2(0,−1)；

(3)将线段AB绕着某个定点旋转180°后得到18.证明：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°；

在Rt△BDE和Rt△DFC中，

BD=CDDE=DF，

∴Rt△BDE≌Rt△DFC

(HL)，

∴BE=CF；

(2)∵AD平分∠BAC，∠DAF=15°，

∴∠BAC=30°，∠BAD=∠DAF，

∵BD//AC，

∴∠DBE=∠BAC=30°，∠DAF=∠BDA，

∴∠BAD=∠BDA，

∴AB=BD，

在Rt△BDE中，∠DBE=30°，

∴BD=2DE，

∴AB=2DE，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∴AB=2DF．19.解：(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，

根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，

解得：x=35y=30．

答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；

(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，

根据题意得：35m+30(100−m)≤3200，

解得：m≤40，

∴m的最大值为40．

答：该校最多可以购买甲种书4020.(1)证明：如图所示，连接AE，

∵EF垂直平分AB，

∴AE=BE，

又∵BE=AC，

∴AE=AC，∵D是EC的中点，∴AD⊥BC；

(2)解：设∠B=x°，

∵AE=BE，

∴∠BAE=∠B=x°，

∴由三角形的外角的性质，∠AEC=2x°，

∵AE=AC，

∴∠C=∠AEC=2x°，

在△ABC中，3x+72=180，

解得x=36，

∴∠B=36°．

21.解：(1)设y1=k1x+80，

把点(1,95)代入，可得：95=k1+80，

解得k1=15，

∴y1=15x+80(x≥0)；

设y2=k2x，

把(1,30)代入，可得

30=k2，即k2=30，

∴y2=30x(x≥0)；

(2)当y1=y2时，15x+80=30x，

解得x=163；

答：当租车时间为163小时时，两种方案所需费用相同；

(3)由(2)知：当y122.(1)−7，2；

(2)3，3；

(3)1；大；−2

(4)∵−x2+3x+y+5=0，

∴y=x2−3x−5，

∴x+y=x2−2x−5=(x−1)2−6，

∵(x−123.解：(1)∵OM是∠AOB的角平分线，

∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=30°，

∵CD⊥OA，

∴∠ODC=90°，

∴∠OCD=60°，

∴∠OCE=∠DCE−∠OCD=60°，

在Rt△OCD中，设OD=x，则OC=2x，

由勾股定理得

OD=3x，

∴OD=32OC，

同理：OE=32OC，

∴OD+OE=3OC；

(2)(1)中结论仍然成立，理由：

如图2，过点

C作CF⊥OA于

F，CG⊥OB于

G，

∴∠OFC=∠OGC=90°，

∵∠AOB=60°，

∴∠FCG=120°，

同(1)的方法得，OF=32OC,OG=32OC，

∴OF+OG=3OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点

C是∠AOB的平分线OM上一点，

∴CF=CG，

∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，

∴∠DCF=∠