数学本章测评：第三章统计案例2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章检测一、选择题（每小题5分，共60分）1。如果ξ是一个离散型随机变量,那么下列命题中不正确的是（）A.ξ取每一个可能值的概率都是非负实数B。ξ取所有可能值的概率之和为1C.ξ取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D。ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和解析：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.答案：D2。设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数,则P（ξ=0）等于(）A.0B。12C解析：2P(ξ=0）=P（ξ=1)又P（ξ=0）+P(ξ=1)=1∴P（ξ=0)=。答案：C3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020。040.060.090.280。290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A.0。28B.0.88C.0.79答案：C4.设随机变量ξ分布列为p（ξ=i）=a(）i,i=1,2,3则a的值为（)A.1B。C.D。解析：p（ξ=1)=a·，p(ξ=2）=a·()2p(ξ=3）=a·(）3由p(ξ=1)+p(ξ=2)+p(ξ=3)=1知a（）+a()2+a（)3=1，∴a=.答案：D5。下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（）A。ξ-101P0.30。40.4B。ξ123P0.40.7-0。1C。ξ—101P0.30。40.3D。ξ123P0。30.40.4解析：A、D不满足分布列的基本性质②，B不满足分布列的基本性质①.答案:C6。一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P（ξ=12）等于（)A.（）10·()2B。（)9（)2·C。(）9·（）2D.()9·（）2解析：P（ξ=12）表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P（ξ=12)=()9()2×。答案:B7.标准正态总体f(x）=,x∈R的最大值为()A.B.C。D。答案：B8.一批数量较大的商品的次品率为3％，从中任意地连续取出30件,则其中次品数ξ的方差Dξ为（)A.0。673B.0。783C。0.873答案：C9.下表是甲，乙两个学生的期末考试成绩表，则两人的偏科程度为（)科目语文数学外语物理化学甲8198789294乙8088759093A.甲比乙大B.乙比甲大C.甲，乙相同D。没法比较答案:A10.若ξ—B（n，p),且Eξ=6,Dξ=3，则P(ξ=1)的值为（）A.3×2—2B.2—4C。3×2-10答案：C11.甲、乙两名射手在同一条件下进行射击,击中环数的分布列分别如下:环数ξ178910P0.10。20.50.2甲环数ξ278910P0.20.30.3乙用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平（)更好A.甲B。乙C。一样D。无法确定解析：Eξ1=7×0.1+8×0。2+9×0。5+10×0.2=8。8,Dξ1=(7—8。8）2×0。1+(8—8.8)2×0.2+(9—8.8）2×0.5+(10-8.8）2×0。2=0。76；Eξ2=7×0。2+8×0。3+9×0。3+10×0。2=8.5，Dξ2=（7—8.5）2×0。2+(8—8.5）2×0。3+(9—8。5)2×0。3+(10-8.5）2×0.2=1。05。由此可知Eξ1≈Eξ2，但Dξ1＜Dξ2.所以在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均接近9环.但射手甲所得环数比较集中,而射手乙所得环数比较分散.由此可见还是甲射手射击水平比较好.答案：A12.在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是(）A.B。C。D。解析：5条直径。P=。答案：C二、填空题(每小题4分，共16分）13.某地举行一次民歌大奖赛时，六个省各有一对歌手参加决赛,现要选出4名优胜者，则选出的4名选手中有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为_______________。答案：14。一个正方体，它的表面涂满了红色,在它的相邻三个面上各切两刀,可得27个小立方块,从中任取2个,其中恰有1个一面涂有红色，另一个两面涂有红色的概率为___________.解析：一面红6个，二面红12个，三面红8个，无红1个,P（A)=。答案：15.随机变量ξ的概率分布规律为P（ξ=n)=(n=1,2，3，4），其中a是常数，则P（＜ξ＜）的值为_____________________.解析：P(ξ=1)+P（ξ=2）+P(ξ=3）+P(ξ=4）=1a=。∴P（ξ=1）+P（ξ=2)=.答案：16.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，则巧合数的数学期望为___________________。解析：设ξ为巧合数，则P(ξ=0）=,P(ξ=1）=,P（ξ=2）=，P（ξ=3）=0，P(ξ=4）=,所以Eξ=0×+1×+2×+3×0+4×=1。所以巧合数的期望为1。答案：1三、解答题(共74分）17.（12分)人寿保险中(某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元,被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元。经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2,则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利？解析:设ξ为盈利数，其概率分布为ξaa-30000a-10000P1—p1-p2p1p2且Eξ=a（1—p1-p2）+(a—30000）p1+（a—10000）p2=a—30000p1—10000p2.要盈利,至少需使ξ的数学期望大于零，故a＞30000p1+10000p2.18.(12分）从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同.在下列二种情况下，分别求出取到合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列.(1)每次取出的产品都不放回该批产品中；(2)每次取出的产品都立即放回该批产品中,然后再取另一件产品。解析：（1）P（ξ=1)=P（ξ=2）=·=P（ξ=3）=··P(ξ=4）=···=.故ξ的分布列为ξ1234P（2）ξ=1，即第1次就取到合格品故P（ξ=1）=ξ=2,即第2次取到合格品故P（ξ=2)=·。…ξ=n，即第n次取到合格品,则前n—1次均为次品，故P（ξ=n)=()n-1·。…分布列为：ξ123…N…P……19.（12分）我省某校要进行一次月考，一般考生必须考5门学科，其中语、数、英、综合这四科是必考科目，另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语Ⅱ中选择.为节省时间，决定每天上午考两门，下午考一门学科,三天半考完.（1）若语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试，则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法；（2）如果各科考试顺序不受限制，求数学、化学在同一天考的概率是多少？解析：(1）语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试共有：种排法,其它七科共有种排法，由×=120960，得“考试日程安排表"有120960种不同的安排方法.（2）数学、化学安排第四天上午考共有：×种方法，安排前三天同一天考共有：××种方法∴所求的概率P==.20.某乡农民年均收入服从μ=5000元,σ=200元的正态分布。(12分)(1)写出此乡农民年均收入的概率密度曲度函数式；（2）求此乡农民年均收入在5000元—5200元间的人数的百分比；（3）如果要使此乡农民的年均收入在(μ—a,μ+a）内的概率不小于0.95，则a至少为多大？解析：设X表示此乡农民的年均收入，由已知X—N(5000，2002)。（1)f（x)=,X∈(-∞，+∞），（2)P（5000＜X＜5200)=Φ(）—Φ(）=Φ(1）—Φ（0）=0.3413。这说明此乡农民平均收入在5000元-5200元间的人数约为34％。（3)令P(μ—a＜X＜μ+a)=Φ（)—Φ（—)≥0。95,则有Φ(）—≥0。95，∴Φ（)≥0。975。∵Φ（x)是增函数，故查表得（)≥1.96，a≥392。所以，要使此乡农民的年均收入在（μ-a,μ+a)内的概率不小于0.95，则a不能小于392.21。（12分）一项“过关游戏"规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2就算过关。问：(1)某人在这项游戏中最多能过几关？（2)他连过前3关的概率是多少?解析：∵（1）点数最大为6，抛掷n次点数之和的最大值为6n，且6×4＞42，6×5＞52,6×6=62,6×7＜72，…，∴当n≥6时,点数之和不可能大于n2，即过关的概率为0。∴最多连过5关。(2）设第n次过关为事件An，则基本事件总数为6n.第一关：由12=1，故只要点数不小于2即过关，∴P(A1）=.第二关：由22=4，表示不能过2关.依次取a=2，3,4,解不定方程x+y=a，共有整数解：++=6(组）。∴P（A2）=1-P()=1—=;第三关：32=9，表示不能过3关。依次取a=3，4，…,9,解不定方程x+y+z=a，共有整数解：++…++（-3）=-3=81.(注:3表示x，y，z分别取7、1、1;1、7、1；1、1、7这种情形，不可能，应去掉).∴P（A3)=1-P(）=1—∴连过3关的概率P=.22.（14分）（2005辽宁高考，20）某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.(Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表1所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；表1(Ⅱ)已知一件产品的利润如表2所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润,在（Ⅰ)的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη;表2(Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表3所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元。设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量,在（Ⅱ)的条件下，x、y为何值时,z=xEξ+yEη最大?最大值是多少?（解答时须给出图示）表3解析：(Ⅰ)P甲=0。8×0.85=0。68，P乙=0。75×0.