对钩函数详解性质图像对比并举例说明I1

主要内容：本文通过对比分析，解析函数y=ax+eq\f(b,cx)当a，b，c的系数符号不同时，并举例以四个函数y₁=46x+eq\f(112,171x),y₂=46x-eq\f(112,171x),y₃=-46x+eq\f(112,171x),y4=-46x-eq\f(112,171x),说明系数符号变化与函数性质的关系，简要画出函数在同一个坐标系下的图像。☆.函数的定义域分析根据y₁=46x+eq\f(112,171x),y₂=46x-eq\f(112,171x),y₃=-46x+eq\f(112,171x),y4=-46x-eq\f(112,171x)函数特征，可知均含有分式，故要求分母不为0，所以4个函数的定义域相同，定义域均为：(-∞,0)∪(0,+∞)。☆.函数的单调性分析由于4个函数均是由一个正比例函数和一个反比例函数的和差函数，可以根据两个函数的单调性综合分析和差函数的单调性。1.对于函数y₂=46x-eq\f(112,171x),是由正比例增函数和反比例减函数的差，所以相当于两个增函数的和，故函数y2整体为增函数。2.对于函数y₃=-46x+eq\f(112,171x)，是由正比例减函数和反比例减函数的和，所以相当于两个减函数的和，故函数y3整体为减函数。3.对于函数y₁=46x+eq\f(112,171x)，y4=-46x-eq\f(112,171x)前后两个函数的单调性不一致，不能简单通过上述方法解析，但可以使用导数来分析单调性。☆.导数分析函数的单调性步骤1.函数y₁=46x+eq\f(112,171x),求函数的一阶导数，有：eq\f(dy,dx)=46-eq\f(112,171x²)=eq\f(46*171x²-112,171x²),令eq\f(dy,dx)=0，即：46*171x²-112=0,所以x=±eq\f(2,1311)eq\r(6118)≈±0.12,结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(2,1311)eq\r(6118))∪(eq\f(2,1311)eq\r(6118)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＞0，函数为增函数；(2)当x∈[-eq\f(2,1311)eq\r(6118),0)∪(0,eq\f(2,1311)eq\r(6118)]时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数。2.函数y4=-46x-eq\f(112,171x),是y1的相反函数，故单调性与之相反。同理，结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(2,1311)eq\r(6118))∪(eq\f(2,1311)eq\r(6118)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数；(2)当x∈[-eq\f(2,1311)eq\r(6118),0)∪(0,eq\f(2,1311)eq\r(6118)]时，eq\f(dy,dx)＞0，为增函数。☆.函数的凸凹性1.函数y₁=46x+eq\f(112,171x)有：eq\f(dy,dx)=46-eq\f(112,171x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*112,171x³)=eq\f(2*112,171x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。2.函数y₂=46x-eq\f(112,171x)有：eq\f(dy,dx)=46+eq\f(112,171x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*112,171x³)=-eq\f(2*112,171x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。3.y₃=-46x+eq\f(112,171x)有：eq\f(dy,dx)=-46-eq\f(112,171x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*112,171x³)=eq\f(2*112,171x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。4.y4=-46x-eq\f(112,171x)有：eq\f(dy,dx)=-46+eq\f(112,171x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*112,171x³)=-eq\f(2*112,171x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。☆.函数的极限eq\s(lim,x→-∞)46x+eq\f(112,171x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)46x+eq\f(112,171x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)46x+eq\f(112,171x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)46x+eq\f(112,171x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)46x-eq\f(112,171x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)46x-eq\f(112,171x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)46x-eq\f(112,171x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)46x-eq\f(112,171x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-46x+eq\f(112,171x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-46x+eq\f(112,171x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-46x+eq\f(112,171x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-46x+eq\f(112,171x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-46x-eq\f(112,171x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-46x-eq\f(112,171x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-46x-eq\f(112,171x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-46x-eq\f(112,171x)=+∞☆.函数的奇偶性按照奇偶性判断方法，可知四个函数y₁=46x+eq\f(112,171x),y₂=46x-eq\f(112,171x),y₃=-46x+eq\f(112,171x),y4=-46x-eq\f(112,171x),均为奇函数。所以，图像关于原点对称,本处以y₃介绍奇偶性判断步骤。∵f(x)=-46x+eq\f(112,171x)∴f(-x)=-46*(-x)+eq\f(112,171*(-x))=46x-eq\f(112,171x)=-[-46x+eq\f(112,171x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函数为奇函数，关于原点对称。☆.函数的五点图x(＜0)-0.18-0.15-0.12-0.09-0.0546x+eq\f(112,171x)-11.92-11.27-10.98-11.42-15.4046x-eq\f(112,171x)-4.64-2.53-0.063.1410.80-46x+eq\f(112,171x)4.642.530.06-3.14-10.80-46x-eq\f(112,171x)11.9211.2710.9811.4215.40x(＞0)0.050.090.120.150.1846x+eq\f(112,171x)15.4011.4210.9811.2711.9246x-eq\f(112,171x)-10.80-3.140.062.534.64-46x+eq\f(112,171x)10.803.14-0.06-2.53-4.64-46x-eq\f(112,171x)-15.40-11.42-10.98-11.27-11.92☆.函数的图像示意图四个函数y₁=46x+eq\f(112,171x),y₂=46x-eq\f(112,171x),y₃=-46x+eq\f(112,171x),y4=-46x-eq\f(112,171x)在同一个坐标系下示意图如下所示。其中：红色曲线表示y₁=46x+eq\f(112,171x)图像；绿色曲线表示y₂=46x-eq\f(112,171x)图像；紫色曲线表示y₃=-46x+eq\f(112,171x)图像；黑色曲线表示y4=-46x-eq\f(112,171x)图像。y4=-46x-eq\f(112,171x)y₁=46x+eq\f(112,171x)y₃=-46x+eq\f(112,171x)y₂=46x-eq\f(112,171x)y₃=-46x+eq\f(112,171x) xy₁=46x+eq\f(112,171x)y4=-46x-eq\f(112,171x)☆.主要特性归纳1.函数相反性：函数y₁=46x+eq\f(112,171x)和函数y4=-46x-eq\f(112,171x)在同一个x处的y值互为相反数；函数y₂=46x-eq\f(112,171x)和函数y₃=-46x+eq\f(112,171x)也在同一个x处的y值互为相反数。2.经过的象限：函数y₁=46x+eq\f(112,171x)经过第一和第三象限，函数y4=-46x-eq\f(112,171x)则经过第二、第三象限；函数y₂=46x-eq\f(112,171x)和函数y₃=-46x+eq\f(112,171x)四个象限均经过。3.曲线的交点：函数y₁=46x+eq\f(112,171x)和函数y4=-46x-eq\f(112,171x)分别同另外3条曲线均没有交点;曲线方程y₂=46x-eq\f(112,171x)和函数y₃=-46x+eq\f(112,171x)有公共交点，且有两个交点，交点在x轴上，并互为相反数。4.坐标轴交点：函数y₁=46x+eq\f(112