专题10 极值点偏移问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计 (人教B版2019)

专题10极值点偏移问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计(人教B版2019)课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计意图本章节旨在帮助学生深入理解并掌握极值点偏移问题的解题方法，结合高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）的教学内容，通过讲解与实际例题分析，使学生能够熟练运用相关知识点解决实际问题。在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，为后续学习打下坚实基础。二、核心素养目标分析本节课核心素养目标在于培养学生逻辑思维与数学建模能力，通过极值点偏移问题的探究，发展学生的数学抽象和数学推理素养。在教学过程中，强调问题解决的实际应用，提升学生的数学应用意识，同时注重数学交流，培养学生清晰表达数学思想和解决问题的能力。三、教学难点与重点1.教学重点

本节课的教学重点是理解和应用极值点偏移的概念及其解决方法。具体包括：

-极值点偏移的定义和性质，例如：当函数的导数在极值点两侧符号发生变化时，极值点会发生偏移。

-利用导数和函数图像分析极值点偏移的具体情况。例如，通过分析函数f(x)=x^3-3x在x=0附近的导数符号变化，来确定极值点的偏移方向。

2.教学难点

本节课的教学难点在于学生对极值点偏移条件的理解和应用，以及如何灵活运用相关知识点解决具体问题。具体包括：

-确定极值点偏移的条件：学生可能难以理解何时极值点会发生偏移，以及如何通过导数判断极值点的偏移。例如，对于函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，学生需要通过求导和分析导数的符号变化来确定极值点是否偏移，以及偏移的方向。

-应用中值定理和单调性定理来解决问题：学生可能不熟悉如何将中值定理和单调性定理应用于极值点偏移问题中。例如，在解决函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,3]上的极值点偏移问题时，学生需要运用中值定理来确定函数在区间内的单调性，从而推断极值点的位置和偏移情况。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生配备《高中数学选择性必修第三册》人教B版教材。

2.辅助材料：准备极值点偏移问题相关的PPT演示文稿，包含关键概念解释和例题演示。

3.实验器材：无需特殊实验器材。

4.教室布置：安排多媒体设备用于展示PPT，设置黑板用于板书和解答学生问题。五、教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对极值点偏移问题的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

-开场提问：“你们在生活中是否遇到过寻找最大值或最小值的问题？这些问题与数学中的极值点有什么关系？”

-展示一些生活中的极值点问题实例，如最短路径、最大利润等，让学生初步感受极值点问题的实际应用。

-简短介绍极值点的概念及其在数学分析中的重要性，为接下来的学习打下基础。

2.极值点基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解极值点的基本概念、判定方法和应用。

过程：

-讲解极值点的定义，包括极大值点和极小值点。

-详细介绍极值点的判定方法，如导数为零的点是极值点的必要条件。

-通过具体的函数图像示例，让学生直观理解极值点的位置和性质。

3.极值点偏移案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解极值点偏移的特性和解决方法。

过程：

-选择几个典型的极值点偏移案例进行分析，如多项式函数、指数函数等。

-详细介绍每个案例的背景、极值点偏移的条件和解决方法。

-引导学生思考这些案例在解决实际数学问题中的应用，如何利用导数和函数性质分析极值点偏移。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

-将学生分成若干小组，每组选择一个极值点偏移问题进行深入讨论。

-小组内讨论该问题的解决策略，如何利用导数和函数性质判断极值点偏移。

-每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对极值点偏移问题的认识和理解。

过程：

-各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的解决策略和具体步骤。

-其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

-教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调极值点偏移问题的重要性和意义。

过程：

-简要回顾本节课的学习内容，包括极值点的概念、判定方法、极值点偏移的案例分析等。

-强调极值点偏移问题在数学分析和实际问题解决中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用。

-布置课后作业：让学生选择一个极值点偏移问题，运用所学知识写出解题过程，并分析其应用场景。六、教学资源拓展1.拓展资源

-极值点偏移问题在物理学中的应用：介绍极值点偏移在物理学中的实际应用，如力学中的平衡问题、光学中的最小路程问题等。

-数学竞赛中的极值点偏移题目：提供一些数学竞赛中涉及极值点偏移的题目，帮助学生提高解题能力。

-极值点偏移问题的历史背景：介绍极值点偏移问题的发展历史，以及它在数学分析中的地位和作用。

-数学软件应用：介绍如何使用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）来分析极值点偏移问题，包括图形绘制和数值计算。

2.拓展建议

-阅读拓展：建议学生阅读《高等数学》中关于极值点分析的相关章节，以加深对极值点偏移理论的理解。

-实践拓展：鼓励学生尝试解决一些实际问题，如优化问题、物理学中的平衡问题，将理论应用于实践。

-研究拓展：指导学生进行极值点偏移问题的研究性学习，选择一个特定的函数类型，探讨其极值点偏移的特点和规律。

-交流拓展：鼓励学生参加数学论坛或小组讨论，与同学交流极值点偏移问题的不同解法和思路。

-软件应用拓展：指导学生使用数学软件进行极值点偏移问题的图形分析和数值计算，提高解决复杂问题的能力。

-数学竞赛拓展：推荐学生参加数学竞赛，通过解决竞赛中的极值点偏移题目来挑战自己的极限，提高解题技巧。七、课后作业1.设函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f(x)的极值点，并分析极值点是否发生偏移。

答案：求导得f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1和x=3。计算二阶导数f''(x)=6x-12，得f''(1)=-6<0，f''(3)=6>0。因此，f(x)在x=1处有极大值，f(x)在x=3处有极小值。极值点没有发生偏移。

2.设函数g(x)=x^2-4x+3，在区间[0,3]上求g(x)的最大值和最小值，并讨论极值点是否偏移。

答案：求导得g'(x)=2x-4，令g'(x)=0，解得x=2。计算二阶导数g''(x)=2>0，因此g(x)在x=2处有极小值。在区间[0,3]上，g(0)=3，g(2)=-1，g(3)=0。最大值为g(0)=3，最小值为g(2)=-1。极值点没有偏移。

3.考虑函数h(x)=e^x-x，求h(x)的极值点，并判断极值点是否偏移。

答案：求导得h'(x)=e^x-1，令h'(x)=0，解得x=0。计算二阶导数h''(x)=e^x>0，因此h(x)在x=0处有极小值。极值点没有偏移。

4.设函数p(x)=sin(x)-x，求p(x)的极值点，并分析极值点的偏移情况。

答案：求导得p'(x)=cos(x)-1，令p'(x)=0，解得x=0和x=2π。计算二阶导数p''(x)=-sin(x)，因此p''(0)=0，p''(2π)=0。在x=0和x=2π处，p(x)的极值点不明确，需要进一步分析。通过观察p(x)的图像或计算更多的导数值，可以确定极值点的偏移情况。

5.设函数q(x)=ln(x)-x+1，求q(x)的极值点，并讨论极值点的偏移。

答案：求导得q'(x)=1/x-1，令q'(x)=0，解得x=1。计算二阶导数q''(x)=-1/x^2<0，因此q(x)在x=1处有极大值。极值点没有偏移。八、课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了极值点偏移问题，这是数学分析中的一个重要内容。我们首先回顾了极值点的定义和判定方法，然后探讨了极值点偏移的概念及其在函数中的应用。通过具体的案例分析和例题演示，我们了解了如何利用导数和函数性质来判断和解决极值点偏移问题。课堂讨论和小组活动也帮助我们更好地理解了极值点偏移的实际意义和解决策略。

当堂检测：

为了巩固本节课的学习内容，下面进行当堂检测。请同学们独立完成以下题目，检测自己对极值点偏移问题的理解和掌握程度。

1.设函数f(x)=x^4-4x^3+3x^2+2x+1，求f(x)的极值点，并判断极值点是否有偏移。

答案：求导得f'(x)=4x^3-12x^2+6x+2，令f'(x)=0，解得x=1/2。计算二阶导数f''(x)=12x^2-24x+6，f''(1/2)=3>0。因此，f(x)在x=1/2处有极小值，极值点没有偏移。

2.考虑函数g(x)=x^3-3x^2+4，在区间[-1,2]上求g(x)的最大值和最小值，并讨论极值点偏移情况。

答案：求导得g'(x)=3x^2-6x，令g'(x)=0，解得x=0和x=2。计算二阶导数g''(x)=6x-6，g''(0)=-6<0，g''(2)=6>0。因此，g(x)在x=0处有极大值，在x=2处有极小值。极值点没有偏移。

3.设函数h(x)=2x^3-9x^2+12x+1，求h(x)的极值点，并分析极值点偏移。

答案：求导得h'(x)=6x^2-18x+12，令h'(x)=0，解得x=1和x=2。计算二阶导数h''(x)=12x-18，h''(1)=-6<0，h''(2)=6>0。因此，h(x)在x=1处有极大值，在x=2处有极小值。极值点没有偏移。

4.考虑函数p(x)=x^2e^x-2x，求p(x)的极值点，并讨论极值点的偏移。

答案：求导得p'(x)=2xe^x+x^2e^x-2，令p'(x)=0，解得x=0和x=ln(2)。计算二阶导数p''(x)=2e^x+2xe^x+x^2e^x，p''(0)=2>0，p''(ln(2))=4ln(2)+2>0。因此，p(x)在x=0和x=ln(2)处都有极小值，极值点没有偏移。

5.设函数q(x)=x^5-5x^4+5x^3-x^2+1，求q(x)的极值点