2021年全国新高考数学Ⅱ卷试题特点分析

第第页2021年全国新高考数学Ⅱ卷试题特点分析2020年全国高考Ⅱ卷数学加强了创新力度，命题思路不同寻常，让部分学生不太适应新的题型的分析与解答.在这样的背景下，2021年全国新高考Ⅱ卷数学风格可谓平凡中蕴含恰到好处的创新，层次分明，起点低，落点高，试题区分度好.加强了核心素养的多维考查，对核心素养的复合式考查和分级考查体现明显，情景展现具有多样性，创新地加强思维深广度的考查.对中学教师的教、学生的学具有很好的指导性和可操作性，是新高考数学命题具有指导性的一套试题.很好地体现了新高考的“新”，但创新度又把控适当，做到了“创新”而不“滥新”，体现在试卷中的“一小一大”题，即第12题的二进制与新信息创新题，结合等比数列考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养；第21题以生物繁殖为背景的概率统计与不等式及开放性问题的结合，考查离散型随机变量的分布列性质及期望，因式分解、韦达定理整体代换或导数、实根分布与不等式证明，旨在落实数学建模、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养的考查.今年Ⅱ卷数学的最大创新点在于不断加强了思维深广度的考查，考查学生的思维过程、思维深度和思维广度，大力丰富了开放性试题的考查形式，体现在试卷中的“一小两大”题，即第14题、第21题和第22题等.1.对数学学科核心素养进行复合式考查由最新的课程标准我们知道，数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析.这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体.2021年新高考数学Ⅱ卷（以下简称“Ⅱ卷”）中的题目，充分体现了对六个数学学科核心素养的考查.例如，第6题如下.某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（）（A）越小，该物理量一次测量结果落在内的概率越大（B）该物理量一次测量结果大于的概率为（C）该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等（D）该物理量一次测量结果落在内的概率与落在内的概率相等此题不仅要考查学生对数学符号“”的抽象理解，还要明晰该数学对象表达的数据的意义，通过题目中所给出的数据，进行数据分析，经过正确的逻辑推理，达到对正态分布这一数学模型现实意义的解读，尽管难度不大，但却涉及数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算和数据分析等五个方面的素养进行复合式考查.该题正确选项为D选项.又如第10题，原题如下.如图，下列各正方体中，为下底面的中点，为顶点，为所在棱的中点，则满足的有（）（A）（B）（C）（D）此题参考答案为BC选项.可以很明显的看出来，该题需要考生具备一定的直观想象的能力，明确图中点线面的空间位置关系，并通过立体几何的公理体系进行正确的演绎推理，如果学生对于正方体这个“模型”相对熟悉，作出正确的推理就更加迅速.第18题如下.在△中，内角的对边分别为，且.（Ⅰ）若，求△的面积；（Ⅱ）是否存在正整数，使得△为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.很多时候我们觉得数学建模只是应用题，但是在数学建模这个核心素养里，除了要能够进行数学抽象，抽象出问题后，还需要用数学方法来解决这个模型中的问题.解三角形问题虽然已经完成从现实问题中提取模型的过程，但是在模型中要如何分析边角关系，选择何种工具进行推理，这也属于平时数学建模这一核心素养培养的必备教学过程.同时，也考查了学生的逻辑推理能力，同时对数学对象的运算考查也相当充分，先用哪些数据，后用哪些数据，也要求学生具有较高的数据处理能力.这样的例子在“Ⅱ卷”里不胜枚举.可以清楚的看到，“Ⅱ卷”中的试题考查单一数学学科核心素养的题目极少，而用一种复合的多维方式来考查数学学科核心素养的培养，是这套试卷最显著的特点之一，无论是较易题，还是中档题或较难的题目，都体现了这一特点要求.2.对数学学科核心素养进行分级考查课标中明确指出数学学业质量水平是六个数学学科核心素养水平的综合表现.数学学科核心素养的水平划分为三个水平，每一个核心素养都有水平一、水平二、水平三共三个水平的明确界定，三个水平就是学业水平、高考水平、高校自主招生水平.新高考试卷其实不仅仅考查学生是否达到水平二，也会同时兼顾水平一的考查.例如，第12题如下.设正整数，其中，，记，则（）（A）（B）（C）（D）第17题如下.记是公差不为0的等差数列的前项和，若.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求成立的的最小值.对于数学抽象核心素养，水平一要求能够在熟悉的情境中抽象出数学问题.第17题就是在我们熟悉的特殊数列――等差数列的情景中抽象出数学问题的；水平2要求能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题.第12题就是二进制的计数模型问题，而二进制我们并不熟悉，题中采用了的特定线性表达式来呈现，这需要学生具备相当水平的抽象能力才能准确的理解到的意义.逻辑推理核心素养，水平一要求能够在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法，发现数量的性质、数量关系；水平二要求能够在关联的情境中，发现并提出数学问题，用数学语言予以表达.第17题属于难度较低的题目，虽然是在等差数列这一熟悉的情境中，但在第（Ⅱ）中仍然设置了数列与不等式求解的关联情景，以及对最值的理解.“举反例”属于水平二，在12题B选项进行判断正误时，就可以通过正向演绎推理从举例（水平一）找到反例（水平二）.数学建模核心素养，水平一中要求了解数学模型中的参数的实际含义；水平二理解模型中参数的意义.对待参数，“了解”和“理解”能力要求显然是不同的.第12题若没有理解到表达的是前的系数（仅0或1）之和，就无法进行正确的推理，连A选项是否正确都无法进行推理论证.数学运算核心素养，水平一要求能够了解运算法则及其适用范围，正确进行运算；能够在熟悉的数学情境中，根据问题的特征建立合适的运算思路，解决问题；水平二要求能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题，能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题，能够理解运算是一种演绎推理；能够在综合利用运算方法解决问题的过程中，体会程序化思想的意义和作用.可以充分感受到第12题完全体现了水平二的各种要求.例如，对D选项的验证，若是对为正整数，的求和理解不深，又不能进行关联性理解，肯定也是无法进行正确判断的.通过这两道题，可以感受到即使是同一个知识板块的内容，试题可以设计成熟悉的数学情景，也可以设计成新的数学情景，能够对学生在某一素养达到不同水平的程度进行评价.不同的题有大致的侧重水平，同一个题目中也会同时体现不同的水平考查.3.试题情景展现具有多样性体现数学学科核心素养的四个方面之一为情境与问题.情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境.“Ⅱ卷”中的题目陈述的情景当然都在这三种类型之中，但是有的题目，却同时拥有了这三种情景，而且对数学情境的考查也是多维度、灵活多变的.例如，第4题取材于我国航天事业的重要成果――北斗三号全球卫星导航系统，从我们生活中“导航”这件普通的现实情景开始，又给出了关联科学情景地球静止同步轨道卫星的相关数据，提出了研究卫星信号覆盖地球表面面积的问题，给出了相应的数学情境，很好地让学生体验了学习数学就可以解释我们生活中和科学中的具体问题，激发学生的学习兴趣，增强学生作为中国人的自豪感.又如第21题，结合我们现实生活中由于疫情带来对生物学科更多关注的现实情境，给出了微生物繁殖的科学情景，在第（2）问里，还设置了一个关于零点的数学问题，从多维度考查因式分解、韦达定理整体代换或导数、实根分布与不等式证明等数学情境，通过题目告诉学生，可以收集哪些数据，就可以运用所学去研究微生物存活与消亡的“大问题”，这也会激发学生对于世界的探索兴趣，增强学习数学的成就感，坚持“五育并举”，落实立德树人的根本任务.第4题如下.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度约为（轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道所在平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为，该卫星信号覆盖的地球表面的面积（单位：），则占地球表面积的百分比约为（）（A）（B）（C）（D）剖析：根据题目所给的情景，通过直观想象，从立体图形中，抓住计算对象所在平面，可以得到如右图所示的轴截面，点为卫星所在位置，地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值，即为当与圆相切时的值（其中为切点），，由球的表面积公式可知所求百分比约为，故答案选C.第21题如下.假设开始时有一个微生物个体（称为第0代），该个体繁殖的若干个个体，形成第1代，第1代的每个个体繁殖的若干个个体，形成第2代，…….假设每个个体繁殖的个体数相互独立且分布列相同，记第1代微生物的个体总数为，的分布列为.（1）若，求；（2）以表示这种微生物最终消亡的概率，已知是关于的方程的最小正实根，求证：当时，；当时，；（3）说明（2）的结论的意义.剖析：（1）.（2）法一：，设，则，.当时，由二次函数性质可知，对,在单调递减，则在仅有一个零点1，即.当时，,注意到在上单调递增，则，使得当，，单调递减；当，，单调递增，故而在时，为最小值，且，又，故而在上有唯一零点，即.法二：由题意知，，，令，的对称轴为，注意到，.当时，，的正实根，原方程的最小正实根；当时，，的正实根，原方程的最小正实根.法三：由题意知，，，所以，，当时，，，所以与一个小于等于1，一个大于等于1，不妨设，所以，又，此时；当时，，同理可得，不妨设，所以，所以，又，此时，即.（3）当个体平均繁殖的后代数不超过1时，这种微生物将最终消亡；当个体平均繁殖的后代数大于1时，这种微生物长期存在的概率大于0.4.创新性着重加强思维深广度的考查课程标准中提到重视学生数学学科核心素养的达成，在设计学习评价工具时，要关注知识技能的范围和难度，要有利于考查学生的思维过程、思维深度和思维广度（例如，设计好的开放题是行之有效的方法)，要关注六个数学学科核心素养的分布和水平；应聚焦数学的核心概念和通性通法，聚焦它们所承载的数学学科核心素养.如第14题、第21题第（3）问、第22题第（2）问都是设计得比较好的开放题，有利于考查学生的思维过程、思维深度和思维广度，同时关注数学抽象、数学建模、数学推理、数学运算等几个数学学科核心素养的分布和水平一、二的考查；即便是压轴的第22题也是聚焦数学的通性通法，如含参讨论、不等式证明、零点存在定理及特值构造法或洛必达法则等，聚焦它们所承载的数学学科核心素养，从这些试题结构特征和它们的解答过程中也可窥见一斑.第14题如下.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：．①；②当时，；③是奇函数.第22题如下.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点.①；②.第22题参考解答如下.（1）定义域为，.1）当即时，，，∴的增区间为，减区间为.2）当即时，令，∴或，①当时，即，也即时，当时，；当时，；当时，.∴的增区间为，减区间为；②当时，即时，在上恒成立，∴的增区间为，无减区间；③当时，即，也即时，当时，；当时，；当时，.∴的增区间为，减区间为.（2）若选①：，由（1）问知的增区间为，减区间为，，又，所以，(*).∵，∴，∴，∴(*)，∴，∴当时，.法一（特值构造＋零点存在定理）：取，∴，由于，由零点存在定理，唯一的，使，∴在上存在唯一一个零点，即证.法二（洛必达法则）：，时，，故唯一的，使，∴在上存在唯一一个零点，即证.若选②：，由（1）问知增区间为，减区间为，，又∵，∴，∴(**).∵，∴，∴(**)，∴，∴当时，.法一（特值构造＋零点存在定理）：取，∵，∴，，而，∴，∴.由零点存在定理，唯一的，使，∴在上存在唯一一个零点，即证