考点15等腰三角形

考点15等腰三角形等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一，也是重要几何模型的“发源地”，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点。等腰三角形的性质和判定角平分线的性质定理与判定定理线段垂直平分线的性质定理与判定定理考向一：等腰三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定定义有两边长相等的三角形是等腰三角形，相等的两边长叫做腰，第三边叫做底性质轴对称性：一般等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴等边对等角三线合一（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合）。判定①定义法；②等角对等边等边三角形的性质和判定定义三边长都相等的三角形是等边三角形性质轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴等边三角形三个角都相等，分别都等于60°三线合一（等边三角形三边上均存在三线合一）。判定定义法有两个角相等的等腰三角形是等边三角形有两个角等于60°的三角形是等边三角形特别注意：当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形。等边三角形面积的求解方法：1．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，9cm．而3+3＜9，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是6cm，6cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的大小是（）A．25° B．20° C．25°或65° D．20°或70°【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，故选：D．3．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A．12 B．8 C．15 D．13【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，然后求出△BEC周长＝AC+BC，再根据等腰三角形两腰相等可得AC＝AB，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴△BEC周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，∵腰长AB＝10，∴AC＝AB＝10，∴△BEC周长＝10+5＝15．故选：C．4．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，BD＝AD＝AC，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（）A．75° B．80° C．85° D．84°【分析】由BD＝AD＝AC得∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠4＝∠1+∠2得，∠3＝∠4＝2∠1＝2∠2，由∠BAC＝108°得∠2+∠3＝180°﹣∠BAC＝180°﹣108°＝72°，即可求出∠2＝24°，最后便可求出∠DAC的度数．【解答】解：∵BD＝AD＝AC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠4＝∠1+∠2，∴∠3＝∠4＝2∠1＝2∠2，∵∠BAC＝108°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠BAC＝180°﹣108°＝72°，∴∠2+2∠2＝72°，∴∠2＝24°，∴∠1＝24°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣24°＝84°，故选：D．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF，其中正确的有（1）（2）（3）（4）．（填序号）【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE＝DF，即可证得∠DEF＝∠DFE；又由等角的余角相等，可得∠ADE＝∠ADF，然后由角平分线的性质，证得AE＝AF，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AD垂直平分EF．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE；正确；（2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠ADE＝∠ADF，ED＝FD，∴AE＝AF，正确；（3）∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF，故（4）正确；由（2）知ED＝FD，∴AD平分∠EDF；故（3）正确．故答案为：（1）（2）（3）（4）．6．等腰△ABC中，AB＝AC，点E为底边BC上一点，以点E为圆心，EA长为半径画弧，交AB于点D，测得∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，则∠DEB＝31°．【分析】根据角的和差关系结合等腰三角形的性质可求∠C，根据三角形内角和定理可求∠AEC，根据等腰三角形的性质可求∠AED，再根据平角的定义即可求解．【解答】解：∵∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，∴∠CAB＝134°，∵AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣134°）÷2＝23°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝77°，由作图可知EA＝ED，∴∠EDA＝54°，∴∠AED＝180°﹣54°×2＝72°，∴∠DEB＝180°﹣77°﹣72°＝31°．故答案为：31．7．如图所示，在坐标平面中，A（0，4），C为x轴负半轴上一点，CO＝3，AC＝5，若点P为y轴上一动点，以PC为腰作等腰三角形△PCQ，已知∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），连接OQ，则OQ的最小值为．【分析】延长AC至点M，连接PM，使PM＝AP，证出∠CPM＝∠APQ，进而证明△CPM≌△QPA（SAS），得到∠PAQ＝∠M＝∠CAO，求出OC＝ON，当OQ⊥AN时，OQ有最小值，利用S△AON＝S△AOC，求出OQ的最小值．【解答】解：延长AC至点M，连接PM，使PM＝AP，∵∠ACO＝α，∴∠M＝∠CAO＝90°﹣α，∴∠APQ＝180°﹣2α，∴∠APM＝2α＝∠CPQ，∴∠CPM＝∠APQ，又∵CP＝PQ，PM＝PA，∴△CPM≌△QPA（SAS），∴∠PAQ＝∠M＝∠CAO，∴OC＝ON，∴当OQ⊥AN时，OQ有最小值，∵S△AON＝S△AOC，∴，∴3×4＝5OQ，解得，∴OQ的最小值是，故答案为：．8．如图，已知点P是射线MN上一动点，∠AMN＝35°，当∠A为110°或72.5°或35°时，△AMP是等腰三角形．【分析】若△AMP为等腰三角形则有AM＝AP、AM＝MP和MP＝AP三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的值．【解答】解：若△AMP为等腰三角形则有AM＝AP、AM＝MP和MP＝AP三种情况，①当AM＝AP时，则有∠M＝∠APM＝35°，∴∠A＝110°；②当AM＝MP时，则∠A＝∠APM＝72.5°；③当MP＝AP时，则∠A＝∠AMN＝35°，综上可知∠A为110°或72.5°或35°，故答案为：110°或72.5°或35°．9．在如图所示的3×3方格中，以AB为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有4个．【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，即可得出第三个顶点的位置．【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4，即为第三个顶点的位置；故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个．故答案为：410．如图所示，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝或12s时，△POQ是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣3t＝2t，解得，t＝s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即3t﹣12＝2t，解得，t＝12s故答案为或12．11．如图，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由已知条件可判断△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质可得BD＝CD，再根据平行线的性质可得∠BED＝∠EDB＝60°，可得△BED是等边三角形，即可得出BD＝ED＝BE，再根据BD＝CD，ED∥AC，可得ED是△ABC的中位线，即可得出BE＝AE，即可得出答案．【解答】解：△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵AD是BC上的高，∴BD＝CD，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠EDB＝60°，∠B＝60°，∴△BED是等边三角形，∴BD＝ED＝BE，∵BD＝CD，ED∥AC，∴ED是△ABC的中位线，∴BE＝AE，∴BD＝AE．∴图中与BD（BD除外）相等的线段有CD、DE、BE、AE共4条．故选：D．12．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案；【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．13．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝7．【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM为等边三角形，得出BM＝EM＝BE＝5，从而得出BN的长，进而求出答案．【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，如图，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠DEB＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，∵DE＝2，∴DM＝3，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝DM＝，∴BN＝BM﹣MN＝5﹣＝，∴BC＝2BN＝7．故答案为：7．14．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【分析】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，∴OC＝CD，而△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∵∠ACB＝∠OCD＝60°，∴∠BCO＝∠ACD，在△BOC与△ADC中，∵，∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，∴b﹣d＝10°，∴（60°﹣a）﹣d＝10°，∴a+d＝50°，即∠DAO＝50°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴110°+80°+60°+α＝360°∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，110°+50°+60°+α＝360°，∴α＝140°．所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形；（2）若∠BAD＝140°，求∠ACD的度数．【分析】（1）利用平行线的性质得出∠1＝∠3，进而利用等腰三角形的性质得出AC＝AD即可；（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根据已知条件得到∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝40°，根据平行线的选择得到∠ADC+∠ACD＝180°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°，∴∠ADC＝70°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF．求证：（1）△ADF是等腰三角形．（2）DF＝2EF．【分析】（1）由等腰三角形的性质和余角的性质可证得∠D＝∠DFA，根据等腰三角形的判定即可证得结论；（2）过A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性质可得DH＝FH，根据全等三角形的判定证得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，即可求出DF＝2EF．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°，∴∠D＝∠BFE，∵∠BFE＝∠DFA，∴∠D＝∠DFA，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形；（2）过A作AH⊥DE于H，∵DE⊥BC，∴∠AHF＝∠BEF＝90°，由（1）知，AD＝AF，∴DH＝FH，在△AFH和△BFE中，，∴△AFH≌△BFE（AAS），∴FH＝EF，∴DH＝FH＝EF，∴DF＝2EF．考向二：角平分线的性质与判定角平分线的性质定理与判定定理性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。角平分线常见的处理策略：1.角平分线＋∥→等腰△特别地：①特别地：①AD为角平分线；②DE∥AB；③AE=ED若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。即：三条件满足“知2得1”☆☆其中：1.平行线的引入方法常见的有：①直接给出的平行；②平行四边形及特殊平行四边形；③梯形的上下底边；④辅助线作出的平行；⑤其他条件证明得到的平行；2.当等腰△是结论时，常接着用等腰△的性质；3.“知2得1”在圆中应用时，常用“角平分线＋等腰→∥”，进而得某角=Rt∠，证直线与圆相切。2.角平分线＋⊥→等腰△；（即“三线合一”的你应用，此类问题常和圆的性质结合考察）3.见角平分线，作双垂→得全等或线段相等，亦可以用；（作“⊥”，即作“高”；有“高”想“面积”，进而拓展想“等积法”；其中，“得线段相等”是因为其性质定理；更深一步的应用方向可以是：①其中，“得线段相等”是因为其性质定理；更深一步的应用方向可以是：①用于“等量代换”；②再证全等的条件；③将“双垂”看作“双高线”，进而得两个△面积之间的关系；④当角平分线多于1条时，可能要结合其判定定理证其他线也是角平分线4.见角平分线，作对称（即截长补短构全等）5．圆中：由角平分线得角相等，进而推知1得4；6．重要思想→倍半角模型：与角平分线有关的问题，经常会出现“倍半角”关系，可利用“倍半角模型”解题。1．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三边高线的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三个角的平分线的交点【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：D．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积是（）A．9 B．12 C．15 D．24【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∴△ABD的面积＝．故选：C．3．如图，已知△ABC的面积为10，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．10 B．8 C．5 D．4【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出．【解答】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴，故选：C．4．如图，∠BOP＝∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于D，PC＝4，则PD的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD＝PE＝2，故选：A．5．如图：已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，CE为△ABC的角平分线，EF∥AC，则EF的长度是（）A． B． C． D．4【分析】根据EF∥AC，得到EF⊥BC，过点E作ED⊥AC，易得：EF＝ED，利用等积法，求出EF的长度即可．【解答】解：∵EF∥AC，∴∠EFB＝∠ACB＝90°，∴EF⊥BC，过点E作ED⊥AC，交AC于点D，∵CE为△ABC的角平分线，∴DE＝EF，∵S△ABC＝S△AEC+S△CEB，即：•AC•BC＝•AC•ED+•BC•EF＝•（AC+BC）•EF，∴6×8＝（6+8）•EF，∴；故选：B．6．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PN＝PD，∴PM＝PD，∵PM⊥BE，PD⊥AC，∴AP平分∠EAC，故①正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正确；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴S△APD＝S△MAP，S△CPD＝S△NCP，∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确，故选：D．7．如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．（1）求证：OC平分∠MON；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得出CD＝CE，再得出答案即可；（2）根据全等三角形的性质得出AD＝BE＝3，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，Rt根据全等三角形的性质得出OD＝OB，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，在Rt△ADC和Rt△BEC中，，∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），∴CD＝CE，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON；（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，∴BE＝AD＝3，∵BO＝4，∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，在Rt△DOC和Rt△EOC中，，∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），∴OD＝OE＝7，∵AD＝3，∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．8．如图，点A，B，C三点在一直线上，在BC同侧作△BCD、△BCE，若BE，CE分别平分∠ABD，∠BCD，过点B作∠CBD的平分线交CE于点F．（1）已知∠E＝27°，求∠D的度数；（2）若BE∥CD，BD＝8，求线段BE的长；（3）在（2）的条件下，若BF＝6，求线段CD的长．【分析】（1）由∠E+∠EBD＝∠D+∠DCE，再由角平分线定义，三角形外角的性质，可推出∠D＝2∠E；（2）由平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，可以推出BE＝BD；（3））延长BF交DC于G，作BH⊥EC于H，由勾股定理可以求出CF的长，列出关于FG的方程，求出FG，再由勾股定理求出CG的长，即可求出CD的长．【解答】解：（1）BE，CE分别平分∠ABD，∠BCD，∴∠EBD＝∠ABD，∠DCE＝∠BCD，∵∠ABD＝∠D+∠DCB，∴∠EBD＝∠D+∠DCB，∵∠E+∠EBD＝∠D+∠DCE，∴∠E+∠D+∠DCB＝∠D+∠BCD，∴∠D＝2∠E＝54°；（2）∵BE∥DC，∴∠D＝∠EBD，∠DCB＝∠EBA，∠E＝∠DCE，∵∠EBD＝∠EBA，∠DCE＝∠BCE，∴∠D＝∠DCB，∠E＝∠ECB，∴BE＝BC，BD＝BC，∴BE＝BD＝8；（3）延长BF交DC于G，作BH⊥EC于H，∵∠EBD＝∠ABD，∠DBF＝∠DBC，∴∠EBD+∠DBF＝（∠ABD+∠DBC），∴∠EBF＝∠ABC＝90°，∴EF＝＝＝10，∵EF•BH＝BE•BF，∴10BH＝8×6，∴BH＝4.8，∴CH＝＝＝6.4，FH＝＝＝3.6，∴CF＝CH﹣FH＝2.8，∵BD＝BC，BG平分∠CBD，∴BG⊥DC，∵CG2＝BC2﹣BG2＝CF2﹣FG2，∴82﹣（6+FG）2＝2.82﹣FG2，∴FG＝1.68，∴CG＝＝＝2.24，∴CD＝2CG＝4.48．考向三：线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质定理与判定定理性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。判定定理：到线段两端的距离相等点在这条线段的垂直平分线上。角平分线与线段垂直平分线常见辅助线的区别：角平分线：过点作到边的垂线段；线段垂直平分线：连接两个端点1．下列说法正确的是（）A．三角形的角平分线将三角形的面积平分 B．三角形的外角一定大于它的任意一个内角 C．在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，则这个三角形是直角三角形 D．若线段AB垂直平分线段CD，则线段CD必垂直平分线段AB【分析】利用线段垂直平分线的性质，三角形的中线，三角形的内角和定理，逐一判断即可解答．【解答】解：A、三角形的中线将三角形的面积平分，故A不符合题意；B、三角形的外角一定大于它的任意一个与它不相邻的内角，故B不符合题意；C、在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，则这个三角形是直角三角形，故C符合题意；D、若线段AB垂直平分线段CD，而线段CD不一定垂直平分线段AB，故D不符合题意；故选：C．2．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC＝10，AC＝14，则△BCD的周长为（）A．14 B．24 C．10 D．26【分析】依据DE是△ABC中AB边的垂直平分线，即可得到AD＝BD，再根据BC＝10，AC＝14，即可得到△BCE的周长．【解答】解：∵DE是△ABC中AB边的垂直平分线，∴AD＝BB，又∵BC＝10，AC＝14，∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AED＝BC+AC＝24，故选：B．3．如图，∠BAC＝105°，AB＝AC，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．45°【分析】由AB＝AC，∠BAC＝100°，可求得∠B+∠C的度数，又由MP，NQ分别垂直平分AB，AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AP＝BP，AQ＝CQ，继而求得∠BAP+∠CAQ的度数，则可求得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝105°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝75°，∵MP，NQ分别垂直平分AB，AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝75°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝30°．故选：C．4．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点，若∠A＝65°，∠ACP＝22°，则∠ABP的度数是（）A．31° B．22° C．43° D．32°【分析】连接PA，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，得到∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义得到∠PBC＝∠ABP，根据三角形内角和定理列式计算即可．【解答】解：连接PA，∵直线L为BC的垂直平分线，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵直线PM为∠ABC的角平分线，∴∠PBC＝∠ABP，设∠PBC＝x，则∠PCB＝∠ABP＝x，∴x+x+x+65°+22°＝180°，解得，x＝31°，故选：A．5．如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，则AC＝（）A．3 B．3 C．4 D．5【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵DE⊥AB，AE＝BE，∴DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝6，∴∠DAB＝∠B，∵∠CAD＝4∠B，∴∠CAB＝5∠B，∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAB＝15°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，∴AC＝AD＝3，故选：A．6．在平面直角坐标系xOy中，点A（5，5），点B（1，1），点C（7，1），若点P到点A、B、C的距离相等，则点P的坐标为（4，2）．【分析】根据线段垂直平分线的性质作出点P，根据坐标与图形性质求出点P的坐标．【解答】解：∵点P到点A、B、C的距离相等，∴点P是线段AB、BC垂直平分线的交点，故点P的坐标为（4，2），故答案为：（4，2）．7．在平面直角坐标系xOy中，A，B为不重合的两个点，若点C到A，B两点的距离相等，则称点C是线段AB的“公正点”．特别地，当60°≤∠ACB≤180°时，称点C是线段AB的“近公正点”．（1）已知A（1，0），B（3，0），在点C（2，0），D（1，2），E（2，﹣2.3），F（0，4）中，线段AB的“公正点”为点C（2，0），点E（2，﹣2.3）；（2）已知点M（0，3），作∠OMN＝60°，射线MN交x轴负半轴于点N．①若点P在y轴上，点P是线段MN的“公正点”，则点P的坐标是（0，﹣3）；②若点Q（a，b）是线段MN的“近公正点”，直接写出b的取值范围是﹣3≤b≤6．【分析】（1）判断点C（2，0），D（1，2），E（2，﹣2.3），F（0，4）在直线x＝2上即可；（2）①画出相应的图形，根据坐标转化为线段的长，再根据直角三角形的边角关系得出答案即可；②得出点Q的两个“临界值”，即b的“临界值”即可．【解答】解：（1）如图，A（1，0），B（3，0），线段AB的“公正点”在线段AB的中垂线上．即“公正点”在直线x＝2的直线上，在C（2，0），D（1，2），E（2，﹣2.3），F（0，4）中只有点C、点E在直线x＝2上，故答案为：点C（2，0），点E（2，﹣2.3）；（2）①如图，作MN的中垂线交y轴的负半轴于P1，∵OM＝3，∠OMN＝60°，∴MN＝2OM＝6，ON＝OM＝3，在Rt△P1QM中，MQ＝MN＝3，∠OMN＝60°，∴P1M＝6，∴OP1＝P1M﹣OM＝6﹣3＝3，∴点P1（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）；②如图，连接P1N，由对称性可知△MNP1是正三角形，此时，∠MP1N＝60°，△MNP1是关于MN的对称三角形△MNP2是正三角形，此时P2点的纵坐标为6，∵点Q（a，b）是线段MN的“近公正点”，∴60°≤∠MQN≤180°，即点Q在线段P1P2上，当点Q在点P1时，b＝﹣3，当点Q在点P2时，OE＝6，即b＝6，∴b的取值范围为﹣3≤b≤6，故答案为：﹣3≤b≤6．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．【分析】证明Rt△BDE≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质得到ED＝EC，根据线段垂直平分线的判定定理证明．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠BDE＝90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED＝EC，∵ED＝EC，BD＝BC，∴BE垂直平分CD．1．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为30°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．2．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝1．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3．（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是BC边上的动点（不与B、C重合），连接AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为（）A．80° B．110° C．120° D．80°或110°【分析】根据三角形内角和为180°，△ACD为等腰三角形，分三种情况分别计算即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵△ACD为等腰三角形，当AD＝CD时，∠C＝∠CAD＝40°，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝80°；当AD＝AC时，∠C＝∠ADC＝40°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝140°；当CD＝AC时，∠C＝40°，∴∠ADC＝＝70°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝110°；故选：D．5．已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是（）A．x＝（9＜y＜18） B．y＝36﹣2x（0＜x＜18） C．y＝（0＜y＜18） D．y＝36﹣2x（9＜x＜18）【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定定义域即可．【解答】解：∵2x+y＝36，∴y＝36﹣2x，即x＜18，∵两边之和大于第三边，∴x＞9．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为（）A．6 B．8 C．10 D．1【分析】根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠CBD，根据平行线的定义得到∠EDB＝∠CBD，等量代换得到∠EBD＝∠EDB，求得BE＝DE，于是得到结论．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∵△AED的周长为16，∴AB+AD＝16，∵AD＝6，∴AB＝10，故选：C．7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（）A．10 B．5 C． D．【分析】先由CD＝AE得到，AB的长度，继而求得DE＝5，从而证明△CDE为等腰三角形，求得△ABC的面积，根据CE中线的性质，求出△BCE的面积，再用△BCE的面积减去△BDE的面积即可求解．【解答】解：∵CE是AB边上的中线，∴AE＝BE，∵CD＝AE＝5，∴AB＝10，根据勾股定理得：AD＝＝8，∴△ABC的面积为，∵CE是△ABC的中线，∴S△BCE＝S△ACE＝22，∵BD＝6，AD＝8，AD⊥BC，∴，∵DE是△ABD的中线，∴S△BDE＝12，∴S△DCE＝S△BCE﹣S△BDE＝10，∵DE＝AE＝AB，DC＝AE，∴DC＝DE，∵DG⊥CE，∴．故选：B．8．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝69°，若点P是等腰三角形ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是100°或142°．【分析】过D作DH⊥AC，DG⊥AB，易证Rt△DEG≌Rt△DP2H，Rt△DEG≌Rt△DP1H，再根据四边形内角和360°即可得到答案．【解答】解：连接AD，∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点P是等腰△ABC的腰AC上的一点，AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，过D作DH⊥AC，DG⊥AB，∴DG＝DH，在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），∴∠AP2D＝∠AED＝69°，∵∠BAC＝80°，∴∠EDP2＝142°，同理可得Rt△DEG≌Rt△DP1H，∴∠EDG＝∠P1DH，∴∠EDP1＝∠GDH＝100°，故答案为：100°或142°，9．如图，玩具车从A点出发，向西走了a米，到达B点，然后顺时针旋转120°，前进b米，到达C点，再顺时针旋转120°，前进c米，到达D点，D点刚好在A点的正北方向，则a、b、c之间的关系为（）A．a+c＝b B．2a＝b+c C．4c＝a+b D．a＝b﹣c【分析】连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，通过证明△BCE为等边三角形可得BE＝CE＝AC＝b，∠E＝60°，即可求得∠ADE＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝2AE，进而可得2（b﹣a）+c＝b，化简即可求解．【解答】解：连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，由题意得∠ABC＝∠BCD＝60°，∴△BCE为等边三角形，∴BE＝CE＝AC＝b，∠E＝60°，∵AD⊥AB，∴∠EAD＝90°，∴∠ADE＝∠EAD﹣∠E＝30°，∴DE＝2AE，∵CD＝c，AB＝a，∴2（b﹣a）+c＝b，即2a＝b+c，故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中，点A（5，5），点B（1，1），点C（7，1），若点P到点A、B、C的距离相等，则点P的坐标为（4，2）．【分析】根据线段垂直平分线的性质作出点P，根据坐标与图形性质求出点P的坐标．【解答】解：∵点P到点A、B、C的距离相等，∴点P是线段AB、BC垂直平分线的交点，故点P的坐标为（4，2），故答案为：（4，2）．11．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是6．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．12．如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据等边三角形的性质易证△ABE≌△DBC，可判断①选项；根据全等三角形的性质得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根据三角形的外角性质得出∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，可判断④选项；作BG⊥CD于点G，BH⊥AE于点H，由S△ABE＝S△DBC可得BG＝BH，进一步可得BF平分∠AFC，可判断②选项；在AE上截取AI＝DF，连接BI，易证△ABI≌△DBF（SAS），再证明△BFI是等边三角形，得FI＝BF，进一步可判断③选项．【解答】解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，即∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，∴∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故④正确；作BG⊥CD于点G，BH⊥AE于点H，如图所示：∵△ABE≌△DBC，∴S△ABE＝S△DBC，AE＝DC，∴CD•BG＝AE•BH，∴BG＝BH，∵BG⊥CD，BH⊥AE，∴点B在∠AFC的平分线上，∴BF平分∠AFC，故②正确；在AE上截取AI＝DF，连接BI，在△ABI和△DBF中，，∴△ABI≌△DBF（SAS），∴∠AIB＝∠DFB，∵△ABE≌△DBC，∴∠CDB＝∠EBA，∴∠DFA＝∠ABD＝60°，∴∠AFC＝120°，∴∠IFB＝∠BFC＝60°，∴∠AIB＝∠DFB＝120°，∴∠BIF＝180°﹣∠AIB＝60°，∴∠FBI＝60°，∴△BFI是等边三角形，∴FI＝BF，∴AF＝AI+FI＝DF+BF，故③正确，故选：D．13．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，由外角的性质和直角三角形的性质可求∠EBC＝5°，故①正确；同理可求∠BFE＝60°，由直角三角形的性质可得BF＝2EF，故②正确；由“ASA”可证△ABE≌△AHE，可得BE＝EH，由直角三角形的性质可得EC≠BE，故③错误；由“SAS”可证△BFN≌△BFG，可得∠BFN＝∠BFG＝60°，由“ASA”可证△AFD≌△AFN，可得AD＝AN，即AB＝BG+AD，故④正确；由角平分线的性质可得NQ＝NP，由全等三角形的性质可得S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，可得＝，故⑤正确，即可求解．【解答】解：①∵∠ACB＝60°，∠BAD＝70°，∴∠ABC＝50°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，∴∠BFE＝60°，∵BE⊥AG，∴∠FBE＝30°，∴∠EBC＝5°，故①正确；②∵ACB＝60°，∴∠BAD+∠ABC＝120°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∠BAG＝∠CAG＝∠BAC，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAG＝（∠ABC+∠BAC）＝60°，∵BE⊥AG，∴∠FBE＝30°，∴BF＝2EF，故②正确；③如图，延长BE，AC交于点H，∵∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90°，∴△ABE≌△AHE（ASA），∴BE＝EH，∵BC≠AC，∴EC≠BE，故③错误；④如图，在AB上截取BN＝BG，连接NF，∵BN＝BG，∠ABD＝∠CBD，BF＝BF，∴△BFN≌△BFG（SAS），∴∠BFN＝∠BFG＝60°，∴∠AFD＝∠AFN＝60°，又∵∠BAG＝∠CAG，AF＝AF，∴△AFD≌△AFN（ASA），∴AD＝AN，∴AB＝BG+AD，故④正确；⑤如图，过点N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，∵∠AFN＝∠BFN＝60°，NP⊥BF，NQ⊥AF，∴NP＝NQ，∵S△AFN＝×AF×NQ，S△BFN＝×BF×NP，∴＝，∵△BFN≌△BFG，△AFD≌△AFN，∴S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，∴＝，故⑤正确，故选：B．14．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得BD＝CE；（2）根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE（SAS），即有AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，从而可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即知∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，由CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，可得DM＝ME＝CM，故AE＝AD+DE＝BE+2CM．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：如图：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴DE＝2CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．1．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝3．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．2．（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是40°．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．4．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝5，故选：C．5．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23° B．25° C．27° D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．6．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39° B．40° C．49° D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．7．（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．8．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11．（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形 B．对称轴的交点是其重心 C．是中心对称图形 D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，故A选项不符合题意；三条高线的交点为等边三角形的重心，∴对称轴的交点是其重心，故B选项不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C选项符合题意；等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，故D选项不符合题意，故选：C．12．（2022•广安）若（a﹣3）2+＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为11或13．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．13．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是40°或100°．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80° B．70° C．60° D．50°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．16．（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．17．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．18．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，证△APB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．19．（2022•鄂尔多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是AE＝CF，位置关系是AE⊥CF；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．【分析】（1）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性质证出∠EMC＝90°，则可得出结论；（2）①同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠E＝∠F，则可得出结论；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性质得出DG＝DH，由角平分线的性质可得出答案；③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；（2）①（1）中的结论还成立，理由：同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝∠EMC＝45°；③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM＝6，∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG＝＝＝6，∴EM＝GM+EG＝6+6．1．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为（）A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°【分析】先根据邻补角的定义求出∠A，再分∠A是顶角与底角两种情况讨论求解即可．【解答】解：∵∠A的相邻外角是130°，∴∠A＝180°﹣130°＝50°，①∠A是顶角时，顶角为50°，②∠A是底角时，顶角为180°﹣50°×2＝80°，所以，这个三角形的顶角为50°或80°．故选：C．2．如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，底边BC＝，则腰长AB为（）A． B． C． D．【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质，点D是BC的中点，故在△ABD中，可以求出AB的值．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∴BD＝，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∴∠B＝30°，∴在Rt△ABD中，设AD＝x，则AB＝2x，根据勾股定理，x2+（）2＝（2x）2，解得，x＝，所以AB＝2×＝．故选：C．3．（2022•威远县校级二模）已知实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．10 B．11 C．10或11 D．以上答案均不对【分析】先利用绝对值和算术平方根的非负性可得x﹣3＝0，y﹣4＝0，从而可得x＝3，y＝4，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时；分别进行计算即可解答．【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，∴x＝3，y＝4，分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，∴等腰三角形的周长＝4+4+3＝11；当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，∴等腰三角形的周长＝3+3+4＝10；综上所述：等腰三角形的周长是10或11，故选：C．4．（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，故选：C．5．（2022•威宁县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC边的中点，CE平分∠ACB，交AB于点E，交AD于点F，则∠AFC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠B＝40°，再由CE平分∠ACB，可得∠DCF＝20°，然后根据D为BC边的中点，可得∠ADC＝90°再利用三角形外角的性质，即可求解．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCF＝20°，∵D为BC边的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴∠AFC＝∠DCF+∠ADC＝110°．故选：C．6．（2022•安阳县一模）如图，在△PRQ中，M是线段PQ的中点，PS平分∠RPQ交RQ于点S．ST∥PR交PQ于点T，PQ＝10，MT＝1．则PR的长为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据已知可得QT＝4，PT＝6，再根据角平分线和平行两个条件证明△PTS是等腰三角形，从而求出ST的长，最后证明△QST∽△QRP，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵M是线段PQ的中点，∴PM＝MQ＝PQ＝5，∵MT＝1，∴QT＝MQ﹣MT＝4，PT＝PM+MT＝6，∵PS平分∠RPQ，∴∠RPS＝∠SPQ，∵ST∥PR，∴∠RPS＝∠PST，∴∠SPQ＝∠PST，∴PT＝TS＝6，∵ST∥PR，∴∠R＝∠TSQ，∠RPQ＝∠STQ，∴△QST∽△QRP，∴＝，∴＝，∴