人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题21.1一元二次方程特训(原卷版+解析)

2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.1一元二次方程【名师点睛】一元二次方程（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．3.一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【典例剖析】【知识点1】一元二次方程的定义【例1】（2020秋•安居区期中）已知方程．（1）当为何值时，它是一元二次方程？（2）当为何值时，它是一元一次方程？【变式1】（2022春•江都区月考）下列方程中是一元二次方程的是A． B． C． D．【知识点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2021秋•龙岗区校级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）；（2）．【变式2】（2021·江苏常州·九年级期中）将（x＋3）2﹣3x＝5x2化为一元二次方程的一般式为_________【知识点3】一元二次方程的解【例3】（2021秋•金湖县期末）若为方程的解，则的值为A．2 B．4 C． D．【知识点4】列一元二次方程【例4】根据下列问题中的条件，列出关于的方程，并将其化为标准形式．（1）一个长方形的长比宽多2，面积是120，求这个长方形的长；（2）一个直角三角形的两条直角边之和为7，它的面积为6，求这个三角形的其中一条直角边长；（3）某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，求这个小组的同学数；（4）一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手10次，求这组同学数；（5）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为，在温室内，前侧内墙保留宽的空地，其他三侧内墙各保留宽的通道，要使蔬菜种植区域的面积为，求矩形温室的长．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022春•镇海区校级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．3（x+2）＝8 B．3x2+6x＝8 C．ax2+bx+c＝0 D．＝12．（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±23．（2022春•镇海区校级期中）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣74．（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（）A．2x2+5x﹣7＝0 B．2x2+5x+1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．x2﹣7x﹣1＝05．（2021秋•大化县期中）下列方程中，一元二次方程的个数为（）（1）2x2﹣3＝0；（2）x2+y2＝5；（3）x（x+3）＝x2﹣1；（4）x2+＝2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2021秋•天津期末）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0的一个根，则m的值是（）A．5 B．﹣5 C．﹣4 D．47．（2022•新化县模拟）若a是x2﹣3x﹣2022＝0的一个根，则a2﹣3a+1的值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20238．（2022春•杭州期中）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣2m﹣3的值等于（）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．19．（2022春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一个根是1，则m的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．±210．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210二．填空题（共6小题）11．（2020秋•阜平县期中）将方程8x＝3x2﹣1化为一般形式为．12．（2019秋•东台市月考）一元二次方程3x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是．13．（2021秋•黔西南州期中）已知方程（m﹣2）+x＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是．14．（2019秋•岳阳月考）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3000元降到了2400元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．15．（2020秋•扬州期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是16．（2020•新北区模拟）学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为．三．解答题（共6小题）17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（x﹣5）2＝36；（2）3y（y+1）＝2（y+1）．18．下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？（1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1）；（2）2x2﹣3x＝x（x﹣3）；（3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3；（4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5）．19．关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0，（1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；（2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．20．（2020秋•城关区校级月考）当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0．（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？21．（2016秋•海门市校级期中）已知a2﹣3a+1＝0，求下列各式的值：（1）2a2﹣6a﹣3；（2）a2+a﹣2；（3）a﹣a﹣1．22．（2021秋•赵县月考）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．（1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都相同，求每月印刷的增长率x；（2）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生132条消息．

2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.1一元二次方程【名师点睛】一元二次方程（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．3.一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【典例剖析】【知识点1】一元二次方程的定义【例1】（2020秋•安居区期中）已知方程．（1）当为何值时，它是一元二次方程？（2）当为何值时，它是一元一次方程？【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；（2）根据一次方程的定义可解答本题．【解答】解：（1）方程为一元二次方程，，解得：，所以当为或时，方程方程为一元二次方程；（2）方程为一元一次方程，或或，解得，或，0，故当为2或，0时，方程方程为一元一次方程．【变式1】（2022春•江都区月考）下列方程中是一元二次方程的是A． B． C． D．【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；．该方程是分式方程，故本选项不符合题意；．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意．故选：．【知识点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2021秋•龙岗区校级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．（1）；（2）．【分析】各方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【解答】解：（1）化简后为，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为；（2）化简后为，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．【变式2】（2021·江苏常州·九年级期中）将（x＋3）2﹣3x＝5x2化为一元二次方程的一般式为_________【答案】4x2-3x-9=0【解析】【分析】去括号、移项，合并同类项，即可得出答案．【详解】解：（x+3）2-3x=5x2，x2+6x+9-3x-5x2=0，-4x2+3x+9=0，4x2-3x-9=0，即一般式是4x2-3x-9=0，故答案为：4x2-3x-9=0．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，（a、b、c为常数，a≠0）【知识点3】一元二次方程的解【例3】（2021秋•金湖县期末）若为方程的解，则的值为A．2 B．4 C． D．【分析】将代入方程，求出，再代入所求代入式即可．【解答】解：为方程的解，，，，故选：．【知识点4】列一元二次方程【例4】根据下列问题中的条件，列出关于的方程，并将其化为标准形式．（1）一个长方形的长比宽多2，面积是120，求这个长方形的长；（2）一个直角三角形的两条直角边之和为7，它的面积为6，求这个三角形的其中一条直角边长；（3）某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，求这个小组的同学数；（4）一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手10次，求这组同学数；（5）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为，在温室内，前侧内墙保留宽的空地，其他三侧内墙各保留宽的通道，要使蔬菜种植区域的面积为，求矩形温室的长．【分析】（1）设长为，则宽为，利用长乘以宽等于面积即可列出方程；（2）设出直角三角形的一边长并表示出另一直角边长，利用三角形的面积公式列出方程即可；（3）设这个小组的同学数为人．根据互赠贺年卡一张，则人共赠贺卡张，列方程即可；（4）设有人，根据每两人都握手一次手，有人共握手10次，列出方程即可；（5）设矩形温室的长为，则为宽，根据矩形的面积计算公式即可列出方程．【解答】解：（1）设长为，则宽为，根据题意得：，化为一般形式为；（2）直角三角形的两条直角边长的和为7，设一条直角边长为，另一条直角边长为，该直角三角形的面积为6，，化为一般形式为；（3）设这个小组的同学数为人．根据题意，得，化为一般形式为：；（4）设有人参加聚会，根据题意得：，化为一般形式为：；（5）设矩形温室的长为，则宽为，根据题意，得，化为一般形式为：．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022春•镇海区校级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．3（x+2）＝8 B．3x2+6x＝8 C．ax2+bx+c＝0 D．＝1【分析】根据一元二次方程的定义，即可判断．【解答】解：A、3（x+2）＝8，是一元一次方程，故A不符合题意；B、3x2+6x＝8，是一元二次方程，故B符合题意；C、ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）是一元二次方程，故C不符合题意；D、＝1是分式方程，故D不符合题意；故选：B．2．（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，解得：m＝3，故选：A．3．（2022春•镇海区校级期中）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．【解答】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，故选：C．4．（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（）A．2x2+5x﹣7＝0 B．2x2+5x+1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．x2﹣7x﹣1＝0【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．【解答】解：（x+3）（2x﹣1）＝﹣4，2x2﹣x+6x﹣3+4＝0，2x2+5x+1＝0，故选：B．5．（2021秋•大化县期中）下列方程中，一元二次方程的个数为（）（1）2x2﹣3＝0；（2）x2+y2＝5；（3）x（x+3）＝x2﹣1；（4）x2+＝2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：（1）是一元二次方程；（2）含有2个未知数，不是一元二次方程；（3）方程整理后可得3x＝﹣1，是一元一次方程；（4）该方程是分式方程，不是一元二次方程．所以一元二次方程的个数为1个．故选：A．6．（2021秋•天津期末）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0的一个根，则m的值是（）A．5 B．﹣5 C．﹣4 D．4【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣5＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣5＝0得：1+m﹣5＝0，解得：m＝4．故选：D．7．（2022•新化县模拟）若a是x2﹣3x﹣2022＝0的一个根，则a2﹣3a+1的值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a＝2022，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a是x2﹣3x﹣2022＝0的一个根，∴a2﹣3a﹣2022＝0，∴a2﹣3a＝2022，∴a2﹣3a+1＝2022+1＝2023．故选：D．8．（2022春•杭州期中）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣2m﹣3的值等于（）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝1，再把2m2﹣2m﹣3变形为2（m2﹣m）﹣3，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴2m2﹣2m﹣3＝2（m2﹣m）﹣3＝2×1﹣3＝﹣1．故选：C．9．（2022春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一个根是1，则m的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．±2【分析】把x＝1代入方程中进行计算可得m＝±2，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，即可解答．【解答】解：由题意得：把x＝1代入（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0中可得，（m﹣2）﹣2+m2﹣m＝0，解得：m＝±2，∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣2，故选：A．10．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．依题意得：3（x﹣1）x＝6210．故选：A．二．填空题（共6小题）11．（2020秋•阜平县期中）将方程8x＝3x2﹣1化为一般形式为3x2﹣8x﹣1＝0．【分析】方程移项，化为一般形式即可．【解答】解：方程整理得：3x2﹣8x﹣1＝0．故答案为：3x2﹣8x﹣1＝0．12．（2019秋•东台市月考）一元二次方程3x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是﹣3．【分析】根据一元二次方程得出即可．【解答】解：一元二次方程3x2﹣3x﹣2＝0的一次项系数是﹣3，故答案为：﹣3．13．（2021秋•黔西南州期中）已知方程（m﹣2）+x＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是﹣2．【分析】根据一元二次方程的定义得到m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，然后求解即可得出答案．【解答】解：∵方程（m﹣2）+x＝0是关于x的一元二次方程，∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0．解得，m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（2019秋•岳阳月考）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3000元降到了2400元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是3000（1+x）2＝2400．【分析】设平均每月降价的百分率为x，根据售价的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每月降价的百分率为x，依题意，得：3000（1﹣x）2＝2400．故答案为：3000（1﹣x）2＝2400．15．（2020秋•扬州期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是a≥1且a≠3【分析】如果方程是一元二次方程，那么a﹣3≠0，同时有意义，a≥1，可以确定a的取值范围．【解答】解：∵方程是一元二次方程，∴a﹣3≠0，得a≠3，又∵二次根式有意义，∴a﹣1≥0，得a≥1，∴a≥1且a≠3．故本题的答案是a≥1且a≠3．16．（2020•新北区模拟）学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为x（16﹣2x）＝30．【分析】可设宽为xm，则长为（16﹣2x）m，根据等量关系：面积是30m2，列出方程即可．【解答】解：设宽为xm，则长为（16﹣2x）m．由题意，得x（16﹣2x）＝30，故答案为：x（16﹣2x）＝30．三．解答题（共6小题）17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）（x﹣5）2＝36；（2）3y（y+1）＝2（y+1）．【分析】（1）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数；（2）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数．【解答】解：（1）一元二次方程（x﹣5）2＝36的一般形式是：x2﹣10x﹣11＝0，二次项系数是1、一次项系数是﹣10，常数项是﹣11；（2）一元二次方程3y（y+1）＝2（y+1）的一般形式是：3y2+y﹣2＝0，二次项系数3、一次项系数是1，常数项是﹣2．18．下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？（1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1）；（2）2x2﹣3x＝x（x﹣3）；（3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3；（4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5）．【分析】（1）（2）（3）（4）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则把原方程化简，根据一元二次方程的定义判断．【解答】解：（1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1），整理得，3p﹣5＝0，不是一元二次方程；（2）2x2﹣3x＝x（x﹣3），整理得，x2＝0，是一元二次方程；（3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3，整理得，z2﹣z＝0，是一元二次方程；（4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5），整理得，2x3﹣6x2+16x＝0，不是一元二次方程．19．关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0，（1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；（2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程，∴k2﹣1≠0，∴k≠±1，所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程；（2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程，∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0，∴k＝﹣1，∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程